Gedichte Musik Bilder Quellcodebibliothek Diashow Normaldarstellung
Quellcodebibliothek Statistik Leitseite products/Sources/formale Sprachen/GAP/pkg/simpcomp/doc/   (Algebra von RWTH Aachen Version 4.15.1©)  Datei vom 18.2.2022 mit Größe 37 kB image not shown  

Quelle  chap8.html   Sprache: HTML

 
 products/Sources/formale Sprachen/GAP/pkg/simpcomp/doc/chap8.html


<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>

<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN"
         "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd">

<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="en">
<head>
<title>GAP (simpcomp) - Chapter 8: (Co-)Homology of simplicial complexes</title>
<meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<meta name="generator" content="GAPDoc2HTML" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="manual.css" />
<script src="manual.js" type="text/javascript"></script>
<script type="text/javascript">overwriteStyle();</script>
</head>
<body class="chap8"  onload="jscontent()">


<div class="chlinktop"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0.html">Top</a>  <a href="chap1.html">1</a>  <a href="chap2.html">2</a>  <a href="chap3.html">3</a>  <a href="chap4.html">4</a>  <a href="chap5.html">5</a>  <a href="chap6.html">6</a>  <a href="chap7.html">7</a>  <a href="chap8.html">8</a>  <a href="chap9.html">9</a>  <a href="chap10.html">10</a>  <a href="chap11.html">11</a>  <a href="chap12.html">12</a>  <a href="chap13.html">13</a>  <a href="chap14.html">14</a>  <a href="chap15.html">15</a>  <a href="chap16.html">16</a>  <a href="chap17.html">17</a>  <a href="chap18.html">18</a>  <a href="chapBib.html">Bib</a>  <a href="chapInd.html">Ind</a>  </div>

<div class="chlinkprevnexttop"> <a href="chap0.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap7.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap9.html">[Next Chapter]</a>   </div>

<p id="mathjaxlink" class="pcenter"><a href="chap8_mj.html">[MathJax on]</a></p>
<p><a id="X7B0C706A848A2542" name="X7B0C706A848A2542"></a></p>
<div class="ChapSects"><a href="chap8.html#X7B0C706A848A2542">8 <span class="Heading">(Co-)Homology of simplicial complexes</span></a>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap8.html#X7DCD23807E4DD2B2">8.1 <span class="Heading">Homology computation</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap8.html#X8762B952823BDEF3">8.1-1 SCBoundaryOperatorMatrix</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap8.html#X7E5983748742026D">8.1-2 SCBoundarySimplex</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap8.html#X7F9B47A97F5FA005">8.1-3 SCHomologyBasis</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap8.html#X7C569D9A7868C697">8.1-4 SCHomologyBasisAsSimplices</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap8.html#X858989CE797A8366">8.1-5 SCHomologyInternal</a></span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap8.html#X86A940277A35331B">8.2 <span class="Heading">Cohomology computation</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap8.html#X8527CC347F606648">8.2-1 SCCoboundaryOperatorMatrix</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap8.html#X7926D71A8169629B">8.2-2 SCCohomology</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap8.html#X85910A6B824D63A4">8.2-3 SCCohomologyBasis</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap8.html#X7A5047E57E150716">8.2-4 SCCohomologyBasisAsSimplices</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap8.html#X7A9137847BF96DF3">8.2-5 SCCupProduct</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap8.html#X835E7016826D14A8">8.2-6 SCIntersectionForm</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap8.html#X791C2B45872A71CA">8.2-7 SCIntersectionFormParity</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap8.html#X7B5F948B84F5E316">8.2-8 SCIntersectionFormDimensionality</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap8.html#X87375A6978F3C8CD">8.2-9 SCIntersectionFormSignature</a></span>
</div></div>
</div>

<h3>8 <span class="Heading">(Co-)Homology of simplicial complexes</span></h3>

<p>By default, <strong class="pkg">simpcomp</strong> uses an algorithm based on discrete Morse theory (see Chapter <a href="chap12.html#X7E9FD84F822A58D6"><span class="RefLink">12</span></a>, <code class="func">SCHomology</code> (<a href="chap7.html#X78D66254858CE901"><span class="RefLink">7.3-9</span></a>)) for its homology computations. However, some additional (co-)homology related functionality cannot be realised using this algorithm. For this, <strong class="pkg">simpcomp</strong> contains an additional (co-)homology algorithm (cf. <code class="func">SCHomologyInternal</code> (<a href="chap8.html#X858989CE797A8366"><span class="RefLink">8.1-5</span></a>)), which will be presented in this chapter.</p>

<p>Furthermore, whenever possible <strong class="pkg">simpcomp</strong> makes use of the <strong class="pkg">GAP</strong> package ''homology'' <a href="chapBib.html#biBDumas04Homology">[DHSW11]</a>, for an alternative method to calculate homology groups (cf. <code class="func">SCHomologyClassic</code> (<a href="chap6.html#X864978877E7D4DA0"><span class="RefLink">6.9-31</span></a>)) which sometimes is much faster than the built-in discrete Morse theory algorithm.</p>

<p><a id="X7DCD23807E4DD2B2" name="X7DCD23807E4DD2B2"></a></p>

<h4>8.1 <span class="Heading">Homology computation</span></h4>

<p>Apart from calculating boundaries of simplices, boundary matrices or the simplicial homology of a given complex, <strong class="pkg">simpcomp</strong> is also able to compute a basis of the homology groups.</p>

