Gedichte Musik Bilder Quellcodebibliothek Diashow Normaldarstellung
Quellcodebibliothek Statistik Leitseite products/Sources/formale Sprachen/GAP/pkg/repsn/doc/   (Algebra von RWTH Aachen Version 4.15.1©)  Datei vom 22.0.2024 mit Größe 26 kB image not shown  

Quelle  chap2_mj.html   Sprache: HTML

 
 products/Sources/formale Sprachen/GAP/pkg/repsn/doc/chap2_mj.html


<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>

<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN"
         "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd">

<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="en">
<head>
<script type="text/javascript"
  src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.0/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML">
</script>
<title>GAP (repsn) - Chapter 2: Irreducible Representations</title>
<meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<meta name="generator" content="GAPDoc2HTML" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="manual.css" />
<script src="manual.js" type="text/javascript"></script>
<script type="text/javascript">overwriteStyle();</script>
</head>
<body class="chap2"  onload="jscontent()">


<div class="chlinktop"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0_mj.html">Top</a>  <a href="chap1_mj.html">1</a>  <a href="chap2_mj.html">2</a>  <a href="chap3_mj.html">3</a>  <a href="chapBib_mj.html">Bib</a>  <a href="chapInd_mj.html">Ind</a>  </div>

<div class="chlinkprevnexttop"> <a href="chap0_mj.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0_mj.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap1_mj.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap3_mj.html">[Next Chapter]</a>   </div>

<p id="mathjaxlink" class="pcenter"><a href="chap2.html">[MathJax off]</a></p>
<p><a id="X8145828B844789C2" name="X8145828B844789C2"></a></p>
<div class="ChapSects"><a href="chap2_mj.html#X8145828B844789C2">2 <span class="Heading">Irreducible Representations</span></a>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap2_mj.html#X812E7C8E7FA7BE4E">2.1 <span class="Heading">Constructing Representations</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap2_mj.html#X7A3ACAC179C15393">2.1-1 IrreducibleAffordingRepresentation</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap2_mj.html#X7CF2E8907C5C6D0D">2.1-2 IsAffordingRepresentation</a></span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap2_mj.html#X7EE113967DB4AB68">2.2 <span class="Heading">Induction</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap2_mj.html#X832316958253A958">2.2-1 InducedSubgroupRepresentation</a></span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap2_mj.html#X7B3BE908867CE4F9">2.3 <span class="Heading">Extension</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap2_mj.html#X7950DD2D7B80E583">2.3-1 ExtendedRepresentation</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap2_mj.html#X83536FA985B4E255">2.3-2 ExtendedRepresentationNormal</a></span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap2_mj.html#X80C4BBFE7CDE7AA9">2.4 <span class="Heading">Character Subgroups</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap2_mj.html#X875FD501825F7AB8">2.4-1 CharacterSubgroupRepresentation</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap2_mj.html#X79510CED811937D9">2.4-2 IsCharacterSubgroup</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap2_mj.html#X8408A559823FED05">2.4-3 AllCharacterPSubgroups</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap2_mj.html#X86388596828FDAFE">2.4-4 AllCharacterStandardSubgroups</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap2_mj.html#X7A7B4ECC8722140C">2.4-5 AllCharacterSubgroups</a></span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap2_mj.html#X8459AEDB7B73584F">2.5 <span class="Heading">Equivalent Representation</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap2_mj.html#X87C25B877C4952BA">2.5-1 EquivalentRepresentation</a></span>
</div></div>
</div>

<h3>2 <span class="Heading">Irreducible Representations</span></h3>

<p>Let <span class="SimpleMath">\(G\)</span> be a finite group and <span class="SimpleMath">\(\chi\)</span> be an ordinary irreducible character of <span class="SimpleMath">\(G\)</span>. In this chapter we introduce some functions to construct a complex representation <span class="SimpleMath">\(R\)</span> of <span class="SimpleMath">\(G\)</span> affording <span class="SimpleMath">\(\chi\)</span>. We proceed recursively, reducing the problem to smaller subgroups of <span class="SimpleMath">\(G\)</span> or characters of smaller degree until we obtain a problem which we can deal with directly. Inputs of most of the functions are a given group <span class="SimpleMath">\(G\)</span>, and an irreducible character <span class="SimpleMath">\(\chi\)</span>. The output is a mapping (representation) which assigns to each generator <span class="SimpleMath">\(x\)</span> of <span class="SimpleMath">\(G\)</span> a matrix <span class="SimpleMath">\(R(x)\)</span>. We can use these functions for all groups and all irreducible characters <span class="SimpleMath">\(\chi\)</span> of degree less than 100 although in principle the same methods can be extended to characters of larger degree. The main methods in these functions which are used to construct representations of finite groups are Induction, Extension, Tensor Product and Dixon's method (for constructing representations of simple groups and their covers) [DA05], and Projective Representation method [DD10].



