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#(C) Graham Ellis, 2005-2006
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InstallGlobalFunction(HAP_SylowConjugatedHomomorphism,
function(f,p)
local G, H, PG, PH,cl,pos,g,ff,s;
G:=Source(f);
PG:=SylowSubgroup(G,p);
PG:=Image(f,PG);
H:=Target(f);
PH:=SylowSubgroup(H,p);
#if IsSubgroup(PH,PG) then return f; fi;
cl:=PH^H;
cl:=List(cl,s->s);
pos:=PositionProperty(cl,s->IsSubgroup(s,PG));
g:=RepresentativeAction(H,PH,cl[pos]);
ff:=GroupHomomorphismByFunction(G,H,x->x^g);
return ff;
end);
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InstallGlobalFunction(GroupHomology,
function(arg)
local
GroupCohomologyOriginal, answer;
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GroupCohomologyOriginal:=function()
local
G, gensG, N, p, D,
Functor,Functor2,
HomologyGraphOfGroups,
HomologyPrimePowerGroup,
HomologyGenericGroup,
HomologySmallGroup,
HomologyCoxeterGroup,
HomologyArtinGroup,
HomologyAbelianGroup,
HomologyNilpotentPcpGroup,
HomologySpaceGroup,
HomologyAlmostCrystallographicGroup,
HomologyOfGroupHomomorphism;
############################### INPUT DATA ##########################
if IsList(arg[1]) then
if IsString(arg[1][1]) then D:=arg[1][2]; G:=false;
else D:=arg[1]; G:=false; fi;
else
if IsGroup(arg[1]) then G:=arg[1];
if Order(G)<infinity then
if IsMatrixGroup(G) then G:=Image(IsomorphismPermGroup(G),G); fi;
gensG:=ReduceGenerators(GeneratorsOfGroup(G),G); fi;
D:=false;
else
if IsGroupHomomorphism(arg[1]) then D:=false; G:=false;
else
Print("ERROR: first variable must be a group or a Coxeter diagram or a graph of groups or a group homomorphism. \n");
fi;
fi;
fi;
if IsInt(arg[2]) then N:=arg[2]; else
Print("ERROR: second variable must be a positive integer.\n");
fi;
if Length(arg)>2 then p:=arg[3]; else p:=0; fi;
if not (p=0 or IsPrimeInt(p)) then
Print("ERROR: third variable should be a prime integer. \n");
return fail;
fi;
if N=0 and p=0 and not IsGroupHomomorphism(arg[1]) then return [0]; fi;
if N=0 and p>0 and not IsGroupHomomorphism(arg[1]) then return [p]; fi;
############################## DATA INPUT ###########################
if IsPrime(p) then
Functor:=function(R); return TensorWithIntegersModP(R,p); end;
else
Functor:=function(R); return ContractedComplex(TensorWithIntegers(R)); end;
fi;
if IsPrime(p) then
Functor2:=function(R); return TensorWithIntegersModP(R,p); end;
else
Functor2:=TensorWithIntegers;
fi;
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HomologyOfGroupHomomorphism:=function()
local ff,f,H,G,RH,RG,PH,PG,ans,hlgy,k,A;
f:=arg[1];
H:=Source(f);
G:=Target(f);
if (not IsFinite(H)) or (not IsFinite(G)) then
Print("This function is currently implemented only for homomorphisms of finite groups.\n");
return fail;
fi;
hlgy:=GroupHomology(H,N,p);
if Length(hlgy)=0 then
A:=AbelianGroup(GroupHomology(G,N,p));
return GroupHomomorphismByFunction(SmallGroup(1,1),A,x->One(A)); fi;
hlgy:=Product(hlgy);
hlgy:=Factors(hlgy);
hlgy:=SSortedList(hlgy);
hlgy:=Filtered(hlgy,i->not i=1);
ans:=[];
for k in hlgy do
PH:=SylowSubgroup(H,k);
PG:=SylowSubgroup(G,k);
RG:=ResolutionGenericGroup(PG,N+1);
RH:=ResolutionGenericGroup(PH,N+1);
ff:=HAP_SylowConjugatedHomomorphism(f,k);
Add(ans, PrimePartDerivedFunctorHomomorphism(ff,RG,RH,Functor2,N) );
#THIS WILL ONLY WORK IF ff SENDS PG to PH.