<p><a id="X8762B952823BDEF3" name="X8762B952823BDEF3"></a></p>

<h5>8.1-1 SCBoundaryOperatorMatrix</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ SCBoundaryOperatorMatrix</code>( <var class="Arg">complex</var>, <var class="Arg">k</var> )</td><td class="tdright">( method )</td></tr></table></div>
<p>Returns: a rectangular matrix upon success, <code class="keyw">fail</code> otherwise.</p>

<p>Calculates the matrix of the boundary operator <span class="SimpleMath">∂_<var class="Arg">k+1</var></span> of a simplicial complex <var class="Arg">complex</var>. Note that each column contains the boundaries of a <var class="Arg">k</var><span class="SimpleMath">+1</span>-simplex as a list of oriented <var class="Arg">k</var>-simplices and that the matrix is stored as a list of row vectors (as usual in GAP).</p>


<div class="example"><pre>
 gap> c:=SCFromFacets([[1,2,3],[1,2,6],[1,3,5],[1,4,5],[1,4,6],\
                       [2,3,4],[2,4,5],[2,5,6],[3,4,6],[3,5,6]]);;
 gap> mat:=SCBoundaryOperatorMatrix(c,1);
 [ [ 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ], 
   [ -1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ], 
   [ 0, -1, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0 ], 
   [ 0, 0, -1, 0, 0, 0, -1, 0, 0, -1, 0, 0, 1, 1, 0 ], 
   [ 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, -1, 0, 0, -1, 0, -1, 0, 1 ], 
   [ 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, -1, 0, 0, -1, 0, -1, -1 ] ]
 </pre></div>

<p><a id="X7E5983748742026D" name="X7E5983748742026D"></a></p>

<h5>8.1-2 SCBoundarySimplex</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ SCBoundarySimplex</code>( <var class="Arg">simplex</var>, <var class="Arg">orientation</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: a list upon success, <code class="keyw">fail</code> otherwise.</p>

<p>Calculates the boundary of a given <var class="Arg">simplex</var>. If the flag <var class="Arg">orientation</var> is set to <code class="keyw">true</code>, the function returns the boundary as a list of oriented simplices of the form [ ORIENTATION, SIMPLEX ], where ORIENTATION is either +1 or -1 and a value of +1 means that SIMPLEX is positively oriented and a value of -1 that SIMPLEX is negatively oriented. If <var class="Arg">orientation</var> is set to <code class="keyw">false</code>, an unoriented list of simplices is returned.</p>


<div class="example"><pre>
 gap> SCBoundarySimplex([1..5],true);
 [ [ -1, [ 2, 3, 4, 5 ] ], [ 1, [ 1, 3, 4, 5 ] ], [ -1, [ 1, 2, 4, 5 ] ], 
   [ 1, [ 1, 2, 3, 5 ] ], [ -1, [ 1, 2, 3, 4 ] ] ]
 gap> SCBoundarySimplex([1..5],false);
 [ [ 2, 3, 4, 5 ], [ 1, 3, 4, 5 ], [ 1, 2, 4, 5 ], [ 1, 2, 3, 5 ], 
   [ 1, 2, 3, 4 ] ]
 </pre></div>

<p><a id="X7F9B47A97F5FA005" name="X7F9B47A97F5FA005"></a></p>

<h5>8.1-3 SCHomologyBasis</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ SCHomologyBasis</code>( <var class="Arg">complex</var>, <var class="Arg">k</var> )</td><td class="tdright">( method )</td></tr></table></div>
<p>Returns: a list of pairs of the form <code class="code">[ integer, list of linear combinations of simplices ]</code> upon success, <code class="keyw">fail</code> otherwise.</p>

<p>Calculates a set of basis elements for the <var class="Arg">k</var>-dimensional homology group (with integer coefficients) of a simplicial complex <var class="Arg">complex</var>. The entries of the returned list are of the form [ MODULUS, [ BASEELM1, BASEELM2, ...] ], where the value MODULUS is 1 for the basis elements of the free part of the <var class="Arg">k</var>-th homology group and <span class="SimpleMath">q≥ 2</span> for the basis elements of the <span class="SimpleMath">q</span>-torsion part. In contrast to the function <code class="func">SCHomologyBasisAsSimplices</code> (<a href="chap8.html#X7C569D9A7868C697"><span class="RefLink">8.1-4</span></a>) the basis elements are stored as lists of coefficient-index pairs referring to the simplices of the complex, i.e. a basis element of the form <span class="SimpleMath">[ [ λ_1, i], [λ_2, j], dots ] dots</span> encodes the linear combination of simplices of the form <span class="SimpleMath">λ_1*∆_1+λ_2*∆_2</span> with <span class="SimpleMath">∆_1</span>=<code class="code">SCSkel(complex,k)[i]</code>, <span class="SimpleMath">∆_2</span>=<code class="code">SCSkel(complex,k)[j]</code> and so on.</p>


<div class="example"><pre>
 gap> SCLib.SearchByName("(S^2xS^1)#RP^3");
 [ [ 237, "(S^2xS^1)#RP^3" ] ]
 gap> c:=SCLib.Load(last[1][1]);;
 gap> SCHomologyBasis(c,1);
 [ [ 1, [ [ 1, 12 ], [ -1, 7 ], [ 1, 1 ] ] ], 
   [ 2, [ [ 1, 68 ], [ -1, 69 ], [ -1, 71 ], [ 2, 72 ], [ -2, 73 ] ] ] ]
 </pre></div>

<p><a id="X7C569D9A7868C697" name="X7C569D9A7868C697"></a></p>

<h5>8.1-4 SCHomologyBasisAsSimplices</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ SCHomologyBasisAsSimplices</code>( <var class="Arg">complex</var>, <var class="Arg">k</var> )</td><td class="tdright">( method )</td></tr></table></div>
<p>Returns: a list of pairs of the form <code class="code">[ integer, list of linear combinations of simplices ]</code> upon success, <code class="keyw">fail</code> otherwise.</p>

