products/sources/formale Sprachen/PVS/analysis_ax image not shown  

Quellcode-Bibliothek

© Kompilation durch diese Firma

[Weder Korrektheit noch Funktionsfähigkeit der Software werden zugesichert.]

Datei: complex_sets.prf   Sprache: Lisp

Original von: PVS©

(taylors
 (deriv_domain 0
  (deriv_domain-2 nil 3472399633
   ("" (lemma "connected_deriv_domain[T]")
    (("" (lemma not_one_element)
      (("" (lemma "connected_domain") (("" (assertnil nil)) nil))
      nil))
    nil)
   ((not_one_element formula-decl nil taylors nil)
    (connected_domain formula-decl nil taylors nil)
    (connected_deriv_domain formula-decl nil deriv_domain_def nil)
    (number nonempty-type-decl nil numbers nil)
    (boolean nonempty-type-decl nil booleans nil)
    (number_field_pred const-decl "[number -> boolean]" number_fields
     nil)
    (number_field nonempty-type-from-decl nil number_fields nil)
    (real_pred const-decl "[number_field -> boolean]" reals nil)
    (real nonempty-type-from-decl nil reals nil)
    (T_pred const-decl "[real -> boolean]" taylors nil)
    (T formal-subtype-decl nil taylors nil))
   nil)
  (deriv_domain-1 nil 3471607174
   ("" (skosimp*)
    (("" (lemma "connected_domain")
      (("" (lemma "connected_deriv_domain[T]")
        (("1" (replace -2) (("1" (inst?) nil nil)) nil)
         ("2" (lemma "not_one_element") (("2" (propax) nil nil)) nil))
        nil))
      nil))
    nil)
   nil nil))
 (sigma_derivable_TCC1 0
  (sigma_derivable_TCC1-1 nil 3255192119
   ("" (skosimp*)
    (("" (lemma "deriv_domain") (("" (inst?) nil nil)) nil)) nil)
   ((deriv_domain formula-decl nil taylors nil)) nil))
 (sigma_derivable_TCC2 0
  (sigma_derivable_TCC2-1 nil 3255192119
   ("" (skolem!)
    (("" (lemma "not_one_element") (("" (propax) nil nil)) nil)) nil)
   ((not_one_element formula-decl nil taylors nil)) nil))
 (sigma_derivable_TCC3 0
  (sigma_derivable_TCC3-1 nil 3374341760 ("" (subtype-tcc) nil nil)
   ((derivable? const-decl "bool" derivatives nil)) nil))
 (sigma_derivable 0
  (sigma_derivable-1 nil 3255192119
   ("" (induct "n" 1)
    (("1" (skosimp*)
      (("1" (expand "sigma")
        (("1" (inst?) (("1" (assertnil nil)) nil)) nil))
      nil)
     ("2" (skosimp*)
      (("2" (expand "sigma" 1)
        (("2"
          (case-replace
           "(LAMBDA aa: g!1(aa, 1 + j!1) + sigma(0, j!1, LAMBDA m: g!1(aa, m))) = (LAMBDA aa: g!1(aa, 1 + j!1)) + (LAMBDA aa: sigma(0, j!1, LAMBDA m: g!1(aa, m)))")
          (("1" (hide -1)
            (("1" (inst - "g!1")
              (("1" (split -1)
                (("1" (inst - "1+j!1")
                  (("1"
                    (lemma "sum_derivable_fun[T]"
                     ("f1" "LAMBDA aa: g!1(aa, 1 + j!1)" "f2"
                      "LAMBDA aa: sigma(0, j!1, LAMBDA m: g!1(aa, m))"))
                    (("1" (assertnil nil)) nil))
                  nil)
                 ("2" (hide 2)
                  (("2" (skosimp*) (("2" (inst - "ii!1"nil nil))
                    nil))
                  nil))
                nil))
              nil))
            nil)
           ("2"
            (expand "+
")
            (("2" (propax) nil nil)) nil))
          nil))
        nil))
      nil))
    nil)
   ((+ const-decl "[T -> real]" real_fun_ops "reals/")
    (+ const-decl "[numfield, numfield -> numfield]" number_fields nil)
    (= const-decl "[T, T -> boolean]" equalities nil)
    (numfield nonempty-type-eq-decl nil number_fields nil)
    (posint_plus_nnint_is_posint application-judgement "posint"
     integers nil)
    (sum_derivable_fun formula-decl nil derivatives nil)
    (real_le_is_total_order name-judgement "(total_order?[real])"
     real_props nil)
    (sigma_0_neg formula-decl nil sigma_nat "reals/")
    (nat_induction formula-decl nil naturalnumbers nil)
    (sigma def-decl "real" sigma "reals/")
    (T_high type-eq-decl nil sigma "reals/")
    (T_low type-eq-decl nil sigma "reals/")
    (OR const-decl "[bool, bool -> bool]" booleans nil)
    (derivable? const-decl "bool" derivatives nil)
    (subrange type-eq-decl nil integers nil)
    (<= const-decl "bool" reals nil)
    (AND const-decl "[bool, bool -> bool]" booleans nil)
    (IMPLIES const-decl "[bool, bool -> bool]" booleans nil)
    (T formal-subtype-decl nil taylors nil)
    (T_pred const-decl "[real -> boolean]" taylors nil)
