Gedichte Musik Bilder Quellcodebibliothek Diashow Normaldarstellung
Quellcodebibliothek Statistik Leitseite products/sources/formale Sprachen/GAP/pkg/hap/www/SideLinks/About/   (Algebra von RWTH Aachen Version 4.15.1©)  Datei vom 19.6.2025 mit Größe 8 kB image not shown  

Quelle  aboutTwistedCoefficients.html   Sprache: HTML

 
 products/sources/formale Sprachen/GAP/pkg/hap/www/SideLinks/About/aboutTwistedCoefficients.html


<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01 Transitional//EN">
<html>
<head>
  <meta http-equiv="content-type"
 content="text/html; charset=ISO-8859-1">
  <title>AboutHap</title>
</head>
<body
 style="color: rgb(0, 0, 153); background-color: rgb(204, 255, 255);"
 alink="#000066" link="#000066" vlink="#000066">
<br>
<table
 style="text-align: left; margin-left: auto; margin-right: auto; color: rgb(0, 0, 102);"
 border="0" cellpadding="20" cellspacing="10">
  <tbody>
    <tr align="center">
      <th style="vertical-align: top;">
      <table style="width: 100%; text-align: left;" cellpadding="2"
 cellspacing="2">
        <tbody>
          <tr>
            <td style="vertical-align: top;"><a
 href="aboutTorAndExt.html"><small style="color: rgb(0, 0, 102);">Previous</small></a><br>
            </td>
            <td
 style="text-align: center; vertical-align: top; color: rgb(0, 0, 102);"><big><span
 style="font-weight: bold;">About HAP: Cohomology With Twisted
Coefficients<br>
            </span></big></td>
            <td style="text-align: right; vertical-align: top;"><a
 href="aboutGraphsOfGroups.html"><small style="color: rgb(0, 0, 102);">next</small></a><br>
            </td>
          </tr>
        </tbody>
      </table>
      <big><span style="font-weight: bold;"></span></big><br>
      </th>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="vertical-align: top; background-color: rgb(255, 255, 255); text-align: left;">The
cohomology of a group G with coefficients in a ZG-module A is defined
as:<br>
      <br>
      <table
 style="text-align: left; margin-left: auto; margin-right: auto; width: 539px; height: 110px;"
 border="0" cellpadding="8" cellspacing="0">
        <tbody>
          <tr>
            <td
 style="background-color: rgb(204, 255, 255); text-align: center; vertical-align: top;"><br>
            <br>
            <span style="color: rgb(0, 0, 102);">H</span><sup
 style="color: rgb(0, 0, 102);">n</sup><span
 style="color: rgb(0, 0, 102);">(G,A) =</span><br>
            </td>
            <td
 style="text-align: center; vertical-align: top; background-color: rgb(204, 255, 255);">
            <div style="text-align: center;"><span
 style="color: rgb(0, 0, 102);"></span><span
 style="color: rgb(0, 0, 102);"><br>
Ker( Hom<sub>ZG</sub>(R<sub>n</sub>,A) → </span><span
 style="color: rgb(0, 0, 102);">Hom<sub>ZG</sub>(R<sub>n+1</sub>,A) )</span><span
 style="color: rgb(0, 0, 102);"></span><br>
            <hr style="width: 100%; height: 2px;"> <span
 style="color: rgb(0, 0, 102);"></span></div>
            <div style="text-align: center;"><span
 style="color: rgb(0, 0, 102);">Image( </span><span
 style="color: rgb(0, 0, 102);">Hom<sub>ZG</sub>(R<sub>n-1</sub>,A) → </span><span
 style="color: rgb(0, 0, 102);">Hom<sub>ZG</sub>(R<sub>n</sub>,A)<br>
            <br>
            </span></div>
            </td>
          </tr>
        </tbody>
      </table>
      <br>
When the abelian group underlying A is free of rank n we can encode A
as a group homomorphism A:G → GL<sub>n</sub>(Z).<br>
      <br>
When G is a permutation group of degree n the free abelian group Z<sup>n</sup>
admits a canonical G-action defined by <br>
      <br>
      <div style="text-align: center;">g·(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>,
... , x<sub>n</sub>) = (x<sub>g'(1) , xg'(2)</sub> , ... , x<sub>g'(n))
      <br>
      </div>
      <br>
where g'=g-1, for g in G and xi in Z. This
 style="font-style: italic;">canonical permutation module</span> A can
be constructed for any permutation group G using the HAP command <span
 style="font-family: helvetica,arial,sans-serif;">PermToMatrixGroup()</span>.
For example:<br>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="background-color: rgb(255, 255, 204); vertical-align: top;">gap>
G:=AlternatingGroup(5);;<br>
      <br>
gap> A:=PermToMatrixGroup(G,5);<br>
[ (1,2,3,4,5), (3,4,5) ] -><br>
[ [ [ 0, 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1, 0 ],<br>
      [ 0, 0, 0, 0, 1 ], [ 1, 0, 0, 0, 0 ] ],<br>
  [ [ 1, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1, 0 ],<br>
      [ 0, 0, 0, 0, 1 ], [ 0, 0, 1, 0, 0 ] ] ]<br>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="background-color: rgb(255, 255, 255); vertical-align: top;">The