<p><a id="X812E7C8E7FA7BE4E" name="X812E7C8E7FA7BE4E"></a></p>

<h4>2.1 <span class="Heading">Constructing Representations</span></h4>

<p>This section introduces the main function to compute a representation of a finite group <span class="SimpleMath">\(G\)</span> affording an irreducible character <span class="SimpleMath">\(\chi\)</span> of <span class="SimpleMath">\(G\)</span>.</p>

<p><a id="X7A3ACAC179C15393" name="X7A3ACAC179C15393"></a></p>

<h5>2.1-1 IrreducibleAffordingRepresentation</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ IrreducibleAffordingRepresentation</code>( <var class="Arg">chi</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>called with an irreducible character <var class="Arg">chi</var> of a group <span class="SimpleMath">\(G\)</span>, this function returns a mapping (representation) which maps each generator of <span class="SimpleMath">\(G\)</span> to a <span class="SimpleMath">\(d*d\)</span> matrix, where <span class="SimpleMath">\(d\)</span> is the degree of <var class="Arg">chi</var>. The group generated by these matrices (the image of the map) is a matrix group which is isomorphic to <span class="SimpleMath">\(G\)</span> modulo the kernel of the map. If <span class="SimpleMath">\(G\)</span> is a solvable group then there is no restriction on the degree of <var class="Arg">chi</var>. In the case that <span class="SimpleMath">\(G\)</span> is not solvable and the character <var class="Arg">chi</var> has degree bigger than 100 the output maybe is not correct. In this case sometimes the output mapping does not afford the given character or it does not return any mapping.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">s := PerfectGroup( 129024, 2 );;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">G := Image(IsomorphismPermGroup( s ));;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">chi := Irr( G )[36];; </span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">chi[1];</span>
64
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IrreducibleAffordingRepresentation( chi );; </span>
#I  Warning: EpimorphismSchurCover via Holt's algorithm is under construction
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">time; </span>
92657
 </pre></div>

<p><a id="X7CF2E8907C5C6D0D" name="X7CF2E8907C5C6D0D"></a></p>

<h5>2.1-2 IsAffordingRepresentation</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ IsAffordingRepresentation</code>( <var class="Arg">chi</var>, <var class="Arg">rep</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>If <var class="Arg">chi</var> and <var class="Arg">rep</var> are a character and a representation of a group <span class="SimpleMath">\(G\)</span>, respectively, then <code class="code">IsAffordingRepresentation</code> returns <code class="code">true</code> if the trace of <var class="Arg">rep(x)</var> equals <var class="Arg">chi(x)</var> for all elements <span class="SimpleMath">\(x\)</span> in <span class="SimpleMath">\(G\)</span>.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">G := GL(2,7);;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">chi := Irr(G)[ 29 ];;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">rep := IrreducibleAffordingRepresentation( chi );</span>
CompositionMapping( [(8,15,22,29,36,43)(9,16,23,30,37,44)
(10,17,24,31,38,45)(11,18,25,32,39,46)(12,19,26,33,40,47)
(13,20,27,34,41,48)(14,21,28,35,42,49), (2,29,12)(3,36,20)
(4,43,28)(5,8,30)(6,15,38)(7,22,46)(9,44,14)(10,16,17)
(11,37,27)(13,23,39)(18,24,25)(19,45,35)(21,31,47)
(26,32,33)(34,40,41)(42,48,49) ] ->
[ [ [ 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0 ],
    [ 1, 0, -1, -1, 1, 0, -1 ] 
    [ 2, -1, -2, -2, 1, 2, -1 ],
    [ 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0 ],
    [ 1, 0, -2, 0, 0, 1, -1 ],
    [ 1, 0, -2, -1, 1, 1, -1 ],
    [ -2, 1, 1, 1, -1, -1, 0 ] ],
  [ [ 1, -1, -1, -1, 0, 2, -1 ],
    [ 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0 ],
    [ 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0 ],
    [ 0, 1, -1, 0, 0, 0, -1 ],
    [ 0, 1, 0, 1, 0, -1, 0 ],
    [ 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0 ],
    [ 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0 ] ] ], (action isomorphism) )
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsAffordingRepresentation( chi, rep );</span>
true
 </pre></div>