<p>Calculates a set of basis elements for the <var class="Arg">k</var>-dimensional homology group (with integer coefficients) of a simplicial complex <var class="Arg">complex</var>. The entries of the returned list are of the form [ MODULUS, [ BASEELM1, BASEELM2, ...] ], where the value MODULUS is 1 for the basis elements of the free part of the <var class="Arg">k</var>-th homology group and <span class="SimpleMath">q≥ 2</span> for the basis elements of the <span class="SimpleMath">q</span>-torsion part. In contrast to the function <code class="func">SCHomologyBasis</code> (<a href="chap8.html#X7F9B47A97F5FA005"><span class="RefLink">8.1-3</span></a>) the basis elements are stored as lists of coefficient-simplex pairs, i.e. a basis element of the form <span class="SimpleMath">[ [ λ_1, ∆_1], [λ_2, ∆_2], dots ]</span> encodes the linear combination of simplices of the form <span class="SimpleMath">λ_1*∆_1+λ_2*∆_2 + dots</span>.</p>


<div class="example"><pre>
 gap> SCLib.SearchByName("(S^2xS^1)#RP^3");
 [ [ 237, "(S^2xS^1)#RP^3" ] ]
 gap> c:=SCLib.Load(last[1][1]);;
 gap> SCHomologyBasisAsSimplices(c,1);
 [ [ 1, [ [ 1, [ 2, 8 ] ], [ -1, [ 1, 8 ] ], [ 1, [ 1, 2 ] ] ] ], 
   [ 2, 
       [ [ 1, [ 11, 12 ] ], [ -1, [ 11, 13 ] ], [ -1, [ 12, 13 ] ], 
           [ 2, [ 12, 14 ] ], [ -2, [ 13, 14 ] ] ] ] ]
 </pre></div>

<p><a id="X858989CE797A8366" name="X858989CE797A8366"></a></p>

<h5>8.1-5 SCHomologyInternal</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ SCHomologyInternal</code>( <var class="Arg">complex</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: a list of pairs of the form <code class="code">[ integer, list ]</code> upon success, <code class="keyw">fail</code> otherwise.</p>

<p>This function computes the reduced simplicial homology with integer coefficients of a given simplicial complex <var class="Arg">complex</var> with integer coefficients. It uses the algorithm described in <a href="chapBib.html#biBDesbrun08DiscDiffFormCompModel">[DKT08]</a>.</p>

<p>The output is a list of homology groups of the form <span class="SimpleMath">[H_0,....,H_d]</span>, where <span class="SimpleMath">d</span> is the dimension of <var class="Arg">complex</var>. The format of the homology groups <span class="SimpleMath">H_i</span> is given in terms of their maximal cyclic subgroups, i.e. a homology group <span class="SimpleMath">H_i≅ Z^f + Z / t_1 Z × dots × Z / t_n Z</span> is returned in form of a list <span class="SimpleMath">[ f, [t_1,...,t_n] ]</span>, where <span class="SimpleMath">f</span> is the (integer) free part of <span class="SimpleMath">H_i</span> and <span class="SimpleMath">t_i</span> denotes the torsion parts of <span class="SimpleMath">H_i</span> ordered in weakly incresing size. See also <code class="func">SCHomology</code> (<a href="chap7.html#X78D66254858CE901"><span class="RefLink">7.3-9</span></a>) and <code class="func">SCHomologyClassic</code> (<a href="chap6.html#X864978877E7D4DA0"><span class="RefLink">6.9-31</span></a>).</p>


<div class="example"><pre>
 gap> c:=SCSurface(1,false);;
 gap> SCHomologyInternal(c);
 [ [ 0, [  ] ], [ 0, [ 2 ] ], [ 0, [  ] ] ]
 </pre></div>

<p><a id="X86A940277A35331B" name="X86A940277A35331B"></a></p>

<h4>8.2 <span class="Heading">Cohomology computation</span></h4>

<p><strong class="pkg">simpcomp</strong> can also compute the cohomology groups of simplicial complexes, bases of these cohomology groups, the cup product of two cocycles and the intersection form of (orientable) 4-manifolds.</p>

<p><a id="X8527CC347F606648" name="X8527CC347F606648"></a></p>

<h5>8.2-1 SCCoboundaryOperatorMatrix</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ SCCoboundaryOperatorMatrix</code>( <var class="Arg">complex</var>, <var class="Arg">k</var> )</td><td class="tdright">( method )</td></tr></table></div>
<p>Returns: a rectangular matrix upon success, <code class="keyw">fail</code> otherwise.</p>

<p>Calculates the matrix of the coboundary operator <span class="SimpleMath">d^<var class="Arg">k+1</var></span> as a list of row vectors.</p>


<div class="example"><pre>
 gap> c:=SCFromFacets([[1,2,3],[1,2,6],[1,3,5],[1,4,5],[1,4,6],\
                       [2,3,4],[2,4,5],[2,5,6],[3,4,6],[3,5,6]]);
 > <SimplicialComplex: unnamed complex 2 | dim = 2 | n = 6>
 gap> mat:=SCCoboundaryOperatorMatrix(c,1);
 [ [ -1, 1, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ], 
   [ -1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ], 
   [ 0, -1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0 ], 
   [ 0, 0, -1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0 ], 
   [ 0, 0, -1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0 ], 
   [ 0, 0, 0, 0, 0, -1, 1, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0 ], 
   [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 1, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0 ], 
   [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, -1 ], 
   [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0 ], 
   [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 1, 0, 0, -1 ] ]
 </pre></div>