    (pred type-eq-decl nil defined_types nil)
    (nat nonempty-type-eq-decl nil naturalnumbers nil)
    (>= const-decl "bool" reals nil)
    (bool nonempty-type-eq-decl nil booleans nil)
    (int nonempty-type-eq-decl nil integers nil)
    (integer_pred const-decl "[rational -> boolean]" integers nil)
    (rational nonempty-type-from-decl nil rationals nil)
    (rational_pred const-decl "[real -> boolean]" rationals nil)
    (real nonempty-type-from-decl nil reals nil)
    (real_pred const-decl "[number_field -> boolean]" reals nil)
    (number_field nonempty-type-from-decl nil number_fields nil)
    (number_field_pred const-decl "[number -> boolean]" number_fields
     nil)
    (boolean nonempty-type-decl nil booleans nil)
    (number nonempty-type-decl nil numbers nil))
   nil))
 (tay1_TCC1 0
  (tay1_TCC1-1 nil 3255192119
   ("" (skosimp*) (("" (assertnil nil)) nil)
   ((real_ge_is_total_order name-judgement "(total_order?[real])"
     real_props nil)
    (real_minus_real_is_real application-judgement "real" reals nil))
   nil))
 (tay1 0
  (tay1-1 nil 3255192119
   ("" (skosimp*)
    (("" (case "derivable?[T](LAMBDA x: (bb!1 - x) ^ n!1)")
      (("1"
        (lemma "scal_derivable_fun[T]"
         ("f" "LAMBDA x: (bb!1 - x) ^ n!1" "b" "1/ factorial(n!1)"))
        (("1" (assert)
          (("1" (expand "*") (("1" (assertnil nil)) nil)) nil))
        nil)
       ("2" (hide 2)
        (("2" (case "n!1=0")
          (("1" (replace -1)
            (("1" (expand "^")
              (("1" (expand "expt")
                (("1" (lemma "const_derivable_fun[T]" ("b" "1"))
                  (("1" (expand "const_fun") (("1" (propax) nil nil))
                    nil))
                  nil))
                nil))
              nil))
            nil)
           ("2" (lemma "const_derivable_fun[T]" ("b" "bb!1"))
            (("2" (lemma "identity_derivable_fun[T]")
              (("2" (expand "I")
                (("2" (expand "const_fun")
                  (("2"
                    (lemma "diff_derivable_fun[T]"
                     ("f1" "LAMBDA (x: T): bb!1" "f2"
                      "LAMBDA (x: T): x"))
                    (("2" (expand "-")
                      (("2" (assert)
                        (("2"
                          (lemma "deriv_exp_fun[T]"
                           ("f" "LAMBDA (x_1: T): bb!1 - x_1" "n"
                            "n!1"))
                          (("2" (assert)
                            (("2" (flatten -1)
                              (("2"
                                (expand "^" -1)
                                (("2" (propax) nil nil))
                                nil))
                              nil))
                            nil))
                          nil))
                        nil))
                      nil))
                    nil))
                  nil))
                nil))
              nil))
            nil))
          nil))
        nil))
      nil))
    nil)
   ((nat nonempty-type-eq-decl nil naturalnumbers nil)
    (- const-decl "[numfield, numfield -> numfield]" number_fields nil)
    (numfield nonempty-type-eq-decl nil number_fields nil)
    (^ const-decl "real" exponentiation nil)
    (>= const-decl "bool" reals nil)
    (/= const-decl "boolean" notequal nil)
    (OR const-decl "[bool, bool -> bool]" booleans nil)
    (int nonempty-type-eq-decl nil integers nil)
    (integer_pred const-decl "[rational -> boolean]" integers nil)
    (rational nonempty-type-from-decl nil rationals nil)
    (rational_pred const-decl "[real -> boolean]" rationals nil)
    (derivable? const-decl "bool" derivatives nil)
    (bool nonempty-type-eq-decl nil booleans nil)
    (T formal-subtype-decl nil taylors nil)
    (T_pred const-decl "[real -> boolean]" taylors nil)
    (real nonempty-type-from-decl nil reals nil)
    (real_pred const-decl "[number_field -> boolean]" reals nil)
    (number_field nonempty-type-from-decl nil number_fields nil)
    (number_field_pred const-decl "[number -> boolean]" number_fields
     nil)
    (boolean nonempty-type-decl nil booleans nil)
    (number nonempty-type-decl nil numbers nil)
    (real_minus_real_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (real_div_nzreal_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (real_times_real_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (* const-decl "[T -> real]" real_fun_ops "reals/")