od;
if Length(ans)>0 then ans:=DirectProduct(ans); fi;
return ans;
end;
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HomologyGraphOfGroups:=function()
local R;
R:=ResolutionGraphOfGroups(D,N+1);
return Homology(Functor(R),N);
end;
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HomologySmallGroup:=function()
local R;
R:=ResolutionFiniteGroup(gensG,N+1,false,p);
return Homology(Functor(R),N);
end;
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HomologySpaceGroup:=function()
local R, G1;
if IsMatrixGroup(G) then
G1:=Image(IsomorphismPcpGroup(G)); fi;
R:=ResolutionAlmostCrystalGroup(G1,N+1);
return Homology(Functor(R),N);
end;
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HomologyAlmostCrystallographicGroup:=function(G,N)
local R ;
R:=ResolutionAlmostCrystalGroup(G,N+1);
return Homology(Functor(R),N);
end;
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HomologyPrimePowerGroup:=function()
local
R, L, LL, x;
if Order(G)<32 then R:=ResolutionFiniteGroup(gensG,N+1,false,p);
else
if N<=1 then
R:=ResolutionNilpotentGroup(G,N+1);
else
#L:=UpperCentralSeries(G);
#L:=BigStepUCS(G,4); #changed from 9, 22/12/2022
#R:=ResolutionNormalSeries(L,N+1,false,p);
R:=ResolutionGenericGroup(G,N+1);
fi;
fi;
return Homology(Functor(R),N);
end;
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HomologyAbelianGroup:=function()
local L,R;
#L:=AbelianInvariantsToTorsionCoefficients(AbelianInvariants(G));
#R:=ResolutionAbelianGroup(L,N+1);
R:=ResolutionAbelianGroup(G,N+1);
return Homology(Functor(R),N);
end;
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HomologyGenericGroup:=function()
local
primes, q, S, gens, functor, R, H, TorsionCoeffs;
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if N=1 and p=0 then
return AbelianInvariants(G);
fi;
##################################
##################################
if N=1 and IsPrimeInt(p) then
S:=AbelianInvariants(G);
S:=Filtered(S,k->not Gcd(p,k)=1);
return List([1..Length(S)],k->2);
fi;
##################################
if IsPrime(p) then
S:=SylowSubgroup(G,p);
R:=ResolutionPrimePowerGroup(S,N+1);
#return PrimePartDerivedFunctorViaSubgroupChain(G,R,Functor2,N);
return PrimePartDerivedFunctor(G,R,Functor2,N);
fi;
TorsionCoeffs:=[];
primes:= SSortedList(Factors(Order(G)));
for q in primes do
S:=SylowSubgroup(G,q);
if Order(S)>=128 or N>2 then
#R:=ResolutionNormalSeries(LowerCentralSeries(S),N+1);
R:=ResolutionNormalSeries(BigStepUCS(S,6),N+1);
else
gens:=GeneratorsOfGroup(S);
gens:=ReduceGenerators(gens,S);
R:=ResolutionFiniteGroup(gens,N+1,false,p);
fi;
#R:=TietzeReducedResolution(R);
H:=Homology(Functor(R),N);
if IsInt(H) then
if H=0 then H:=[]; else H:=[H]; fi;
fi;
if
Order(Centralizer(G,S))=Order(Center(S))*Order(G)/Order(S)
or
Length(H)=0
then Append(TorsionCoeffs,H);
else
Append(TorsionCoeffs,
PrimePartDerivedFunctorViaSubgroupChain(G,R,Functor2,N));
#PrimePartDerivedFunctor(G,R,Functor,N));
fi;
od;
return TorsionCoeffs;
end;
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HomologyCoxeterGroup:=function()
local R;
if N+1>Length(GeneratorsOfGroup(CoxeterDiagramFpArtinGroup(D)[1])) then
Print("At present this function only works in dimensions < ",Length(GeneratorsOfGroup(CoxeterDiagramFpArtinGroup(D)[1]))," for the given Coxeter group.\n");
return fail;
fi;