<p><a id="X7926D71A8169629B" name="X7926D71A8169629B"></a></p>

<h5>8.2-2 SCCohomology</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ SCCohomology</code>( <var class="Arg">complex</var> )</td><td class="tdright">( method )</td></tr></table></div>
<p>Returns: a list of pairs of the form <code class="code">[ integer, list ]</code> upon success, <code class="keyw">fail</code> otherwise.</p>

<p>This function computes the simplicial cohomology groups of a given simplicial complex <var class="Arg">complex</var> with integer coefficients. It uses the algorithm described in <a href="chapBib.html#biBDesbrun08DiscDiffFormCompModel">[DKT08]</a>.</p>

<p>The output is a list of cohomology groups of the form <span class="SimpleMath">[H^0,....,H^d]</span>, where <span class="SimpleMath">d</span> is the dimension of <var class="Arg">complex</var>. The format of the cohomology groups <span class="SimpleMath">H^i</span> is given in terms of their maximal cyclic subgroups, i.e. a cohomology group <span class="SimpleMath">H^i≅ Z^f + Z / t_1 Z × dots × Z / t_n Z</span> is returned in form of a list <span class="SimpleMath">[ f, [t_1,...,t_n] ]</span>, where <span class="SimpleMath">f</span> is the (integer) free part of <span class="SimpleMath">H^i</span> and <span class="SimpleMath">t_i</span> denotes the torsion parts of <span class="SimpleMath">H^i</span> ordered in weakly increasing size.</p>


<div class="example"><pre>
 gap> c:=SCFromFacets([[1,2,3],[1,2,6],[1,3,5],[1,4,5],[1,4,6],
                       [2,3,4],[2,4,5],[2,5,6],[3,4,6],[3,5,6]]);
 > <SimplicialComplex: unnamed complex 4 | dim = 2 | n = 6>
 gap> SCCohomology(c);
 [ [ 1, [  ] ], [ 0, [  ] ], [ 0, [ 2 ] ] ]
 </pre></div>

<p><a id="X85910A6B824D63A4" name="X85910A6B824D63A4"></a></p>

<h5>8.2-3 SCCohomologyBasis</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ SCCohomologyBasis</code>( <var class="Arg">complex</var>, <var class="Arg">k</var> )</td><td class="tdright">( method )</td></tr></table></div>
<p>Returns: a list of pairs of the form <code class="code">[ integer, list of linear combinations of simplices ]</code> upon success, <code class="keyw">fail</code> otherwise.</p>

<p>Calculates a set of basis elements for the <var class="Arg">k</var>-dimensional cohomology group (with integer coefficients) of a simplicial complex <var class="Arg">complex</var>. The entries of the returned list are of the form [ MODULUS, [ BASEELM1, BASEELM2, ...] ], where the value MODULUS is 1 for the basis elements of the free part of the <var class="Arg">k</var>-th homology group and <span class="SimpleMath">q≥ 2</span> for the basis elements of the <span class="SimpleMath">q</span>-torsion part. In contrast to the function <code class="func">SCCohomologyBasisAsSimplices</code> (<a href="chap8.html#X7A5047E57E150716"><span class="RefLink">8.2-4</span></a>) the basis elements are stored as lists of coefficient-index pairs referring to the linear forms dual to the simplices in the <span class="SimpleMath">k</span>-th cochain complex of <var class="Arg">complex</var>, i.e. a basis element of the form <span class="SimpleMath">[ [ λ_1, i], [λ_2, j], dots ] dots</span> encodes the linear combination of simplices (or their dual linear forms in the corresponding cochain complex) of the form <span class="SimpleMath">λ_1*∆_1+λ_2*∆_2</span> with <span class="SimpleMath">∆_1</span>=<code class="code">SCSkel(complex,k)[i]</code>, <span class="SimpleMath">∆_2</span>=<code class="code">SCSkel(complex,k)[j]</code> and so on.</p>


<div class="example"><pre>
 gap> SCLib.SearchByName("SU(3)/SO(3)");   
 [ [ 219, "SU(3)/SO(3) (VT)" ], [ 477, "SU(3)/SO(3) (VT)" ], 
   [ 484, "SU(3)/SO(3) (VT)" ], [ 486, "SU(3)/SO(3) (VT)" ] ]
 gap> c:=SCLib.Load(last[1][1]);;
 gap> SCCohomologyBasis(c,3); 
 [ [ 2, [ [ -9, 259 ], [ 9, 262 ], [ 9, 263 ], [ -9, 270 ], [ 9, 271 ], 
           [ -9, 273 ], [ -9, 274 ], [ -18, 275 ], [ -9, 276 ], [ 9, 278 ], 
           [ -9, 279 ], [ -9, 280 ], [ 3, 283 ], [ -3, 285 ], [ 3, 289 ], 
           [ -3, 294 ], [ 3, 310 ], [ -3, 313 ], [ 3, 316 ], [ -1, 317 ], 
           [ -6, 318 ], [ 3, 319 ], [ -6, 320 ], [ 6, 321 ], [ 1, 322 ], 
           [ 3, 325 ], [ -1, 328 ], [ 6, 330 ], [ -2, 331 ], [ 12, 332 ], 
           [ 7, 333 ], [ -5, 334 ], [ 1, 345 ], [ 3, 355 ], [ -9, 357 ], 
           [ 9, 358 ], [ 1, 363 ], [ 12, 365 ], [ -9, 366 ], [ -3, 370 ], 
           [ -1, 371 ], [ -3, 372 ], [ 8, 373 ], [ -1, 374 ], [ 6, 375 ], 
           [ 9, 376 ], [ 3, 377 ], [ 1, 380 ], [ 3, 383 ], [ -8, 385 ], 
           [ -9, 386 ], [ -9, 388 ], [ -18, 404 ], [ 9, 410 ], [ -9, 425 ], 
           [ -18, 426 ], [ -9, 427 ], [ 9, 428 ], [ -9, 429 ], [ 3, 433 ], 
           [ -3, 435 ], [ -9, 437 ], [ 10, 442 ], [ 12, 445 ], [ 1, 447 ], 
           [ -19, 448 ], [ 2, 449 ], [ -1, 450 ], [ -9, 451 ], [ 3, 453 ], 
           [ 1, 455 ], [ 1, 457 ], [ -11, 458 ], [ -9, 459 ], [ 9, 461 ], 
           [ 9, 462 ], [ -9, 468 ], [ 9, 469 ], [ -18, 471 ], [ -9, 472 ], 
           [ 9, 474 ], [ -9, 475 ], [ 9, 488 ], [ 9, 495 ], [ -9, 500 ], 
           [ -3, 504 ], [ 9, 505 ], [ 9, 512 ], [ 9, 515 ], [ 6, 519 ], 
           [ 18, 521 ], [ -15, 523 ], [ 9, 524 ], [ -3, 525 ], [ 18, 527 ], 
           [ -18, 528 ], [ 6, 529 ], [ 6, 531 ], [ 12, 532 ] ] ] ]
 </pre></div>

