Quelle  AExp.thy   Sprache: Isabelle

section "Arithmetic and Boolean Expressions"

subsection "Arithmetic Expressions"

theory AExp imports Main begin

type_synonym vname = string
type_synonym val = int
type_synonym state = "vname \ val"

text_raw‹\snip{AExpaexpdef}{2}{1}{%›
datatype aexp = N int | V vname | Plus aexp aexp
text_raw‹}%endsnip›

text_raw‹\snip{AExpavaldef}{1}{2}{%›
fun aval :: "aexp \ state \ val" where
"aval (N n) s = n" |
"aval (V x) s = s x" |
"aval (Plus a\<^sub>1 a\<^sub>2) s = aval a\<^sub>1 s + aval a\<^sub>2 s"
text_raw‹}%endsnip›


value "aval (Plus (V ''x'') (N 5)) (\x. if x = ''x'' then 7 else 0)"

text ‹The same state more concisely:›
value "aval (Plus (V ''x'') (N 5)) ((\x. 0) (''x'':= 7))"

text ‹A little syntax magic to write larger states compactly:›

definition null_state (‹<>›) where
  "null_state \ \x. 0"
syntax 
  "_State" :: "updbinds => 'a" (‹<_>›)
translations
  "_State ms" == "_Update <> ms"
  "_State (_updbinds b bs)" <= "_Update (_State b) bs"

text ‹\noindent
  We can now write a series of updates to the function ‹λx. 0› compactly:
›
lemma " = (<> (a := 1)) (b := (2::int))"
  by (rule refl)

value "aval (Plus (V ''x'') (N 5)) <''x'' := 7>"


text ‹In  the @{term[source] ""} syntax, variables that are not mentioned are 0 by default:
›
value "aval (Plus (V ''x'') (N 5)) <''y'' := 7>"

text‹Note that this ‹<…>› syntax works for any function space
‹τ🚫1 ==> τ🚫2› where ‹τ🚫2› has a ‹0›.›


subsection "Constant Folding"

text‹Evaluate constant subsexpressions:›

text_raw‹\snip{AExpasimpconstdef}{0}{2}{%›
fun asimp_const :: "aexp \ aexp" where
"asimp_const (N n) = N n" |
"asimp_const (V x) = V x" |
"asimp_const (Plus a\<^sub>1 a\<^sub>2) =
  (case (asimp_const a🚫1, asimp_const a🚫2) of
    (N n🚫1, N n🚫2) ==> N(n🚫1+n🚫2) |
    (b🚫1,b🚫2) ==> Plus b🚫1 b🚫2)"
text_raw‹}%endsnip›

theorem aval_asimp_const:
  "aval (asimp_const a) s = aval a s"
apply(induction a)
apply (auto split: aexp.split)
done

text‹Now we also eliminate all occurrences 0 in additions. The standard
method: optimized versions of the constructors:›

text_raw‹\snip{AExpplusdef}{0}{2}{%›
fun plus :: "aexp \ aexp \ aexp" where
"plus (N i\<^sub>1) (N i\<^sub>2) = N(i\<^sub>1+i\<^sub>2)" |
"plus (N i) a = (if i=0 then a else Plus (N i) a)" |
"plus a (N i) = (if i=0 then a else Plus a (N i))" |
"plus a\<^sub>1 a\<^sub>2 = Plus a\<^sub>1 a\<^sub>2"
text_raw‹}%endsnip›

lemma aval_plus[simp]:
  "aval (plus a1 a2) s = aval a1 s + aval a2 s"
apply(induction a1 a2 rule: plus.induct)
apply simp_all (* just for a change from auto *)
done

text_raw‹\snip{AExpasimpdef}{2}{0}{%›
fun asimp :: "aexp \ aexp" where
"asimp (N n) = N n" |
"asimp (V x) = V x" |
"asimp (Plus a\<^sub>1 a\<^sub>2) = plus (asimp a\<^sub>1) (asimp a\<^sub>2)"
text_raw‹}%endsnip›

text‹Note that in 🍋‹asimp_const› the optimized constructor was
inlined. Making it a separate function 🍋‹plus› improves modularity of
the code and the proofs.›

value "asimp (Plus (Plus (N 0) (N 0)) (Plus (V ''x'') (N 0)))"

theorem aval_asimp[simp]:
  "aval (asimp a) s = aval a s"
apply(induction a)
apply simp_all
done

end