Gedichte Musik Bilder Quellcodebibliothek Diashow Normaldarstellung
Quellcodebibliothek Statistik Leitseite products/Sources/formale Sprachen/GAP/pkg/liering/doc/   (Algebra von RWTH Aachen Version 4.15.1©)  Datei vom 10.1.2022 mit Größe 10 kB image not shown  

Quelle  chap1_mj.html   Sprache: HTML

 
 products/Sources/formale Sprachen/GAP/pkg/liering/doc/chap1_mj.html


<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>

<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN"
         "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd">

<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="en">
<head>
<script type="text/javascript"
  src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.0/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML">
</script>
<title>GAP (LieRing) - Chapter 1: Introduction</title>
<meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<meta name="generator" content="GAPDoc2HTML" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="manual.css" />
<script src="manual.js" type="text/javascript"></script>
<script type="text/javascript">overwriteStyle();</script>
</head>
<body class="chap1"  onload="jscontent()">


<div class="chlinktop"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0_mj.html">Top</a>  <a href="chap1_mj.html">1</a>  <a href="chap2_mj.html">2</a>  <a href="chapBib_mj.html">Bib</a>  <a href="chapInd_mj.html">Ind</a>  </div>

<div class="chlinkprevnexttop"> <a href="chap0_mj.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0_mj.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap0_mj.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap2_mj.html">[Next Chapter]</a>   </div>

<p id="mathjaxlink" class="pcenter"><a href="chap1.html">[MathJax off]</a></p>
<p><a id="X7DFB63A97E67C0A1" name="X7DFB63A97E67C0A1"></a></p>
<div class="ChapSects"><a href="chap1_mj.html#X7DFB63A97E67C0A1">1 <span class="Heading">Introduction</span></a>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap1_mj.html#X8749E1888244CC3D">1.1 <span class="Heading">Preliminaries</span></a>
</span>
</div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap1_mj.html#X865892E97C9D1E6D">1.2 <span class="Heading">The free Lie ring </span></a>
</span>
</div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap1_mj.html#X7994DA6587ABDA2D">1.3 <span class="Heading">The Lazard correspondence </span></a>
</span>
</div>
</div>

<h3>1 <span class="Heading">Introduction</span></h3>

<p><a id="X8749E1888244CC3D" name="X8749E1888244CC3D"></a></p>

<h4>1.1 <span class="Heading">Preliminaries</span></h4>

<p>A Lie ring <span class="SimpleMath">\(L\)</span> is a <span class="SimpleMath">\(\mathbb{Z}\)</span>-module equipped with a multiplication, denoted by a bracket <span class="SimpleMath">\([~,~]\)</span> with</p>


<ul>
<li><p><span class="SimpleMath">\([x,x]=0\)</span> for all <span class="SimpleMath">\(x\)</span> in <span class="SimpleMath">\(L\)</span>,</p>

</li>
<li><p><span class="SimpleMath">\([x,[y,z]]+[z,[x,y]]+[y,[z,x]]=0\)</span> for all <span class="SimpleMath">\(x,y,z\)</span> in <span class="SimpleMath">\(L\)</span>.</p>

</li>
</ul>
<p>Contrary to Lie algebras (which are defined over a field), Lie rings may have torsion elements, i.e., elements <span class="SimpleMath">\(x \neq 0\)</span> such that <span class="SimpleMath">\(mx=0\)</span> for some <span class="SimpleMath">\(m\in \mathbb{Z}\)</span>.</p>

<p>We say that a Lie ring is finite-dimensional if it is finitely-generated as abelian group. All functions of this package deal with finite-dimensional Lie rings.</p>

<p>Here is an example of a Lie ring <span class="SimpleMath">\(L\)</span> of order <span class="SimpleMath">\(5^6\)</span>. As abelian group <span class="SimpleMath">\(L\)</span> is generated by <span class="SimpleMath">\(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\)</span>. We have <span class="SimpleMath">\(5x_i=0\)</span> for <span class="SimpleMath">\(i=1,\ldots,4\)</span>, and <span class="SimpleMath">\(25x_5=0\)</span>. Furthermore,</p>

