Quelle  lpresented.xml   Sprache: XML

Since it is undecidable, in general, whether or not a given L-presentation
is invariant, there is no algorithm which can determine the best
possible underlying invariant L-presentation. The method implemented for
this attribute tries to compute a ``good'' invariant L-presentation and
will return the underlying ascending L-presentation in the worst case.<P/>

This attribute can be set manually using
<C>SetUnderlyingInvariantLPresentation</C>. For instance, the Grigorchuk group 
<Display> \Big\langle a,b,c,d \Big| a^2,b^2,c^2,d^2,bcd,[d,d^a]^{\sigma^n},
   [d,d^{acaca}]^{\sigma^n},(n\in&NN;_0) \Big\rangle,</Display>
is invariantly L-presented and therefore, it should be constructed
as follows:
<Example><![CDATA[
gap> F:=FreeGroup( "a", "b", "c", "d" );;
gap> AssignGeneratorVariables( F );
#I  Assigned the global variables [ a, b, c, d ]
gap> frels:=[ a^2, b^2, c^2, d^2, b*c*d ];;
gap> endos:=[ GroupHomomorphismByImagesNC( F, F, [ a, b, c, d ], [ c^a, d, b, c ]) ];;
gap> irels:=[ Comm( d, d^a ), Comm( d, d^(a*c*a*c*a) ) ];;
gap> G:=LPresentedGroup( F, frels, endos, irels );
<L-presented group on the generators [ a, b, c, d ]>
gap> SetUnderlyingInvariantLPresentation( G, G );;
]]></Example>
</Description>
</ManSection>

<ManSection><Prop Name="IsAscendingLPresentation" Arg="lpgroup"/>
<Description>
checks whether the L-presentation of <A>lpgroup</A> is ascending; that
is, if the set of fixed relators is empty. This property is set
automatically when creating an L-presented group with no fixed
relators using the function <Ref Oper="LPresentedGroup"/>.
</Description>
</ManSection>

<ManSection><Prop Name="IsInvariantLPresentation" Arg="lpgroup"/>
<Description>
attempts to check whether the L-presentation of <A>lpgroup</A>
is invariant. In general, one cannot decide whether or not a
given L-presentation is invariant. There are mainly two methods
implemented for this property. The first method seeks to find a ``good''
underlying invariant L-presentation using the operation
<Ref Oper="UnderlyingInvariantLPresentation"/>. If this latter L-presentation
coincides with the L-presentation of <A>lpgroup</A>, then <A>lpgroup</A>
is invariantly L-presented. If this method fails, then the second
method uses the nilpotent quotient algorithm for L-presented groups
which yields a necessary condition for an L-presented group to
be invariantly L-presented. Note that the latter method may not
terminate. For instance, both methods fail on Baumslag's finitely
generated, infinitely related group with trivial multiplier returned by
<Ref Func="ExamplesOfLPresentations"/>.
</Description>
</ManSection>

<ManSection><Attr Name="EmbeddingOfAscendingSubgroup" Arg="lpgroup"/>
<Description>
stores an embedding of an ascendingly L-presented subgroup of the
L-presented group <A>lpgroup</A>. This attribute is set for ascending
L-presentations only. In this case, the identity map of <A>lpgroup</A>
is returned. This attribute is used in the
<Package>FR</Package>-package which can construct various finitely
L-presented groups. The embedding is useful for a nilpotent quotient
algorithm of a non-invariantly L-presented group.
</Description>
</ManSection>
</Section>

<Section><Heading>Methods for L-presented groups</Heading>

Some operations are natural extensions of the operations for finitely
generated groups. For example, <C>MappedWord(x,gens,imgs)</C>, when
applied to a word <C>x</C> in an L-presented group, returns the group
element obtained by replacing each occurrence of a generator in
<C>gens</C> by the corresponding element in the list <C>imgs</C>. The lists
<C>gens</C> and <C>imgs</C> need to have the same length.<P/>

Equality test of elements of L-presented groups is implemented using
the operation <Ref Func="NqEpimorphismNilpotentQuotient" BookName="nq"/> to compare
the images in a nilpotent quotient of the group. The implemented
method successively increases the class of the considered quotient
until the images differ. Hence, this method may not terminate and it
will only determine whether the elements are different.<P/>

<ManSection><Oper Name="EpimorphismFromFpGroup" Arg="lpgroup n"/>
<Description>
returns an epimorphism from a finitely presented group onto <A>lpgroup</A>. The
finitely presented group is obtained from <A>lpgroup</A> by applying only
words of length at most <A>n</A> in the endomorphisms of <A>lpgroup</A> to the
iterated relators of <A>lpgroup</A>.
</Description>
</ManSection>

<ManSection><Oper Name="SplitExtensionByAutomorphismsLpGroup" Arg="lpgroup H auts"/>
<Description>
returns an L-presentation for the split extension of <A>lpgroup</A> by
an L-presented or by a finitely presented group <A>H</A>. The action
of a generator of <A>H</A> on <A>lpgroup</A> is given by an
automorphism in the list <A>auts</A>. Thus for each generator of
<A>H</A> there must be an automorphism in the list <A>auts</A>.
<Example><![CDATA[
gap> F := FreeGroup( "a" );
<free group on the generators [ a ]>
gap> H := F / [ F.1^3 ];
<fp group on the generators [ a ]>
gap> U := ExamplesOfLPresentations( 8 );
<L-presented group on the generators [ t, u, v ]>
gap> aut:=GroupHomomorphismByImagesNC( U, U, [ U.1, U.2, U.3 ], [ U.2, U.3, U.1 ] );
[ t, u, v ] -> [ u, v, t ]
gap> SplitExtensionByAutomorphismsLpGroup( U, H, [ aut ] );
<L-presented group on the generators [ t, u, v, a ]>
]]></Example>
</Description>
</ManSection>


<ManSection><Oper Name="AsLpGroup" Arg="G"/>
<Description>
returns an ascending L-presentation for a finitely presented group
<A>G</A> or for a free group <A>G</A>.
</Description>
</ManSection>

<ManSection><Oper Name="IsomorphismLpGroup" Arg="G"/>
<Description>
returns an isomorphism from a finitely presented group <A>G</A> or
from a free group <A>G</A> to the L-presented group obtained from the
method <Ref Oper="AsLpGroup"/>.
<Example><![CDATA[
gap> F:=FreeGroup( 2 );
<free group on the generators [ f1, f2 ]>
gap> G:=F/[ F.1^2, F.2^2, Comm( F.1, F.2 ) ];
<fp group on the generators [ f1, f2 ]>
gap> IsomorphismLpGroup( G );
[ f1, f2 ] -> [ f1, f2 ]
gap> Range(last);
<L-presented group on the generators [ f1, f2 ]>
gap> Display(last);
generators = [ f1, f2 ]
fixed relators = [ ]
endomorphism = [
IdentityMapping( <free group on the generators [ f1, f2 ]> ) ]
iterated relators = [
f1^2,
f2^2,
f1^-1*f2^-1*f1*f2 ]
]]></Example>
</Description>
</ManSection>
</Section>
</Chapter>

quality100%