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%%-------------------** Term Rewriting System (TRS) **------------------------
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%% Authors         : Andre Luiz Galdino
%%                   Universidade Federal de Goiás - Brasil
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%%                         and
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%%                   Mauricio Ayala Rincon
%%                   Universidade de Brasília - Brasil
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%% Last Modified On: September 29, 2009
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%%----------------------------------------------------------------------------

reduction[variable: TYPE+, symbol: TYPE+, arity: [symbol -> nat]]: THEORY

BEGIN

   ASSUMING

     IMPORTING variables_term[variable,symbol, arity],
               sets_aux@countability[term],
               sets_aux@countable_props[term]

       var_countable: ASSUMPTION is_countably_infinite(V)

   ENDASSUMING

  IMPORTING rewrite_rules[variable,symbol, arity]


   s, t, t1, t2: VAR term
sigma, sg1, sg2: VAR Sub
              x: VAR (V)
              R: VAR pred[[term, term]]
              E: VAR set[rewrite_rule]
              e: VAR rewrite_rule

%%%% Defining, respectively, the concepts Reduction relation and closed under %%
%%%% substitutions,Close under substitution                                   %%

reduction?(E)(s,t): bool =
     EXISTS ( (e | member(e, E)), sigma, (p: positions?(s))):
                      subtermOF(s, p) = ext(sigma)(lhs(e)) &
                                    t = replaceTerm(s, ext(sigma)(rhs(e)), p)

close_subs?(R): bool = FORALL s, t, sigma: R(s,t) =>
                                            R(ext(sigma)(s),ext(sigma)(t))

%%%% Properties %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

closure_close_subs: LEMMA close_subs?(R)  =>
                (close_subs?(TC(R)) & close_subs?(RTC(R)) & close_subs?(EC(R)))

reduction_is_subs_op: LEMMA close_subs?(reduction?(E)) & comp_op?(reduction?(E))

lhs_reduces_to_rhs: LEMMA
                    FORALL (E, (e | member(e, E))): reduction?(E)(lhs(e), rhs(e))

END reduction

quality97%

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