<p><a id="X7A5047E57E150716" name="X7A5047E57E150716"></a></p>

<h5>8.2-4 SCCohomologyBasisAsSimplices</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ SCCohomologyBasisAsSimplices</code>( <var class="Arg">complex</var>, <var class="Arg">k</var> )</td><td class="tdright">( method )</td></tr></table></div>
<p>Returns: a list of pars of the form <code class="code">[ integer, linear combination of simplices ]</code> upon success, <code class="keyw">fail</code> otherwise.</p>

<p>Calculates a set of basis elements for the <var class="Arg">k</var>-dimensional cohomology group (with integer coefficients) of a simplicial complex <var class="Arg">complex</var>. The entries of the returned list are of the form [ MODULUS, [ BASEELM1, BASEELM2, ...] ], where the value MODULUS is 1 for the basis elements of the free part of the <var class="Arg">k</var>-th homology group and <span class="SimpleMath">q≥ 2</span> for the basis elements of the <span class="SimpleMath">q</span>-torsion part. In contrast to the function <code class="func">SCCohomologyBasis</code> (<a href="chap8.html#X85910A6B824D63A4"><span class="RefLink">8.2-3</span></a>) the basis elements are stored as lists of coefficient-simplex pairs referring to the linear forms dual to the simplices in the <span class="SimpleMath">k</span>-th cochain complex of <var class="Arg">complex</var>, i.e. a basis element of the form <span class="SimpleMath">[ [ λ_1, ∆_i], [λ_2, ∆_j], dots ] dots</span> encodes the linear combination of simplices (or their dual linear forms in the corresponding cochain complex) of the form <span class="SimpleMath">λ_1*∆_1+λ_2*∆_2 + dots</span>.</p>