<p class="center">\[
[x_1,x_4] = 4x_2+5x_5,~ [x_3,x_4] = 4x_1,~ [x_3,x_5]=4x_2,~
[x_4,x_5]=4x_3.
\]</p>

<p>One of the main functions of this package constructs a Lie ring given by a multiplication table (as above) from a finite presentation. The Lie ring above can be obtained as follows.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">L:= FreeLieRing( Integers, ["a","b"] );</span>
<Free algebra over Integers generators: a, b >
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">a:= L.1; b:= L.2;</span>
a
b
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">S:= [ 5*a-(b*a)*a-((b*a)*b)*b,5*b];</span>
[ (5)*a+(-1)*(a,(a,b))+(b,(b,(a,b))), (5)*b ]
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">K:= FpLieRing( L, S : maxdeg:= 4 );</span>
<Lie ring with 5 generators>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">v:=BasisVectors( Basis(K) );</span>
[ v_1, v_2, v_3, v_4, v_5 ]
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">v[1]*v[4];</span>
4*v_2+5*v_5
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Torsion( Basis(K) );</span>
[ 5, 5, 5, 5, 25 ]
</pre></div>

<p><a id="X865892E97C9D1E6D" name="X865892E97C9D1E6D"></a></p>

<h4>1.2 <span class="Heading">The free Lie ring </span></h4>

<p>Let <span class="SimpleMath">\(X\)</span> be a set of letters, which we denote by <span class="SimpleMath">\( x_1,\ldots,x_n\)</span>. Then the free magma <span class="SimpleMath">\(M(X)\)</span> on <span class="SimpleMath">\(X\)</span> is defined to be the set of all bracketed expressions in the elements of <span class="SimpleMath">\(X\)</span>. More precisely, we have that <span class="SimpleMath">\(X\)</span> is a subset of <span class="SimpleMath">\(M(X)\)</span> and if <span class="SimpleMath">\(a,b\in M(X)\)</span>, then also <span class="SimpleMath">\((a,b)\in M(X)\)</span>. The free magma has a natural binary operation <span class="SimpleMath">\(m\)</span> with <span class="SimpleMath">\(m(a,b) = (a,b)\)</span>.</p>

<p>The elements of the free magma have a degree which is defined as <span class="SimpleMath">\(\deg(a,b) = \deg(a)+\deg(b)\)</span>. The degree of the elements of <span class="SimpleMath">\(X\)</span> can be set to be any positive integer. (Usually this is 1, but it is possible to use different degrees for the elements of <span class="SimpleMath">\(X\)</span>.)</p>

<p>Let <span class="SimpleMath">\(R\)</span> be a ring; then the free algebra <span class="SimpleMath">\(A_R(X)\)</span> on <span class="SimpleMath">\(X\)</span> over <span class="SimpleMath">\(R\)</span> is the <span class="SimpleMath">\(R\)</span>-span of <span class="SimpleMath">\(M(X)\)</span>. The product on <span class="SimpleMath">\(A_R(X)\)</span> is obtained by bilinearly extending the map <span class="SimpleMath">\(m\)</span>.</p>

<p>The elements of <span class="SimpleMath">\(M(X)\)</span> are called monomials of <span class="SimpleMath">\(A_R(X)\)</span>. We use the following ordering on them. The elements of <span class="SimpleMath">\(X\)</span> are ordered arbitrarily. Then <span class="SimpleMath">\( (a,b) < (c,d)\)</span> if <span class="SimpleMath">\(\deg(a,b) < \deg(c,d)\)</span>. If these two numbers are equal, then <span class="SimpleMath">\( (a,b) < (c,d)\)</span> if <span class="SimpleMath">\(a < c\)</span>, and in case <span class="SimpleMath">\(a=c\)</span>, if <span class="SimpleMath">\(b < d\)</span>. Using this ordering we can speak of leading monomial, and leading coefficient of an element of <span class="SimpleMath">\(A_R(X)\)</span>. Using these notions one can develop a Groebner basis theory for ideals in <span class="SimpleMath">\(A_R(X)\)</span> (see <a href="chapBib_mj.html#biBcicgra1">[CdG07]</a> and <a href="chapBib_mj.html#biBcicgra2">[CdG09]</a>).</p>