<p>We can obtain the size of the image of this representation by <code class="code">Size(Image(rep))</code> and compute the value for an arbitrary element <span class="SimpleMath">\(x\)</span> in <span class="SimpleMath">\(G\)</span> by <code class="code">x</code>^<code class="code">rep</code>.</p>

<p><a id="X7EE113967DB4AB68" name="X7EE113967DB4AB68"></a></p>

<h4>2.2 <span class="Heading">Induction</span></h4>

<p><a id="X832316958253A958" name="X832316958253A958"></a></p>

<h5>2.2-1 InducedSubgroupRepresentation</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ InducedSubgroupRepresentation</code>( <var class="Arg">G</var>, <var class="Arg">rep</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>computes a representation of <var class="Arg">G</var> induced from the representation <var class="Arg">rep</var> of a subgroup <span class="SimpleMath">\(H\)</span> of <var class="Arg">G</var>. If <var class="Arg">rep</var> has degree <span class="SimpleMath">\(d\)</span> then the degree of the output representation is <span class="SimpleMath">\(d*|G:H|\)</span>.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">G := SymmetricGroup( 6 );;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">H := AlternatingGroup( 6 );;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">chi := Irr( H )[ 2 ];;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">rep := IrreducibleAffordingRepresentation( chi );;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">InducedSubgroupRepresentation( G, rep ); </span>
[ (1,2,3,4,5,6), (1,2) ] ->
[ [ [ 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, -1, -1, -1 ],
    [ 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, -1, 0, -1 ],
    [ 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, -1, -1 ],
    [ 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0 ],
    [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, -1, 0, -1 ],
    [ 1, 1, -1, -1, -1, 0, 0, 0, 0, 0 ],
    [ 1, 0, 0, -1, -1, 0, 0, 0, 0, 0 ],
    [ 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
    [ 1, 0, -1, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0 ],
    [ 0, 1, 0, -1, -1, 0, 0, 0, 0, 0 ] ],
  [ [ 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0 ],
    [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0 ],
    [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0 ],
    [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0 ],
    [ 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, -1, -1, -1 ],
    [ 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
    [ 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
    [ 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
    [ 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
    [ 1, 1, -1, -1, -1, 0, 0, 0, 0, 0 ] ] ]
 </pre></div>

<p><a id="X7B3BE908867CE4F9" name="X7B3BE908867CE4F9"></a></p>

<h4>2.3 <span class="Heading">Extension</span></h4>

<p>In this section we introduce some functions for extending a representation of a subgroup to the whole group.</p>

<p><a id="X7950DD2D7B80E583" name="X7950DD2D7B80E583"></a></p>

<h5>2.3-1 ExtendedRepresentation</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ ExtendedRepresentation</code>( <var class="Arg">chi</var>, <var class="Arg">rep</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Suppose <span class="SimpleMath">\(H\)</span> is a subgroup of a group <span class="SimpleMath">\(G\)</span> and <var class="Arg">chi</var> is an irreducible character of <span class="SimpleMath">\(G\)</span> such that the restriction of <var class="Arg">chi</var> to <span class="SimpleMath">\(H\)</span>, <span class="SimpleMath">\(phi\)</span> say, is irreducible. If <var class="Arg">rep</var> is an irreducible representation of <span class="SimpleMath">\(H\)</span> affording <span class="SimpleMath">\(phi\)</span> then <code class="code">ExtendedRepresentation</code> extends the representation <var class="Arg">rep</var> of <span class="SimpleMath">\(H\)</span> to a representation of <span class="SimpleMath">\(G\)</span> affording <var class="Arg">chi</var>. This function call can be quite expensive when the representation <var class="Arg">rep</var> has a large degree.</p>


