Quelle  Commutative_Ring_Ex.thy   Sprache: Isabelle

(*  Title:      HOL/Decision_Procs/ex/Commutative_Ring_Ex.thy
    Author:     Bernhard Haeupler, Stefan Berghofer
*)

section ‹Some examples demonstrating the ring and field methods›

theory Commutative_Ring_Ex
  imports "../Reflective_Field"
begin

lemma "4 * (x::int) ^ 5 * y ^ 3 * x ^ 2 * 3 + x * z + 3 ^ 5 = 12 * x ^ 7 * y ^ 3 + z * x + 243"
  by ring

lemma (in cring)
  assumes "x \ carrier R" "y \ carrier R" "z \ carrier R"
  shows "\4\ \ x [^] (5::nat) \ y [^] (3::nat) \ x [^] (2::nat) \ \3\ \ x \ z \ \3\ [^] (5::nat) =
    «12¬ ⊗ x [^] (7::nat) ⊗ y [^] (3::nat) ⊕ z ⊗ x ⊕ «243¬"
  by ring

lemma "((x::int) + y) ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + 2 * x * y"
  by ring

lemma (in cring)
  assumes "x \ carrier R" "y \ carrier R"
  shows "(x \ y) [^] (2::nat) = x [^] (2::nat) \ y [^] (2::nat) \ \2\ \ x \ y"
  by ring

lemma "((x::int) + y) ^ 3 = x ^ 3 + y ^ 3 + 3 * x ^ 2 * y + 3 * y ^ 2 * x"
  by ring

lemma (in cring)
  assumes "x \ carrier R" "y \ carrier R"
  shows "(x \ y) [^] (3::nat) =
    x [^] (3::nat) ⊕ y [^] (3::nat) ⊕ «3¬ ⊗ x [^] (2::nat) ⊗ y ⊕ «3¬ ⊗ y [^] (2::nat) ⊗ x"
  by ring

lemma "((x::int) - y) ^ 3 = x ^ 3 + 3 * x * y ^ 2 + (- 3) * y * x ^ 2 - y ^ 3"
  by ring

lemma (in cring)
  assumes "x \ carrier R" "y \ carrier R"
  shows "(x \ y) [^] (3::nat) =
    x [^] (3::nat) ⊕ «3¬ ⊗ x ⊗ y [^] (2::nat) ⊕ (⊖ «3¬) ⊗ y ⊗ x [^] (2::nat) ⊖ y [^] (3::nat)"
  by ring

lemma "((x::int) - y) ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 - 2 * x * y"
  by ring

lemma (in cring)
  assumes "x \ carrier R" "y \ carrier R"
  shows "(x \ y) [^] (2::nat) = x [^] (2::nat) \ y [^] (2::nat) \ \2\ \ x \ y"
  by ring

lemma " ((a::int) + b + c) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2 * a * b + 2 * b * c + 2 * a * c"
  by ring

lemma (in cring)
  assumes "a \ carrier R" "b \ carrier R" "c \ carrier R"
  shows " (a \ b \ c) [^] (2::nat) =
    a [^] (2::nat) ⊕ b [^] (2::nat) ⊕ c [^] (2::nat) ⊕ «2¬ ⊗ a ⊗ b ⊕ «2¬ ⊗ b ⊗ c ⊕ «2¬ ⊗ a ⊗ c"
  by ring

lemma "((a::int) - b - c) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 - 2 * a * b + 2 * b * c - 2 * a * c"
  by ring

lemma (in cring)
  assumes "a \ carrier R" "b \ carrier R" "c \ carrier R"
  shows "(a \ b \ c) [^] (2::nat) =
    a [^] (2::nat) ⊕ b [^] (2::nat) ⊕ c [^] (2::nat) ⊖ «2¬ ⊗ a ⊗ b ⊕ «2¬ ⊗ b ⊗ c ⊖ «2¬ ⊗ a ⊗ c"
  by ring

lemma "(a::int) * b + a * c = a * (b + c)"
  by ring

lemma (in cring)
  assumes "a \ carrier R" "b \ carrier R" "c \ carrier R"
  shows "a \ b \ a \ c = a \ (b \ c)"
  by ring

lemma "(a::int) ^ 2 - b ^ 2 = (a - b) * (a + b)"
  by ring

lemma (in cring)
  assumes "a \ carrier R" "b \ carrier R"
  shows "a [^] (2::nat) \ b [^] (2::nat) = (a \ b) \ (a \ b)"
  by ring

lemma "(a::int) ^ 3 - b ^ 3 = (a - b) * (a ^ 2 + a * b + b ^ 2)"
  by ring

lemma (in cring)
  assumes "a \ carrier R" "b \ carrier R"
  shows "a [^] (3::nat) \ b [^] (3::nat) = (a \ b) \ (a [^] (2::nat) \ a \ b \ b [^] (2::nat))"
  by ring

lemma "(a::int) ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) * (a ^ 2 - a * b + b ^ 2)"
  by ring

lemma (in cring)
  assumes "a \ carrier R" "b \ carrier R"
  shows "a [^] (3::nat) \ b [^] (3::nat) = (a \ b) \ (a [^] (2::nat) \ a \ b \ b [^] (2::nat))"
  by ring

lemma "(a::int) ^ 4 - b ^ 4 = (a - b) * (a + b) * (a ^ 2 + b ^ 2)"
  by ring

lemma (in cring)
  assumes "a \ carrier R" "b \ carrier R"
  shows "a [^] (4::nat) \ b [^] (4::nat) = (a \ b) \ (a \ b) \ (a [^] (2::nat) \ b [^] (2::nat))"
  by ring

lemma "(a::int) ^ 10 - b ^ 10 =
  (a - b) * (a ^ 9 + a ^ 8 * b + a ^ 7 * b ^ 2 + a ^ 6 * b ^ 3 + a ^ 5 * b ^ 4 +
    a ^ 4 * b ^ 5 + a ^ 3 * b ^ 6 + a ^ 2 * b ^ 7 + a * b ^ 8 + b ^ 9)"
  by ring

lemma (in cring)
  assumes "a \ carrier R" "b \ carrier R"
  shows "a [^] (10::nat) \ b [^] (10::nat) =
  (a ⊖ b) ⊗ (a [^] (9::nat) ⊕ a [^] (8::nat) ⊗ b ⊕ a [^] (7::nat) ⊗ b [^] (2::nat) ⊕
    a [^] (6::nat) ⊗ b [^] (3::nat) ⊕ a [^] (5::nat) ⊗ b [^] (4::nat) ⊕
    a [^] (4::nat) ⊗ b [^] (5::nat) ⊕ a [^] (3::nat) ⊗ b [^] (6::nat) ⊕
    a [^] (2::nat) ⊗ b [^] (7::nat) ⊕ a ⊗ b [^] (8::nat) ⊕ b [^] (9::nat))"
  by ring

lemma "(x::'a::field) \ 0 \ (1 - 1 / x) * x - x + 1 = 0"
  by field

lemma (in field)
  assumes "x \ carrier R"
  shows "x \ \ \ (\ \ \ \ x) \ x \ x \ \ = \"
  by field

end