R:=ResolutionCoxeterGroup(D,N+1);;
return Homology(Functor(R),N);
end;
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HomologyArtinGroup:=function()
local R;
R:=ResolutionArtinGroup(D,N+1);;
return Homology(Functor(R),N);
end;
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HomologyNilpotentPcpGroup:=function()
local R;
R:=ResolutionNilpotentGroup(G,N+1);;
return Homology(Functor(R),N);
end;
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if IsGroupHomomorphism(arg[1]) then
return HomologyOfGroupHomomorphism(); fi;
if IsList(D) then
if GraphOfGroupsTest(D) then
return HomologyGraphOfGroups();
fi;
if IsString(arg[1][1]) then
if ('c' in arg[1][1]) or ('C' in arg[1][1]) then
return HomologyCoxeterGroup(); fi;
fi;
return HomologyArtinGroup();
fi;
#if "CrystCatRecord" in KnownAttributesOfObject(G) or
# "AlmostCrystallographicInfo" in KnownAttributesOfObject(G)
# then
#return HomologySpaceGroup(); fi;
if IsPcpGroup(G) then
if IsAlmostCrystallographic(G) then
return HomologyAlmostCrystallographicGroup(G,N);
fi;
if IsNilpotentGroup(G) then
return HomologyNilpotentPcpGroup();
else
Print("Only nilpotent pcp groups are handled by this function. \n");
return fail;
fi;
fi;
if "CrystCatRecord" in KnownAttributesOfObject(G) or
"AlmostCrystallographicInfo" in KnownAttributesOfObject(G)
then
return HomologySpaceGroup(); fi;
if IsFinite(G) then
if p>0 and not p in Factors(Order(G)) then return []; fi;
if IsAbelian(G) then
return HomologyAbelianGroup(); fi;
if IsPrime(p) and IsPrimePowerInt(Order(G)) and
Order(G)<257 then
if p=PrimePGroup(G) then
return List([1..RankPrimeHomology(G,N)(N)],i->p);
else
return [];
fi;
fi;
if IsPrimePowerInt(Order(G)) then
return HomologyPrimePowerGroup(); fi;
if Order(G)<16 then
return HomologySmallGroup(); fi;
return HomologyGenericGroup();
fi;
end;
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answer:= GroupCohomologyOriginal();
if not IsInt(answer) then return answer; fi;
if IsInt(answer) then return
ListWithIdenticalEntries(answer,arg[3]); fi;
end);
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InstallGlobalFunction(RelativeGroupHomology,
function(G,N,kk)
local i, GhomQ, Q, RQ, RN, T, C, D, K,
newdimension, newboundary, newproperties;
GhomQ:=NaturalHomomorphismByNormalSubgroup(G,N);
Q:=Range(GhomQ);
RQ:=ResolutionFiniteGroup(Q,kk+1);
RN:=ResolutionFiniteGroup(N,kk+1);
T:=ResolutionExtension(GhomQ,RN,RQ);
C:=TensorWithIntegers(T);
D:=TensorWithIntegers(RQ);
######
newdimension:=function(n);
return C!.dimension(n)-D!.dimension(n);
end;
######
######
newboundary:=function(n,k);
return C!.boundary(n,k+D!.dimension(n));
end;
######
######
newproperties:=[["length",kk+1],
["connected",true],
["type","chainComplex"],
["characteristic",0]];
######
K:=rec(dimension:=newdimension,
boundary:=newboundary,
properties:=newproperties);
K:=Objectify(HapChainComplex,K);
return Homology(K,kk);
end);
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InstallGlobalFunction(DirectProductOfGroupHomomorphisms,
function(f,g)
local S,T;
S:=DirectProduct(Source(f),Source(g));
T:=DirectProduct(Target(f),Target(g));
return GroupHomomorphismByFunction(S,T,x->
Image(Embedding(T,1), Image(f,Image(Projection(S,1),x)))
*
Image(Embedding(T,2),Image(g,Image(Projection(S,2),x)))
);
end);
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