Quelle cauchy_scaf.pvs Sprache: PVS

%%-------------------** Fundamental Counting Principle and Permutations with Repetition  **-------------
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%% Author          : André Luiz Galdino
%%                   Universidade Federal de Goiás - Brasil
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%% Last Modified On: November 28, 2011
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cauchy_scaf[T:TYPE]: THEORY

BEGIN

   IMPORTING structures@seq_extras[T],
             finite_sets@finite_sets_eq,
             finite_sets@finite_sets_card_eq

       S: VAR finite_set[finseq]
       M: VAR finite_set[T]
       a: VAR T
       n: VAR nat
       p: VAR posnat


add_element(S)(a): set[finseq] = {seq: finseq | EXISTS (s: (S)): seq = add_first(a, s)}

add_set(S)(M): setofsets[finseq] = {C: set[finseq] | EXISTS (a: (M)): C = add_element(S)(a)}

set_seq(M)(n): set[finseq] = {seq: finseq | length(seq) = n AND
                                             FORALL (i: below[n]): member(seq(i), M)}

emptyset_gives_emptyset: LEMMA empty?(S) IMPLIES empty?(add_element(S)(a))

emptyset_gives_emptyset1: LEMMA empty?(M) IMPLIES empty?(add_set(S)(M))

set_seq_singleton: LEMMA set_seq(M)(0) = singleton(empty_seq)

set_seq_empty: LEMMA  empty?(M) IMPLIES empty?(set_seq(M)(p))

add_element_add_set: LEMMA NOT member(a, M) IMPLIES
                        LET B = add_set(S)(M),
                            A = add_element(S)(a) IN
                        Union(add_set(S)(add(a, M)))= union(Union(B), A)

card_add_element_aux: LEMMA
                         LET A = add_element(S)(a) IN
                         EXISTS (g:[(A)->(S)]): bijective?(g)

card_add_element: LEMMA
                         LET A = add_element(S)(a) IN
                         card(A) = card(S)

disjoint_add_set: LEMMA
                     LET B = add_set(S)(M),
                         A = add_element(S)(a) IN
                       NOT member(a, M) IMPLIES disjoint?(Union(B),A)

add_set_is_add_ele: LEMMA
                       LET B = add_set(S)(M),
                           A = add_element(S)(a) IN
                       M = singleton(a) IMPLIES Union(B) = A

add_set_is_finite_aux: LEMMA
                         nonempty?(S) IMPLIES
                            LET B = add_set(S)(M) IN
                            EXISTS (g:[(M)->(B)]): bijective?(g)

add_set_is_finite: LEMMA
                     LET B = add_set(S)(M) IN
                     is_finite(B)

%%%%% Fundamental Counting Principle %%%%%

card_add_set: LEMMA
                  LET B = add_set(S)(M) IN
                  card(Union(B)) = card(S)*card(M)

set_seq_is_finite: LEMMA
                      LET C = set_seq(M)(n) IN
                      is_finite(C)

set_seq_is_add_set: LEMMA
                        LET C = set_seq(M)(p),
                            D = set_seq(M)(p-1) IN
                        C = Union(add_set(D)(M))

%%%%% Permutations with Repetition %%%%%

card_set_seq: LEMMA
                    LET C = set_seq(M)(n) IN
                    card(C) = card(M)^n

END cauchy_scaf

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