<div class="example"><pre> 
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">G := AlternatingGroup( 6 );;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">H := Group([ (1,2,3,4,6), (1,4)(5,6) ]);;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">chi := Irr( G )[ 2 ];;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">phi := RestrictedClassFunction( chi, H );;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsIrreducibleCharacter( phi );</span>
true
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">rep := IrreducibleAffordingRepresentation( phi );;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">ext := ExtendedRepresentation( chi, rep );</span>
#I  Need to extend a representation of degree 5. This may take a while.
[ (1,2,3,4,5), (4,5,6) ] -> [
[ [ 0, 1, 0, -1, -1 ],
  [ 0, 0, 0, 1, 0 ],
  [ -1, -1, -1, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, -1 ],
  [ 0, 0, 1, 1, 1 ] ],
[ [ 1, 0, 1, 0, 1 ],
  [ 0, 1, 0, 0, 0 ],
  [ -1, -1, 0, 1, 0 ],
  [ 1, 1, 1, 0, 0 ],
  [ 0, 0, -1, 0, 0 ] ] ]
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsAffordingRepresentation( chi, ext );</span>
true
      </pre></div>

<p><a id="X83536FA985B4E255" name="X83536FA985B4E255"></a></p>

<h5>2.3-2 ExtendedRepresentationNormal</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ ExtendedRepresentationNormal</code>( <var class="Arg">chi</var>, <var class="Arg">rep</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Suppose <span class="SimpleMath">\(H\)</span> is a normal subgroup of a group <span class="SimpleMath">\(G\)</span> and <var class="Arg">chi</var> is an irreducible character of <span class="SimpleMath">\(G\)</span> such that the restriction of <var class="Arg">chi</var> to <span class="SimpleMath">\(H\)</span>, <span class="SimpleMath">\(phi\)</span> say, is irreducible. If <var class="Arg">rep</var> is an irreducible representation of <span class="SimpleMath">\(H\)</span> affording <span class="SimpleMath">\(phi\)</span> then <code class="code">ExtendedRepresentationNormal</code> extends the representation <var class="Arg">rep</var> of <span class="SimpleMath">\(H\)</span> to a representation of <span class="SimpleMath">\(G\)</span> affording <var class="Arg">chi</var>. This function is more efficient than <code class="code">ExtendedRepresentation</code>.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">G := GL(2,7);;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">chi := Irr( G )[ 29 ];;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">H := SL(2,7);;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">phi := RestrictedClassFunction( chi, H );;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsIrreducibleCharacter( phi );</span>
true
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">rep := IrreducibleAffordingRepresentation( phi );;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">ext := ExtendedRepresentationNormal( chi, rep );</span>
#I  Need to extend a representation of degree 7. This may take a while.
CompositionMapping( [(8,15,22,29,36,43)(9,16,23,30,37,44)
 (10,17,24,31,38,45)(11,18,25,32,39,46)(12,19,26,33,40,47)
 (13,20,27,34,41,48)(14,21,28,35,42,49),(2,29,12)(3,36,20)
 (4,43,28)(5,8,30)(6,15,38)(7,22,46)(9,44,14)(10,16,17)
 (11,37,27)(13,23,39)(18,24,25)(19,45,35)(21,31,47)
 (26,32,33)(34,40,41)(42,48,49) ] ->
[ [ [ -1, 0, 0, 1, 0, -1, 0 ], [ -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ -1, 1, 0, 0, -1, 0, 0 ], [ 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ -1, -1, 1, 0, 1, -1, 0 ], [ 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0 ],
  [ -1, 0, 1, -1, 1, 0, -1 ] ],
  [ [ 1, -1, 0, 1, 0, -1, 1 ], [ 1, 0, -1, 1, -1, 0, 1 ],
  [ 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1 ], [ 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0 ],
  [ -1, 0, 0, 1, 0, -1, 0 ], [ -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ -1, 1, 0, 0, -1, 0, 0 ] ] ], (action isomorphism) ) 
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsAffordingRepresentation( chi, ext );</span>
true
   </pre></div>

<p><a id="X80C4BBFE7CDE7AA9" name="X80C4BBFE7CDE7AA9"></a></p>

<h4>2.4 <span class="Heading">Character Subgroups</span></h4>

<p>If <span class="SimpleMath">\(\chi\)</span> is an irreducible character of a group <span class="SimpleMath">\(G\)</span> and <span class="SimpleMath">\(H\)</span> is a subgroup of <span class="SimpleMath">\(G\)</span> such that the restriction of <span class="SimpleMath">\(\chi\)</span> to <span class="SimpleMath">\(H\)</span> has a linear constituent with multiplicity one, then we call <span class="SimpleMath">\(H\)</span> a character subgroup relative to <span class="SimpleMath">\(\chi\)</span> or a <span class="SimpleMath">\(\chi\)</span>-subgroup.</p>