<div class="example"><pre>
 gap> SCLib.SearchByName("SU(3)/SO(3)");   
 [ [ 219, "SU(3)/SO(3) (VT)" ], [ 477, "SU(3)/SO(3) (VT)" ], 
   [ 484, "SU(3)/SO(3) (VT)" ], [ 486, "SU(3)/SO(3) (VT)" ] ]
 gap> c:=SCLib.Load(last[1][1]);;
 gap> SCCohomologyBasisAsSimplices(c,3);
 [ [ 2, 
       [ [ -9, [ 2, 7, 8, 9 ] ], [ 9, [ 2, 7, 8, 12 ] ], 
           [ 9, [ 2, 7, 8, 13 ] ], [ -9, [ 2, 7, 11, 12 ] ], 
           [ 9, [ 2, 7, 11, 13 ] ], [ -9, [ 2, 8, 9, 10 ] ], 
           [ -9, [ 2, 8, 9, 11 ] ], [ -18, [ 2, 8, 9, 12 ] ], 
           [ -9, [ 2, 8, 9, 13 ] ], [ 9, [ 2, 8, 10, 12 ] ], 
           [ -9, [ 2, 8, 10, 13 ] ], [ -9, [ 2, 8, 11, 12 ] ], 
           [ 3, [ 2, 9, 10, 12 ] ], [ -3, [ 2, 9, 11, 12 ] ], 
           [ 3, [ 3, 4, 5, 7 ] ], [ -3, [ 3, 4, 5, 12 ] ], 
           [ 3, [ 3, 4, 10, 12 ] ], [ -3, [ 3, 5, 6, 7 ] ], 
           [ 3, [ 3, 5, 6, 11 ] ], [ -1, [ 3, 5, 6, 13 ] ], 
           [ -6, [ 3, 5, 7, 8 ] ], [ 3, [ 3, 5, 7, 10 ] ], 
           [ -6, [ 3, 5, 7, 11 ] ], [ 6, [ 3, 5, 7, 12 ] ], 
           [ 1, [ 3, 5, 7, 13 ] ], [ 3, [ 3, 5, 8, 12 ] ], 
           [ -1, [ 3, 5, 9, 13 ] ], [ 6, [ 3, 5, 10, 12 ] ], 
           [ -2, [ 3, 5, 10, 13 ] ], [ 12, [ 3, 5, 11, 12 ] ], 
           [ 7, [ 3, 5, 11, 13 ] ], [ -5, [ 3, 5, 12, 13 ] ], 
           [ 1, [ 3, 6, 9, 13 ] ], [ 3, [ 3, 7, 10, 12 ] ], 
           [ -9, [ 3, 7, 11, 12 ] ], [ 9, [ 3, 7, 11, 13 ] ], 
           [ 1, [ 3, 8, 9, 13 ] ], [ 12, [ 3, 8, 10, 12 ] ], 
           [ -9, [ 3, 8, 10, 13 ] ], [ -3, [ 3, 9, 10, 12 ] ], 
           [ -1, [ 3, 9, 10, 13 ] ], [ -3, [ 3, 9, 11, 12 ] ], 
           [ 8, [ 3, 9, 11, 13 ] ], [ -1, [ 3, 9, 12, 13 ] ], 
           [ 6, [ 3, 10, 11, 12 ] ], [ 9, [ 3, 10, 11, 13 ] ], 
           [ 3, [ 3, 10, 12, 13 ] ], [ 1, [ 4, 5, 6, 8 ] ], 
           [ 3, [ 4, 5, 6, 11 ] ], [ -8, [ 4, 5, 6, 13 ] ], 
           [ -9, [ 4, 5, 7, 8 ] ], [ -9, [ 4, 5, 7, 11 ] ], 
           [ -18, [ 4, 6, 8, 9 ] ], [ 9, [ 4, 6, 9, 13 ] ], 
           [ -9, [ 4, 8, 9, 10 ] ], [ -18, [ 4, 8, 9, 12 ] ], 
           [ -9, [ 4, 8, 9, 13 ] ], [ 9, [ 4, 8, 10, 12 ] ], 
           [ -9, [ 4, 8, 10, 13 ] ], [ 3, [ 4, 9, 10, 12 ] ], 
           [ -3, [ 4, 9, 11, 12 ] ], [ -9, [ 4, 9, 12, 13 ] ], 
           [ 10, [ 5, 6, 7, 8 ] ], [ 12, [ 5, 6, 7, 11 ] ], 
           [ 1, [ 5, 6, 7, 13 ] ], [ -19, [ 5, 6, 8, 9 ] ], 
           [ 2, [ 5, 6, 8, 11 ] ], [ -1, [ 5, 6, 8, 12 ] ], 
           [ -9, [ 5, 6, 8, 13 ] ], [ 3, [ 5, 6, 9, 11 ] ], 
           [ 1, [ 5, 6, 9, 13 ] ], [ 1, [ 5, 6, 10, 13 ] ], 
           [ -11, [ 5, 6, 11, 13 ] ], [ -9, [ 5, 7, 8, 9 ] ], 
           [ 9, [ 5, 7, 8, 12 ] ], [ 9, [ 5, 7, 8, 13 ] ], 
           [ -9, [ 5, 7, 11, 12 ] ], [ 9, [ 5, 7, 11, 13 ] ], 
           [ -18, [ 5, 8, 9, 12 ] ], [ -9, [ 5, 8, 9, 13 ] ], 
           [ 9, [ 5, 8, 10, 12 ] ], [ -9, [ 5, 8, 11, 12 ] ], 
           [ 9, [ 6, 7, 8, 13 ] ], [ 9, [ 6, 7, 11, 13 ] ], 
           [ -9, [ 6, 8, 10, 13 ] ], [ -3, [ 6, 9, 11, 12 ] ], 
           [ 9, [ 6, 9, 11, 13 ] ], [ 9, [ 7, 8, 9, 13 ] ], 
           [ 9, [ 7, 8, 11, 12 ] ], [ 6, [ 7, 9, 11, 12 ] ], 
           [ 18, [ 7, 11, 12, 13 ] ], [ -15, [ 8, 9, 10, 12 ] ], 
           [ 9, [ 8, 9, 10, 13 ] ], [ -3, [ 8, 9, 11, 12 ] ], 
           [ 18, [ 8, 10, 11, 12 ] ], [ -18, [ 8, 10, 12, 13 ] ], 
           [ 6, [ 9, 10, 11, 12 ] ], [ 6, [ 9, 10, 12, 13 ] ], 
           [ 12, [ 9, 11, 12, 13 ] ] ] ] ]
 </pre></div>

<p><a id="X7A9137847BF96DF3" name="X7A9137847BF96DF3"></a></p>

<h5>8.2-5 SCCupProduct</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ SCCupProduct</code>( <var class="Arg">complex</var>, <var class="Arg">cocycle1</var>, <var class="Arg">cocycle2</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: a list of pairs of the form <code class="code">[ ORIENTATION, SIMPLEX ]</code> upon success, <code class="keyw">fail</code> otherwise.</p>

<p>The cup product is a method of adjoining two cocycles of degree <span class="SimpleMath">p</span> and <span class="SimpleMath">q</span> to form a composite cocycle of degree <span class="SimpleMath">p + q</span>. It endows the cohomology groups of a simplicial complex with the structure of a ring.</p>

<p>The construction of the cup product starts with a product of cochains: if <var class="Arg">cocycle1</var> is a p-cochain and <var class="Arg">cocylce2</var> is a q-cochain of a simplicial complex <var class="Arg">complex</var> (given as list of oriented p- (q-)simplices), then</p>

<p><var class="Arg">cocycle1</var> <span class="SimpleMath">⌣</span> <var class="Arg">cocycle2</var><span class="SimpleMath">(σ) =</span><var class="Arg">cocycle1</var><span class="SimpleMath">(σ ∘ ι_0,1, ... p) ⋅</span> <var class="Arg">cocycle2</var><span class="SimpleMath">(σ ∘ ι_p, p+1 ,..., p + q)</span></p>

<p>where <span class="SimpleMath">σ</span> is a <span class="SimpleMath">p + q</span>-simplex and <span class="SimpleMath">ι_S</span>, <span class="SimpleMath">S ⊂ {0,1,...,p+q }</span> is the canonical embedding of the simplex spanned by <span class="SimpleMath">S</span> into the <span class="SimpleMath">(p + q)</span>-standard simplex.</p>