    (posrat_div_posrat_is_posrat application-judgement "posrat"
     rationals nil)
    (scal_derivable_fun formula-decl nil derivatives nil)
    (nznum nonempty-type-eq-decl nil number_fields nil)
    (/ const-decl "[numfield, nznum -> numfield]" number_fields nil)
    (nonneg_int nonempty-type-eq-decl nil integers nil)
    (> const-decl "bool" reals nil)
    (posnat nonempty-type-eq-decl nil integers nil)
    (factorial def-decl "posnat" factorial "ints/")
    (= const-decl "[T, T -> boolean]" equalities nil)
    (const_derivable_fun formula-decl nil derivatives nil)
    (expt def-decl "real" exponentiation nil)
    (identity_derivable_fun formula-decl nil derivatives nil)
    (diff_derivable_fun formula-decl nil derivatives nil)
    (real_gt_is_strict_total_order name-judgement
     "(strict_total_order?[real])" real_props nil)
    (^ const-decl "[T -> real]" real_fun_ops "reals/")
    (deriv_exp_fun formula-decl nil derivatives nil)
    (- const-decl "[T -> real]" real_fun_ops "reals/")
    (I const-decl "(bijective?[T, T])" identity nil))
   nil))
 (tay2 0
  (tay2-1 nil 3255192119
   ("" (skosimp*)
    (("" (lemma "const_derivable_fun[T]" ("b" "bb!1"))
      (("" (lemma "deriv_const_fun[T]" ("b" "bb!1"))
        (("" (lemma "identity_derivable_fun[T]")
          (("" (lemma "deriv_id_fun[T]")
            (("" (expand "I")
              (("" (expand "const_fun")
                ((""
                  (lemma "diff_derivable_fun[T]"
                   ("f1" "LAMBDA (x: T): bb!1" "f2"
                    "LAMBDA (x: T): x"))
                  (("" (expand "-" -1)
                    (("" (assert)
                      ((""
                        (lemma "deriv_diff_fun[T]"
                         ("ff1" "LAMBDA (x: T): bb!1" "ff2"
                          "LAMBDA (x: T): x"))
                        (("" (replace -5)
                          (("" (replace -3)
                            (("" (expand "-" -1)
                              (("" (assertnil nil)) nil))
                            nil))
                          nil))
                        nil))
                      nil))
                    nil))
                  nil))
                nil))
              nil))
            nil))
          nil))
        nil))
      nil))
    nil)
   ((T formal-subtype-decl nil taylors nil)
    (T_pred const-decl "[real -> boolean]" taylors nil)
    (real nonempty-type-from-decl nil reals nil)
    (real_pred const-decl "[number_field -> boolean]" reals nil)
    (number_field nonempty-type-from-decl nil number_fields nil)
    (number_field_pred const-decl "[number -> boolean]" number_fields
     nil)
    (boolean nonempty-type-decl nil booleans nil)
    (number nonempty-type-decl nil numbers nil)
    (const_derivable_fun formula-decl nil derivatives nil)
    (identity_derivable_fun formula-decl nil derivatives nil)
    (I const-decl "(bijective?[T, T])" identity nil)
    (diff_derivable_fun formula-decl nil derivatives nil)
    (deriv_fun type-eq-decl nil derivatives nil)
    (derivable? const-decl "bool" derivatives nil)
    (bool nonempty-type-eq-decl nil booleans nil)
    (deriv_diff_fun formula-decl nil derivatives nil)
    (- const-decl "[T -> real]" real_fun_ops "reals/")
    (const_fun const-decl "[T -> real]" real_fun_ops "reals/")
    (real_minus_real_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (deriv_id_fun formula-decl nil derivatives nil)
    (deriv_const_fun formula-decl nil derivatives nil))
   nil))
 (tay3_TCC1 0
  (tay3_TCC1-1 nil 3255192119
   ("" (skosimp*) (("" (assertnil nil)) nil)
   ((nnint_plus_posint_is_posint application-judgement "posint"
     integers nil)
    (real_ge_is_total_order name-judgement "(total_order?[real])"
     real_props nil)
    (real_minus_real_is_real application-judgement "real" reals nil))
   nil))
 (tay3 0
  (tay3-1 nil 3255192119
   ("" (skosimp*)
    (("" (lemma "tay1" ("bb" "bb!1" "n" "n!1+1"))
      (("" (lemma "tay2" ("bb" "bb!1"))
        (("" (flatten -1)
          (("" (replace -3 1)
            ((""
              (lemma "deriv_exp_fun[T]"
               ("f" "LAMBDA x: (bb!1 - x)" "n" "n!1+1"))
              (("" (assert)
                (("" (flatten -1)
                  (("" (replace -4)