<p><a id="X875FD501825F7AB8" name="X875FD501825F7AB8"></a></p>

<h5>2.4-1 CharacterSubgroupRepresentation</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ CharacterSubgroupRepresentation</code>( <var class="Arg">chi</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ CharacterSubgroupRepresentation</code>( <var class="Arg">chi</var>, <var class="Arg">H</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>returns a representation affording <var class="Arg">chi</var> by finding a <var class="Arg">chi</var>-subgroup and using the method described in <a href="chapBib_mj.html#biBDix-93">[Dix93]</a>. If the second argument is a <var class="Arg">chi</var>-subgroup then it returns a representation affording <var class="Arg">chi</var> without searching for a <var class="Arg">chi</var>-subgroup. In this case an error is signalled if no <var class="Arg">chi</var>-subgroup exists.</p>

<p><a id="X79510CED811937D9" name="X79510CED811937D9"></a></p>

<h5>2.4-2 IsCharacterSubgroup</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ IsCharacterSubgroup</code>( <var class="Arg">chi</var>, <var class="Arg">H</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>is <code class="code">true</code> if <var class="Arg">H</var> is a <var class="Arg">chi</var>-subgroup and <code class="code">false</code> otherwise.</p>


<div class="example"><pre> 
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">G := AlternatingGroup( 8 );;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">chi := Irr( G )[ 2 ];;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">H := AlternatingGroup( 3 );;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsCharacterSubgroup( chi, H );</span>
true
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">rep := CharacterSubgroupRepresentation( chi, H );</span>
[ (1,2,3,4,5,6,7), (6,7,8) ] -> [ [ [
 1/3*E(3)+2/3*E(3)^2, 0, 0, -E(3), 0, -1/3*E(3)-2/3*E(3)^2, 1 ],
   [ 2/3*E(3)+4/3*E(3)^2, 0, 1, 0, 0, 1/3*E(3)-1/3*E(3)^2, 0 ],
   [ 2/3*E(3)+4/3*E(3)^2, 0, 0, 1, 0, 1/3*E(3)-1/3*E(3)^2, 0 ],
   [ E(3)^2, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
   [ 2/3*E(3)+4/3*E(3)^2, 0, 0, 0, 1, 1/3*E(3)-1/3*E(3)^2, 0 ],
   [ -2/3*E(3)-1/3*E(3)^2, 0, 0, -1, 0, 2/3*E(3)+1/3*E(3)^2, E(3)^2 ],
   [ 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0 ] ],
 [ [ 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0 ],
   [ 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0 ],
   [ 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0 ],
   [ 0, 0, 0, -E(3), E(3), 0, 1 ] ] ]
 </pre></div>

<p><a id="X8408A559823FED05" name="X8408A559823FED05"></a></p>

<h5>2.4-3 AllCharacterPSubgroups</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ AllCharacterPSubgroups</code>( <var class="Arg">G</var>, <var class="Arg">chi</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>returns a list of all <span class="SimpleMath">\(p\)</span>-subgroups of <var class="Arg">G</var> which are <var class="Arg">chi</var>-subgroups. The subgroups are chosen up to conjugacy in <var class="Arg">G</var>.</p>

<p><a id="X86388596828FDAFE" name="X86388596828FDAFE"></a></p>

<h5>2.4-4 AllCharacterStandardSubgroups</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ AllCharacterStandardSubgroups</code>( <var class="Arg">G</var>, <var class="Arg">chi</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>returns a list containing well described subgroups of <var class="Arg">G</var> which are <var class="Arg">chi</var>-subgroups. This list may contain Sylow subgroups and their derived subgroups, normalizers and centralizers in <var class="Arg">G</var>.</p>

<p><a id="X7A7B4ECC8722140C" name="X7A7B4ECC8722140C"></a></p>

<h5>2.4-5 AllCharacterSubgroups</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ AllCharacterSubgroups</code>( <var class="Arg">G</var>, <var class="Arg">chi</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>returns a list of all <var class="Arg">chi</var>-subgroups of <var class="Arg">G</var> among the lattice of subgroups. This function call can be quite expensive for larger groups. The call is expensive in particular if the lattice of subgroups of the given group is not yet known.</p>