<p><span class="SimpleMath">σ ∘ ι_0,1, ..., p</span> is called the <span class="SimpleMath">p</span>-th front face and <span class="SimpleMath">σ ∘ ι_p, p+1, ..., p + q</span> is the <span class="SimpleMath">q</span>-th back face of <span class="SimpleMath">σ</span>, respectively.</p>

<p>Note that this function only computes the cup product in the case that <var class="Arg">complex</var> is an orientable weak pseudomanifold of dimension <span class="SimpleMath">2k</span> and <span class="SimpleMath">p = q = k</span>. Furthermore, <var class="Arg">complex</var> must be given in standard labeling, with sorted facet list and <var class="Arg">cocylce1</var> and <var class="Arg">cocylce2</var> must be given in simplex notation and labeled accordingly. Note that the latter condition is usually fulfilled in case the cocycles were computed using <code class="func">SCCohomologyBasisAsSimplices</code> (<a href="chap8.html#X7A5047E57E150716"><span class="RefLink">8.2-4</span></a>).</p>


<div class="example"><pre>
 gap> SCLib.SearchByName("K3");
 [ [ 520, "K3_16" ], [ 539, "K3_17" ] ]
 gap> c:=SCLib.Load(last[1][1]);;                                     
 gap> basis:=SCCohomologyBasisAsSimplices(c,2);;
 gap> SCCupProduct(c,basis[1][2],basis[1][2]);
 [ [ 1, [ 1, 2, 4, 7, 11 ] ], [ 1, [ 2, 3, 4, 5, 9 ] ] ]
 gap> SCCupProduct(c,basis[1][2],basis[2][2]);
 [ [ -1, [ 1, 2, 4, 7, 11 ] ], [ -1, [ 1, 2, 4, 7, 15 ] ], 
   [ -1, [ 2, 3, 4, 5, 9 ] ] ]
 </pre></div>

<p><a id="X835E7016826D14A8" name="X835E7016826D14A8"></a></p>

<h5>8.2-6 SCIntersectionForm</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ SCIntersectionForm</code>( <var class="Arg">complex</var> )</td><td class="tdright">( method )</td></tr></table></div>
<p>Returns: a square matrix of integer values upon success, <code class="keyw">fail</code> otherwise.</p>

<p>For <span class="SimpleMath">2k</span>-dimensional orientable manifolds <span class="SimpleMath">M</span> the cup product (see <code class="func">SCCupProduct</code> (<a href="chap8.html#X7A9137847BF96DF3"><span class="RefLink">8.2-5</span></a>)) defines a bilinear form</p>

<p>H<span class="SimpleMath">^k ( M ) ×</span>H<span class="SimpleMath">^k ( M ) -></span>H<span class="SimpleMath">^2k (M), (a,b) ↦ a ∪ b</span></p>

<p>called the intersection form of <span class="SimpleMath">M</span>. This function returns the intersection form of an orientable combinatorial <span class="SimpleMath">2k</span>-manifold <var class="Arg">complex</var> in form of a matrix <code class="code">mat</code> with respect to the basis of H<span class="SimpleMath">^k (</span><var class="Arg">complex</var>M<span class="SimpleMath">)</span> computed by <code class="func">SCCohomologyBasisAsSimplices</code> (<a href="chap8.html#X7A5047E57E150716"><span class="RefLink">8.2-4</span></a>). The matrix entry <code class="code">mat[i][j]</code> equals the intersection number of the <code class="code">i</code>-th base element with the <code class="code">j</code>-th base element of H<span class="SimpleMath">^k (</span><var class="Arg">complex</var>M<span class="SimpleMath">)</span>.</p>


<div class="example"><pre>
 gap> SCLib.SearchByName("CP^2");       
 [ [ 16, "CP^2 (VT)" ], [ 96, "CP^2#-CP^2" ], [ 97, "CP^2#CP^2" ], 
   [ 185, "CP^2#(S^2xS^2)" ], [ 397, "Gaifullin CP^2" ], 
   [ 457, "(S^3~S^1)#(CP^2)^{#5} (VT)" ] ]
 gap> c:=SCLib.Load(last[1][1]);; 
 gap> c1:=SCConnectedSum(c,c);;
 gap> c2:=SCConnectedSumMinus(c,c);;
 gap> q1:=SCIntersectionForm(c1);;
 gap> q2:=SCIntersectionForm(c2);;
 gap> PrintArray(q1);
 [ [  1,  0 ],
   [  0,  1 ] ]
 gap> PrintArray(q2);
 [ [   1,   0 ],
   [   0,  -1 ] ]
 </pre></div>

<p><a id="X791C2B45872A71CA" name="X791C2B45872A71CA"></a></p>

<h5>8.2-7 SCIntersectionFormParity</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ SCIntersectionFormParity</code>( <var class="Arg">complex</var> )</td><td class="tdright">( method )</td></tr></table></div>
<p>Returns: <code class="code">0</code> or <code class="code">1</code> upon success, <code class="keyw">fail</code> otherwise.</p>

<p>Computes the parity of the intersection form of a combinatorial manifold <var class="Arg">complex</var> (see <code class="func">SCIntersectionForm</code> (<a href="chap8.html#X835E7016826D14A8"><span class="RefLink">8.2-6</span></a>)). If the intersection for is even (i. e. all diagonal entries are even numbers) <code class="code">0</code> is returned, otherwise <code class="code">1</code> is returned.</p>


