Gedichte Musik Bilder Quellcodebibliothek Diashow Normaldarstellung
Quellcodebibliothek Statistik Leitseite products/Sources/formale Sprachen/PVS/analysis/   (Beweissystem der NASA Version 6.0.9©)  Datei vom 28.9.2014 mit Größe 4 kB image not shown  

Quelle  integral_bounded.pvs   Sprache: PVS

 
integral_bounded[T: TYPE FROM real]: THEORY
%------------------------------------------------------------------------------
%
%  An Integrable Function is bounded
%
%  Author:  Rick Butler               NASA Langley
%
%------------------------------------------------------------------------------
BEGIN

   ASSUMING
      IMPORTING deriv_domain_def[T]

      connected_domain : ASSUMPTION connected?[T]


      not_one_element : ASSUMPTION not_one_element?[T]

   ENDASSUMING

   AUTO_REWRITE+ not_one_element

   IMPORTING reals@sigma_below,
             integral_prep[T]

   a,b,c,d,x,y,z: VAR T

   f,f1,f2,g: VAR [T -> real]

   eps, delta: VAR posreal

   xv,yv: VAR real


   
%    integrable?(a:T,b:{x:T|a<x})(f:[T->real]): bool = 
%                     integrable?(a,b,f)


   bounded_on?(a,b,f): bool = (EXISTS (B: real): 
                   (FORALL (x: closed_interval(a,b)): abs(f(x)) <= B))

   int_to_bnd: LEMMA  % Rosenlicht pg 122 
                    a < b IMPLIES
               (integrable?(a,b,f) IMPLIES 
                   (EXISTS (EP: partition[T](a,b)):
                           FORALL (j: below(length(EP) - 1)):
                              bounded_on?(EP(j), EP(1 + j), f)))



   bounded_on_all?(a:T,b:{x:T|a<x},P: partition[T](a,b))(f:[T->real]): bool = 
             (FORALL (j: below(P`length - 1)): bounded_on?((P(j),P(j+1),f)))
     

   bounded_on_all_lem: LEMMA  % Rosenlicht pg 122 
                    a < b IMPLIES
               integrable?(a,b,f) IMPLIES 
                   (EXISTS (P: partition[T](a,b)): bounded_on_all?(a,b,P)(f))


   MINj_prep: LEMMA FORALL (a: T, b: {x: T | a < x}, 
                            P: partition[T](a, b), 
                            f: (bounded_on_all?(a, b, P)),
                            j: below(P`length - 1)):
     nonempty?[real] ({fx: real | EXISTS (xx: T):
           P`seq(j) <= xx AND xx <= P`seq(1 + j) AND fx = f(xx)})
      AND
      bounded?({fx: real | EXISTS (xx: T):
   P`seq(j) <= xx AND xx <= P`seq(1 + j) AND fx = f(xx)})


   MINj(a:T,b:{x:T|a<x},P: partition[T](a,b),j: below(length(P)-1), 
             f: (bounded_on_all?(a,b,P))): real =
                  glb({fx: real | EXISTS (xx: T):
                                  P`seq(j) <= xx AND xx <= P`seq(1 + j) AND
                                  fx = f(xx)})

   MINj_lem: LEMMA a < b IMPLIES
                     FORALL (P: partition[T](a, b),
                             f: (bounded_on_all?(a, b, P)),
                             j: below(length(P)-1),
                             x: closed_interval[T](seq(P)(j), seq(P)(1+j))):
                         MINj(a,b,P,j,f) <= f(x)

   MAXj(a:T,b:{x:T|a<x},P: partition[T](a,b),j: below(length(P)-1),
            f: (bounded_on_all?(a,b,P))): real =
                  lub({fx: real | EXISTS (xx: T):
                                  P`seq(j) <= xx AND xx <= P`seq(1 + j) AND
                                  fx = f(xx)})

   MAXj_lem: LEMMA a < b IMPLIES
                     FORALL (P: partition[T](a, b),
                             f: (bounded_on_all?(a, b, P)),
                             j: below(length(P)-1),
                             x: closed_interval[T](seq(P)(j), seq(P)(1+j))):
                         MAXj(a,b,P,j,f) >= f(x)



    MIN_ALL(a:T,b:{x:T|a<x},P: partition[T](a,b),
            f: (bounded_on_all?(a,b,P))): real =
         min({mm: real | EXISTS (jj: below(length(P) - 1)): 
                              mm = MINj(a,b,P,jj,f)})

    MAX_ALL(a:T,b:{x:T|a<x},P: partition[T](a,b), 
           f: (bounded_on_all?(a,b,P))): real =
           max({mm: real | EXISTS (jj: below(length(P) - 1)): 
                             mm = MAXj(a,b,P,jj,f)})

    MIN_ALL_lem: LEMMA  a < b IMPLIES
                    FORALL (P: partition[T](a, b),
                            f: (bounded_on_all?(a, b, P)),
                            x: closed_interval(a,b)):
                         MIN_ALL(a, b, P, f) <= f(x)

    MAX_ALL_lem: LEMMA  a < b IMPLIES
                    FORALL (P: partition[T](a, b),
                            f: (bounded_on_all?(a, b, P)),
                            x: closed_interval(a,b)):
                         MAX_ALL(a, b, P, f) >= f(x)


   bounded_on_all_is: LEMMA a < b AND 
                           (EXISTS (P: partition[T](a,b)): 
                                   bounded_on_all?(a,b,P)(f))
                           IMPLIES bounded_on?(a, b, f)


   integrable_bounded: LEMMA a < b AND % Rosenlicht pg 122 
                             integrable?(a,b,f) 
                          IMPLIES bounded_on?(a, b, f)


   bnded_on?(a:T,b:{x:T|a<x})(f:[T->real]): bool = bounded_on?(a, b, f)


   bnd_on_lem: LEMMA a < b IMPLIES FORALL (P: partition[T](a,b)): 
                     bounded_on?(a, b, f)
                  IMPLIES  bounded_on_all?(a, b, P)(f)

   integrable_bounded_on_all: LEMMA a < b IMPLIES 
                  FORALL (P: partition[T](a,b)): 
                  integrable?(a, b, f) IMPLIES 
                         bounded_on_all?(a, b, P)(f)



END integral_bounded




87%


¤ Dauer der Verarbeitung: 0.2 Sekunden  (vorverarbeitet)  ¤

*© Formatika GbR, Deutschland




Wurzel

Suchen

Beweissystem der NASA

Beweissystem Isabelle

NIST Cobol Testsuite

Cephes Mathematical Library

Wiener Entwicklungsmethode

Haftungshinweis

Die Informationen auf dieser Webseite wurden nach bestem Wissen sorgfältig zusammengestellt. Es wird jedoch weder Vollständigkeit, noch Richtigkeit, noch Qualität der bereit gestellten Informationen zugesichert.

Bemerkung:

Die farbliche Syntaxdarstellung ist noch experimentell.