<p><a id="X8459AEDB7B73584F" name="X8459AEDB7B73584F"></a></p>

<h4>2.5 <span class="Heading">Equivalent Representation</span></h4>

<p><a id="X87C25B877C4952BA" name="X87C25B877C4952BA"></a></p>

<h5>2.5-1 EquivalentRepresentation</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ EquivalentRepresentation</code>( <var class="Arg">rep</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>computes an equivalent representation to an irreducible representation <var class="Arg">rep</var> by transforming <var class="Arg">rep</var> to a new basis by spinning up one vector (i.e. getting the other basis vectors as images under the first one under words in the generators). If the input representation, <var class="Arg">rep</var>, is reducible then <code class="code">EquivalentRepresentation</code> does not return any mapping. In this case see section 3.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">G := SymmetricGroup( 7 );;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">chi := Irr( G )[ 2 ];;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">rep := CharacterSubgroupRepresentation( chi );;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">equ := EquivalentRepresentation( rep );</span>
[ (1,2,3,4,5,6,7), (1,2) ] ->
[ [ [ 0, 0, 0, E(5)+E(5)^2+E(5)^3+2*E(5)^4, -1, -E(5)-E(5)^2-E(5)^3-2*E(5)^4 ],
   [ E(5)^3-E(5)^4, E(5)^2+E(5)^3+E(5)^4, E(5)+E(5)^3-E(5)^4, -E(5)+E(5)^2
          -3*E(5)^3-E(5)^4, -E(5)-E(5)^3+E(5)^4, 2*E(5)-2*E(5)^2+2*E(5)^3 ]
    , [ 0, 0, 0, 1, 0, 0 ],
   [ 0, 4/5*E(5)+3/5*E(5)^2+2/5*E(5)^3+1/5*E(5)^4, E(5), 1, -E(5),
       6/5*E(5)+2/5*E(5)^2+3/5*E(5)^3+4/5*E(5)^4 ], [ 0, 1, 0, 0, 0, 0 ],
   [ 0, 0, E(5), 1, -E(5), 2*E(5)+E(5)^2+E(5)^3+E(5)^4 ] ],
 [ [ -1, 0, E(5)+E(5)^2+E(5)^3+2*E(5)^4, -E(5)-E(5)^2-3*E(5)^4,
    -E(5)-E(5)^2-E(5)^3-2*E(5)^4, E(5)+E(5)^2+3*E(5)^4 ],
  [ 0, -1, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 0, E(5)+E(5)^2+E(5)^3+2*E(5)^4, -1, -E(5)-E(5)^2-E(5)^3-2*E(5)^4
     ], [ 0, 0, -1, -E(5)^4, 1, E(5)+E(5)^2+E(5)^3+2*E(5)^4 ],
  [ 0, 0, -E(5)^4, -E(5)^3+E(5)^4, E(5)+E(5)^2+E(5)^3+2*E(5)^4,
      E(5)^3-E(5)^4 ], [ 0, 0, 0, 0, 0, -1 ] ] ]
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsAffordingRepresentation( chi, equ );</span>
true
 </pre></div>


<div class="chlinkprevnextbot"> <a href="chap0_mj.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0_mj.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap1_mj.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap3_mj.html">[Next Chapter]</a>   </div>


<div class="chlinkbot"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0_mj.html">Top</a>  <a href="chap1_mj.html">1</a>  <a href="chap2_mj.html">2</a>  <a href="chap3_mj.html">3</a>  <a href="chapBib_mj.html">Bib</a>  <a href="chapInd_mj.html">Ind</a>  </div>

<hr />
<p class="foot">generated by <a href="http://www.math.rwth-aachen.de/~Frank.Luebeck/GAPDoc">GAPDoc2HTML</a></p>
</body>
</html>

99%


¤ Dauer der Verarbeitung: 0.20 Sekunden  (vorverarbeitet)  ¤

*© Formatika GbR, Deutschland




Wurzel

Suchen

Beweissystem der NASA

Beweissystem Isabelle

NIST Cobol Testsuite

Cephes Mathematical Library

Wiener Entwicklungsmethode

Haftungshinweis

Die Informationen auf dieser Webseite wurden nach bestem Wissen sorgfältig zusammengestellt. Es wird jedoch weder Vollständigkeit, noch Richtigkeit, noch Qualität der bereit gestellten Informationen zugesichert.

Bemerkung:

Die farbliche Syntaxdarstellung ist noch experimentell.