following commands show that:<br>
      <ul>
        <li>the 6th cohomology of the
alternating group G=A<sub>5</sub> with coefficients in its
5-dimensional canonical permutation module A is  H<sup>6</sup>(G,A)
= Z<sub>2</sub>+Z<sub>6</sub>.</li>
        <li>The 3rd cohomology of the even subgroup B<sup>+ </sup>of
the 5-string Braid group, again with coefficients in the permutation
module A (considered as a B<sup>+</sup>-module via the quotient
homomorphism B<sup>+</sup> → A<sub>5</sub>) is H<sup>3</sup>(B<sup>+</sup>,A)
= Z<sub>2</sub>+Z<sub>6</sub>+Z<sup>3</sup>.</li>
      </ul>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="background-color: rgb(255, 255, 204); vertical-align: top;">gap>
Alt5:=AlternatingGroup(5);;<br>
gap> A:=PermToMatrixGroup(SymmetricGroup(5),5);;<br>
gap> R:=ResolutionFiniteGroup(Alt5,7);;<br>
gap> TR:=HomToIntegralModule(R,A);;<br>
gap> Cohomology(TR,6);<br>
[ 2, 6 ]<br>
      <br>
      <br>
gap> D:=[[1,[2,3]],[2,[3,3]],[3,[4,3]]];;<br>
gap> R:=ResolutionArtinGroup(D,10);;<br>
gap> Brd5:=R!.group;; Brd5Gens:=GeneratorsOfGroup(Brd5);;<br>
gap>
ImGens:=[Image(A,(1,2)),Image(A,(2,3)),Image(A,(3,4)),Image(A,(4,5))];;<br>
gap> B:=GroupHomomorphismByImages(Brd5,Image(A),Brd5Gens,ImGens);;<br>
gap> EvBrd5:=EvenSubgroup(Brd5);;<br>
gap> S:=ResolutionSubgroup(R,EvBrd5);;<br>
gap> TS:=HomToIntegralModule(S,B);;<br>
gap> Cohomology(TS,3);<br>
[ 2, 6, 0, 0, 0 ]<br>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="text-align: left; background-color: rgb(255, 255, 255); vertical-align: top;">A
group G can act non-trivially on the integers Z. For example, a
permutation group G can act on Z according to the formula <br>
      <div style="text-align: center;">g.n= -n    if g
is an odd permutation,<br>
      </div>
      <div style="text-align: center;"> g.n=  n   
if g is an even permutation.<br>
      <div style="text-align: left;"><br>
The following commands show that, with this twisted action of S<sub>6</sub>
on Z, we have third twisted integral homology  H<sub>3</sub>(S<sub>6</sub>,Z)=Z<sub>2</sub>+Z<sub>10</sub>
.<br>
      </div>
      </div>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="vertical-align: top; background-color: rgb(255, 255, 204);">gap> 
G:=SymmetricGroup(6);;<br>
gap>  R:=ResolutionFiniteGroup(G,4);;<br>
gap>  C:=TensorWithTwistedIntegers(R,SignPerm);;<br>
gap>  Homology(C,3);<br>
[ 2, 10 ]<br>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="vertical-align: top; background-color: rgb(255, 255, 255);">With
the analogous twisted action of S<sub>6</sub> on Z<sub>5</sub>, the
following commands show that the twelvth homology  is H<sub>12</sub>(S<sub>6</sub>,Z<sub>5</sub>)=Z<sub>5</sub>
. (The calculation relies on the fact that H<sub>n</sub>(G,Z<sub>p</sub>) 
is equal to its p-primary part H<sub>n</sub>(G,Z<sub>p</sub>)<sub>(p)</sub> 
.) <br>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="vertical-align: top; background-color: rgb(255, 255, 204);">gap> 
G:=SymmetricGroup(6);;<br>
gap> 
P:=SylowSubgroup(G,5);;<br>
gap>  R:=ResolutionFiniteGroup(P,15);;<br>
gap>  F:=function(R);return
TensorWithTwistedIntegersModP(R,5,SignPerm);end;;<br>
gap>  PrimePartDerivedFunctor(G,R,F,12);<br>
[ 5 ]<br>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="vertical-align: top;">
      <table
 style="margin-left: auto; margin-right: auto; width: 100%; text-align: left;"
 border="0" cellpadding="2" cellspacing="2">
        <tbody>
          <tr>
            <td style="vertical-align: top;"><a
 style="color: rgb(0, 0, 102);" href="aboutTorAndExt.html">Previous
Page</a><br>
            </td>
            <td style="text-align: center; vertical-align: top;"><a
 href="aboutContents.html"><span style="color: rgb(0, 0, 102);">Contents</span></a><br>
            </td>
            <td style="text-align: right; vertical-align: top;"><a
 href="aboutGraphsOfGroups.html"><span style="color: rgb(0, 0, 102);">Next
page</span><br>
            </a> </td>
          </tr>
        </tbody>
      </table>
      <a href="aboutTopology.html"><br>
      </a> </td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<br>
<br>
</body>
</html>

Messung V0.5
C=92 H=98 G=94

¤ Dauer der Verarbeitung: 0.12 Sekunden  (vorverarbeitet)  ¤

*© Formatika GbR, Deutschland




Wurzel

Suchen

Beweissystem der NASA

Beweissystem Isabelle

NIST Cobol Testsuite

Cephes Mathematical Library

Wiener Entwicklungsmethode

Haftungshinweis

Die Informationen auf dieser Webseite wurden nach bestem Wissen sorgfältig zusammengestellt. Es wird jedoch weder Vollständigkeit, noch Richtigkeit, noch Qualität der bereit gestellten Informationen zugesichert.

Bemerkung:

Die farbliche Syntaxdarstellung und die Messung sind noch experimentell.