Quelle  twisted_conjugacy_extra.tst   Sprache: unbekannt

gap> START_TEST( "Testing TwistedConjugacy for PcpGroups: extra tests" );

#
gap> G := ExamplesOfSomePcpGroups( 5 );;
gap> idG := IdentityMapping( G );;
gap> ReidemeisterNumber( idG ); # quotient gives infinity
infinity
gap> trivG := GroupHomomorphismByFunction( G, G, g -> One( G ) );;
gap> Size( ReidemeisterClasses( trivG ) );
1

#
gap> F := FittingSubgroup( G );;
gap> incF := GroupHomomorphismByImages( F, G, GeneratorsOfGroup( F ), GeneratorsOfGroup( F ) );;
gap> homF := GroupHomomorphismByImages( F, F, [ F.1, F.2, F.3 ], [ F.1^2*F.2, F.1^3*F.2^2, F.3 ] );;
gap> ReidemeisterClasses( incF, incF );
fail
gap> tcc := ReidemeisterClass( incF, incF, One( G ) );;
gap> Size( tcc );
1
gap> List( tcc );
[ id ]
gap> ReidemeisterNumber( homF );
infinity

#
gap> N := Subgroup( G, [ G.1^2, G.2 ] );;
gap> imgs1 := [ G.1*G.4^-1, G.3, G.2*G.3^2*G.4^2, G.4^-1 ];;
gap> imgs2 := [ G.1, G.2^2*G.3*G.4^2, G.2*G.3*G.4, G.4 ];;
gap> hom1 := GroupHomomorphismByImages( G, G, GeneratorsOfGroup( G ), imgs1 );;
gap> hom2 := GroupHomomorphismByImages( G, G, GeneratorsOfGroup( G ), imgs2 );;
gap> hom1N := RestrictedHomomorphism( hom1, N, N );;
gap> hom2N := RestrictedHomomorphism( hom2, N, N );;
gap> ReidemeisterNumber( hom1N, hom2N );
4
gap> incN := GroupHomomorphismByImages( N, G, GeneratorsOfGroup( N ), GeneratorsOfGroup( N ) );;
gap> ReidemeisterClasses( incN, incN );
fail
gap> ReidemeisterNumber( incN, incN );
infinity

#
gap> p := NaturalHomomorphismByNormalSubgroup( G, FittingSubgroup( G ) );;
gap> Q := Image( p );;
gap> trivQG := GroupHomomorphismByImages( Q, G, [ Q.1 ], [ One( G ) ] );;
gap> ReidemeisterClasses( trivQG, trivQG );
fail
gap> ReidemeisterNumber( trivQG, trivQG );
infinity
gap> IsTwistedConjugate( p, p, Q.1, One( Q ) );
false
gap> IsTwistedConjugate( p, p, Q.1, Q.1 );
true

#
gap> G2 := ExamplesOfSomePcpGroups( 2 );;
gap> idG2 := IdentityMapping( G2 );;
gap> ReidemeisterNumber( idG2 );
infinity
gap> IsTwistedConjugate( idG2, G2.1, G2.2 );
false
gap> IsTwistedConjugate( idG2, G2.4, G2.4*G2.6^2 );
false
gap> IsTwistedConjugate( idG2, G2.1, G2.1^(G2.2) );
true
#@if CHECK_INTSTAB@Polycyclic
gap> IsTwistedConjugate( idG2, G2.4, G2.4*G2.6 );
#I  Stabilizer not increasing: exiting.
#I  Stabilizer not increasing: exiting.
true
#@else
gap> IsTwistedConjugate( idG2, G2.4, G2.4*G2.6 );
true
#@fi

#
gap> G3 := ExamplesOfSomePcpGroups( 11 );;
gap> idG3 := IdentityMapping( G3 );;
gap> IsTwistedConjugate( idG3, G3.4, G3.5 );
false