<p>Let <span class="SimpleMath">\(J\)</span> be the ideal of <span class="SimpleMath">\(A_R(X)\)</span> generated by all elements</p>


<ul>
<li><p><span class="SimpleMath">\((a,a)\)</span>,</p>

</li>
<li><p><span class="SimpleMath">\((a,b)+(b,a)\)</span>,</p>

</li>
<li><p><span class="SimpleMath">\((a,(b,c))+(c,(a,b))+(b,(c,a))\)</span>,</p>

</li>
</ul>
<p>for <span class="SimpleMath">\(a,b,c\in M(X)\)</span>. Set <span class="SimpleMath">\(L_R(X) = A_R(X)/J\)</span>, which is called the free Lie ring over <span class="SimpleMath">\(R\)</span> generated by <span class="SimpleMath">\(X\)</span>.</p>

<p>The free Lie ring is one of the central objects of this package. It can be defined over the integers, or over a field. The free Lie rings that can be constructed using this package rewrite their elements using anticommutativity. The Jacobi identity is not used for rewriting; this is because that would lead to expression swell, and sometimes tedious rewriting of elements to a form in which that can no longer be recognised. So, strictly speaking, we work with the free anticommutative algebra.</p>

<p><a id="X7994DA6587ABDA2D" name="X7994DA6587ABDA2D"></a></p>

<h4>1.3 <span class="Heading">The Lazard correspondence </span></h4>

<p>Using the Baker-Campbell-Hausdorff (or BCH) formula one can define an associative multiplication on a nilpotent Lie ring of order <span class="SimpleMath">\(p^n\)</span> and nilpotency class <span class="SimpleMath">\( < p \)</span>. This makes the Lie ring into a <span class="SimpleMath">\(p\)</span>-group of the same order and nilpotency class. The BCH-formula also has inverses, which can be used to define an addition and a Lie bracket on a <span class="SimpleMath">\(p\)</span>-group of class <span class="SimpleMath">\( < p \)</span>. These make the group into a Lie ring of the same order and nilpotency class.</p>

<p>These two operations are mutually inverse, and so define an equivalence of the categories of <span class="SimpleMath">\(p\)</span>-groups of class <span class="SimpleMath">\( < p \)</span> and nilpotent Lie rings of the same order and nilpotency class. This equivalence is known as the <em>Lazard correspondence</em> (see <a href="chapBib_mj.html#biBkhukhro98">[Khu98]</a>). This package has functions for performing this correspondence, i.e., to make a <span class="SimpleMath">\(p\)</span>-group into a Lie ring and vice versa. For the algorithms used we refer to <a href="chapBib_mj.html#biBcicgravl">[CdGVL11]</a>.</p>


<div class="chlinkprevnextbot"> <a href="chap0_mj.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0_mj.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap0_mj.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap2_mj.html">[Next Chapter]</a>   </div>


<div class="chlinkbot"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0_mj.html">Top</a>  <a href="chap1_mj.html">1</a>  <a href="chap2_mj.html">2</a>  <a href="chapBib_mj.html">Bib</a>  <a href="chapInd_mj.html">Ind</a>  </div>

<hr />
<p class="foot">generated by <a href="http://www.math.rwth-aachen.de/~Frank.Luebeck/GAPDoc">GAPDoc2HTML</a></p>
</body>
</html>

100%


¤ Dauer der Verarbeitung: 0.15 Sekunden  (vorverarbeitet)  ¤

*© Formatika GbR, Deutschland




Wurzel

Suchen

Beweissystem der NASA

Beweissystem Isabelle

NIST Cobol Testsuite

Cephes Mathematical Library

Wiener Entwicklungsmethode

Haftungshinweis

Die Informationen auf dieser Webseite wurden nach bestem Wissen sorgfältig zusammengestellt. Es wird jedoch weder Vollständigkeit, noch Richtigkeit, noch Qualität der bereit gestellten Informationen zugesichert.

Bemerkung:

Die farbliche Syntaxdarstellung ist noch experimentell.