<div class="example"><pre>
 gap> SCLib.SearchByName("S^2xS^2");;
 gap> c:=SCLib.Load(last[1][1]);;    
 gap> SCIntersectionFormParity(c);
 0
 gap> SCLib.SearchByName("CP^2");;     
 gap> c:=SCLib.Load(last[1][1]);; 
 gap> SCIntersectionFormParity(c);
 1
 </pre></div>

<p><a id="X7B5F948B84F5E316" name="X7B5F948B84F5E316"></a></p>

<h5>8.2-8 SCIntersectionFormDimensionality</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ SCIntersectionFormDimensionality</code>( <var class="Arg">complex</var> )</td><td class="tdright">( method )</td></tr></table></div>
<p>Returns: an integer upon success, <code class="keyw">fail</code> otherwise.</p>

<p>Returns the dimensionality of the intersection form of a combinatorial manifold <var class="Arg">complex</var>, i. e. the length of a minimal generating set of H<span class="SimpleMath">^k (M)</span> (where <span class="SimpleMath">2k</span> is the dimension of <var class="Arg">complex</var>). See <code class="func">SCIntersectionForm</code> (<a href="chap8.html#X835E7016826D14A8"><span class="RefLink">8.2-6</span></a>) for further details.</p>


<div class="example"><pre>
 gap> SCLib.SearchByName("CP^2");;
 gap> c:=SCLib.Load(last[1][1]);; 
 gap> SCIntersectionFormParity(c);
 1
 gap> SCCohomology(c);
 [ [ 1, [  ] ], [ 0, [  ] ], [ 1, [  ] ], [ 0, [  ] ], [ 1, [  ] ] ]
 gap> SCIntersectionFormDimensionality(c);
 1
 gap> d:=SCConnectedProduct(c,10);;
 gap> SCIntersectionFormDimensionality(d);
 10
 </pre></div>

<p><a id="X87375A6978F3C8CD" name="X87375A6978F3C8CD"></a></p>

<h5>8.2-9 SCIntersectionFormSignature</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ SCIntersectionFormSignature</code>( <var class="Arg">complex</var> )</td><td class="tdright">( method )</td></tr></table></div>
<p>Returns: a triple of integers upon success, <code class="keyw">fail</code> otherwise.</p>

<p>Computes the dimensionality (see <code class="func">SCIntersectionFormDimensionality</code> (<a href="chap8.html#X7B5F948B84F5E316"><span class="RefLink">8.2-8</span></a>)) and the signature of the intersection form of a combinatorial manifold <var class="Arg">complex</var> as a <span class="SimpleMath">3</span>-tuple that contains the dimensionality in the first entry and the number of positive / negative eigenvalues in the second and third entry. See <code class="func">SCIntersectionForm</code> (<a href="chap8.html#X835E7016826D14A8"><span class="RefLink">8.2-6</span></a>) for further details.</p>

<p>Internally calls the <strong class="pkg">GAP</strong>-functions <code class="code">Matrix_CharacteristicPolynomialSameField</code> and <code class="code">CoefficientsOfLaurentPolynomial</code> to compute the number of positive / negative eigenvalues of the intersection form.</p>


<div class="example"><pre>
 gap> SCLib.SearchByName("CP^2");;
 gap> c:=SCLib.Load(last[1][1]);;
 gap> SCIntersectionFormParity(c);
 1
 gap> SCCohomology(c);
 [ [ 1, [  ] ], [ 0, [  ] ], [ 1, [  ] ], [ 0, [  ] ], [ 1, [  ] ] ]
 gap> SCIntersectionFormSignature(c);
 [ 1, 0, 1 ]
 gap> d:=SCConnectedSum(c,c);                           
 <SimplicialComplex: CP^2 (VT)#+-CP^2 (VT) | dim = 4 | n = 13>
 gap> SCIntersectionFormSignature(d);
 [ 2, 2, 0 ]
 gap> d:=SCConnectedSumMinus(c,c);;
 gap> SCIntersectionFormSignature(d);
 [ 2, 1, 1 ]
 </pre></div>


<div class="chlinkprevnextbot"> <a href="chap0.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap7.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap9.html">[Next Chapter]</a>   </div>


<div class="chlinkbot"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0.html">Top</a>  <a href="chap1.html">1</a>  <a href="chap2.html">2</a>  <a href="chap3.html">3</a>  <a href="chap4.html">4</a>  <a href="chap5.html">5</a>  <a href="chap6.html">6</a>  <a href="chap7.html">7</a>  <a href="chap8.html">8</a>  <a href="chap9.html">9</a>  <a href="chap10.html">10</a>  <a href="chap11.html">11</a>  <a href="chap12.html">12</a>  <a href="chap13.html">13</a>  <a href="chap14.html">14</a>  <a href="chap15.html">15</a>  <a href="chap16.html">16</a>  <a href="chap17.html">17</a>  <a href="chap18.html">18</a>  <a href="chapBib.html">Bib</a>  <a href="chapInd.html">Ind</a>  </div>

<hr />
<p class="foot">generated by <a href="http://www.math.rwth-aachen.de/~Frank.Luebeck/GAPDoc">GAPDoc2HTML</a></p>
</body>
</html>

97%


¤ Dauer der Verarbeitung: 0.21 Sekunden  (vorverarbeitet)  ¤

*© Formatika GbR, Deutschland




Wurzel

Suchen

Beweissystem der NASA

Beweissystem Isabelle

NIST Cobol Testsuite

Cephes Mathematical Library

Wiener Entwicklungsmethode

Haftungshinweis

Die Informationen auf dieser Webseite wurden nach bestem Wissen sorgfältig zusammengestellt. Es wird jedoch weder Vollständigkeit, noch Richtigkeit, noch Qualität der bereit gestellten Informationen zugesichert.

Bemerkung:

Die farbliche Syntaxdarstellung ist noch experimentell.