#
gap> H := DirectProduct( ExamplesOfSomePcpGroups( 4 ), AbelianPcpGroup( 1 ) );;
gap> G4 := ExamplesOfSomePcpGroups( 4 );;
gap> hom1H := GroupHomomorphismByImages( H, G4, [ H.1, H.2, H.4 ],[ G4.1^2, One( G4 ), One( G4 ) ] );;
gap> hom2H := GroupHomomorphismByImages( H, G4, [ H.1, H.2, H.4 ],[ G4.3, One( G4 ), One( G4 ) ] );;
gap> hom3H := GroupHomomorphismByImages( H ,G4, [ H.1, H.2, H.4 ],[ G4.1, G4.2^2, One( G4 ) ] );;
gap> ReidemeisterNumber( hom1H, hom2H );
infinity
gap> IsTwistedConjugate( hom1H, hom2H, G4.1, G4.2 );
false
gap> R := TwistedConjugacyClasses( hom1H, hom3H );;
gap> Representative( R[1] ) = One( G4 );
true
gap> Size( R );
4
gap> NrTwistedConjugacyClasses( hom1H, hom3H );
4
gap> IsTwistedConjugate( hom1H, hom3H, G4.2, G4.3 );
false
gap> IsTwistedConjugate( hom1H, hom3H, G4.2, G4.2*G4.3^2 );
true

#
gap> DG := DirectProduct( G, G );;
gap> G5 := DG / Centre( DG );;
gap> p5 := NaturalHomomorphismByNormalSubgroup( G5, FittingSubgroup( G5 ) );;
gap> S6 := SymmetricGroup( 6 );;
gap> K4 := Image( p5 );;
gap> inc1K4 := GroupHomomorphismByImages( K4, S6, [ K4.1, K4.2 ], [ (5,6), (1,2)(3,4) ] );;
gap> inc2K4 := GroupHomomorphismByImages( K4, S6, [ K4.1, K4.2 ], [ (1,3)(4,5), () ] );;
gap> hom1G5 := p5*inc1K4;;
gap> hom2G5 := p5*inc2K4;;
gap> ReidemeisterNumber( hom1G5, hom1G5 );
208
gap> ReidemeisterNumber( hom2G5, hom2G5 );
368
gap> ReidemeisterNumber( hom1G5, hom2G5 );
180
gap> inc1S6 := GroupHomomorphismByImages( S6, G5, [ (1,2,3,4,5,6), (1,2) ] , [ G5.1, G5.1 ] );;
gap> inc2S6 := GroupHomomorphismByImages( S6, G5, [ (1,2,3,4,5,6), (1,2) ] , [ G5.1*G5.4, G5.1*G5.4 ] );;
gap> ReidemeisterClasses( inc1S6, inc2S6 );
fail
gap> ReidemeisterNumber( inc2S6, inc2S6 );
infinity

#
gap> G := AbelianPcpGroup( [ 0, 0, 3 ] );;
gap> p := NaturalHomomorphismByNormalSubgroup( G, Subgroup( G, [ G.1, G.2 ] ) );;
gap> Q := Image( p );;
gap> hom := GroupHomomorphismByImages( G, Q, [ G.1, G.2, G.3 ], [ One( Q ), One( Q ), Q.1^2 ] );;
gap> IsTwistedConjugate( p, p, Q.1, Q.1^2 );
false
gap> IsTwistedConjugate( hom, p, Q.1, Q.1^2 );
true

#
gap> G := ExamplesOfSomePcpGroups( 10 );;
gap> g1 := G.2^2*G.3*G.4^-1;;
gap> g2 := G.2^2*G.3^-155*G.4^-83;;
gap> x1 := G.1^-1*G.3^2*G.4;;
gap> x2 := G.1^-3*G.3^-1;;
gap> hom1 := InnerAutomorphism( G, x1 );;
gap> hom2 := InnerAutomorphism( G, x2 );;
gap> h2 := RepresentativeTwistedConjugation( hom1, hom2, g1, g2 );;
gap> tc := TwistedConjugation( hom1, hom2 );;
gap> g2 = tc( g1, h2 );
true
gap> g3 := G.2*G.3^5*G.4^-1;;
gap> g4 := G.2*G.3^71*G.4^-33;;
gap> x3 := G.1^-2*G.2^-3*G.3^-2;;
gap> x4 := G.2^-4*G.3^-1*G.4^-2;;
gap> hom3 := InnerAutomorphism( G, x3 );;
gap> hom4 := InnerAutomorphism( G, x4 );;
gap> h4 := RepresentativeTwistedConjugation( hom3, hom4, g3, g4 );;
gap> tc := TwistedConjugation( hom3, hom4 );;
gap> g4 = tc( g3, h4 );
true

#
gap> STOP_TEST( "twisted_conjugacy_extra.tst" );