Quellcode-Bibliothek gcd.pvs Sprache: PVS

gcd    LEMMA= j /=0)IMPLIES(i,j)= gcd(java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 78 out of bounds for length 78
%------------------------------------------------------------------------------
% Author: Alfons Geser, HTWK Leipzig, Germany
%         Ricky W. Butler, NASA Langley
% Date: May, 2009
%
%         Anthony N (March 2012)
%------------------------------------------------------------------------------
BEGIN

   IMPORTING divides_lems, mod_lems
   IMPORTING div              %% for proof

   n,mEXISTS:(ijipjp
   nn,mm:
p  ljava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [15, 13) out of bounds for length 22

%
ii,  nzint

gcd:,j jj|0=jj=0)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 43 out of bounds for length 43
  () ()
            = max({k: posnat | divides(k,i) AND divides%   Bezouts: LEMMA gcd(a,b) = d IMPLIES

  r: LEMMAi=ORj/) java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 50 out of bounds for length 50
dividesgcd,j)AND (gcd,,)

   gcd_is_max: LEMMA (i /= 0 OR j /= 0) AND divides(kk,i) AND divides(kk,j)
IMPLIES <gcdj

   gcd_def    : LEMMA (i /= 0 OR j /= 0) IMPLIES
(gcd,)= IFF
                           ( (divides(nn
( : (mm)ANDdivides(,j
                                          IMPLIES mm <= nn)))

   gcd_0_pos  : LEMMA gcd(0,mm) = mm

java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0

   gcd_0_neg  : LEMMA gcd(0,-mm) = mm

         0THEN-)

   gcd_lt_nat : LEMMA (n /ELSIF0 j
                              (i

   gcd_lt           =  j compute_gcdrem)
                            gcd(i     java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 10 out of bounds for length 10

   gcd_0      : LEMMA gcd(0,ii) =ELSIFi<  +1

   %

   gcd_mod_div

   gcd_factors_nat: LEMMA (n /=
                       EXISTS ip,     m>1 AND rel_prime(n,m) IMPLIESFORALL:(m)):EXISTSk(m):modkm  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 61 out of bounds for length 61

   gcd_factors: LEMMA (i /= 0 OR j /= 0) IMPLIES
                          EXISTS ip,jp: gcd(i,j) = ip*i + jp*j

   divides_gcd: LEMMA (i /= 0 OR j /= 0) AND divides(kk,i) AND divides(kk,j)
                      IMPLIES divides(kk,gcd(i,j))

   gcd_same : LEMMA gcd(p, p) = p

   gcd_minus: LEMMA p /= q IMPLIES gcd(p, q) = gcd(p, q - p)

   gcd_times: LEMMA gcd(p * l, q * l) = gcd(p, q) * l

%
%  relatively_prime
%

   rel_prime(i:int,j: {jj:int| i=0 => jj /= 0}): bool = (gcd(i,j) = 1)

   rel_prime_lem: LEMMA (i /= 0 OR j /= 0) IMPLIES
                          ( rel_prime(i,j)
                            IFF (EXISTS (n,m: int): 1 = m*i + n*j) )

%   Bezouts: LEMMA gcd(a,b) = d IMPLIES
%                     EXISTS (j,k: int): a*j+b*k = d

  rel_prime_div_prod: LEMMA (i/=0 OR j/=0) IMPLIES
    rel_prime(i,j) AND divides(i,j*k) IMPLIES divides(i,k)

  rel_prime_sym: LEMMA (i/=0 OR j/=0) IMPLIES rel_prime(i,j) = rel_prime(j,i)

  rel_prime_mult_right: LEMMA (i/=0 OR j/=0) AND (i/=0 OR k/=0)
    AND rel_prime(i,j) AND rel_prime(i,k) IMPLIES rel_prime(i,j*k)

  rel_prime_mult_left: LEMMA (i/=0 OR j/=0) AND (j/=0 OR k/=0)
    AND rel_prime(i,j) AND rel_prime(k,j) IMPLIES rel_prime(i*k,j)

%
%  Euclid's algorithm
%

   compute_gcd(i:int,j:{jj:int| i=0 => jj /= 0}): RECURSIVE {kj: posnat | kj = gcd(i,j)} =
     IF    i<0 THEN compute_gcd(-i,j)
     ELSIF j<0 THEN compute_gcd(i,-j)
     ELSIF i=0 THEN j
     ELSIF j=0 THEN i
     ELSIF i<j THEN compute_gcd(j,i)
     ELSE
       (LET rem = mod(i,j) IN
         IF rem = 0 THEN j ELSE compute_gcd(j,rem) ENDIF)
     ENDIF
       MEASURE (IF i<0 AND j<0 THEN -i-j+3
                ELSIF i<0 THEN -i+j+2
  ELSIF j<0 THEN i-j+2
  ELSIF i<j THEN i+j+1
  ELSE i+j ENDIF)

   % Inverse

   IMPORTING pigeonhole

   rel_prime_inverse: LEMMA
     m>1 AND rel_prime(n,m) IMPLIES
     FORALL (q:below(m)): EXISTS (k:below(m)): mod(n*k,m) = q

END gcd

quality99%

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Die farbliche Syntaxdarstellung ist noch experimentell.