                    (("" (expand "^" -2)
                      (("" (expand "const_fun")
                        (("" (expand "*" -2)
                          ((""
                            (lemma "deriv_scal_fun[T]"
                             ("ff"
                              "LAMBDA (t: T): (bb!1 - t) ^ (1 + n!1)"
                              "b" "1/factorial(1+n!1)"))
                            (("1" (replace -3 -1)
                              (("1"
                                (expand "*" -1)
                                (("1"
                                  (replace -1 1)
                                  (("1"
                                    (lemma
                                     "extensionality"
                                     ("f"
                                      "(LAMBDA (x: T):
         -1 * ((bb!1 - x) ^ n!1 * (1 / factorial(1 + n!1))) -
          (bb!1 - x) ^ n!1 * (1 / factorial(1 + n!1)) * n!1)"
                                      "g"
                                      "-(LAMBDA x: (bb!1 - x) ^ n!1 / factorial(n!1))"))
                                    (("1"
                                      (split -1)
                                      (("1" (assertnil nil)
                                       ("2"
                                        (hide-all-but 1)
                                        (("2"
                                          (skosimp*)
                                          (("2"
                                            (expand "-")
                                            (("2"
                                              (case
                                               "-1 * ((bb!1 - x!1) ^ n!1) *(1+n!1)/factorial(1 + n!1) = -1 * ((bb!1 - x!1) ^ n!1)/factorial(n!1)")
                                              (("1" (assertnil nil)
                                               ("2"
                                                (hide 2)
                                                (("2"
                                                  (case
                                                   "(1 + n!1) / factorial(1 + n!1) = 1/factorial(n!1)")
                                                  (("1"
                                                    (assert)
                                                    nil
                                                    nil)
                                                   ("2"
                                                    (hide 2)
                                                    (("2"
                                                      (expand
                                                       "factorial"
                                                       1
                                                       1)
                                                      (("2"
                                                        (assert)
                                                        nil
                                                        nil))
                                                      nil))
                                                    nil))
                                                  nil))
                                                nil))
                                              nil))
                                            nil))
                                          nil))
                                        nil))
                                      nil))
                                    nil))
                                  nil))
                                nil))
                              nil)
                             ("2" (hide 2)
                              (("2"
                                (expand "^" -1)
                                (("2" (propax) nil nil))
                                nil))
                              nil))
                            nil))
                          nil))
                        nil))
                      nil))
                    nil))
                  nil))
                nil))
              nil))
            nil))
          nil))
        nil))
      nil))
    nil)
   ((+ const-decl "[numfield, numfield -> numfield]" number_fields nil)
    (numfield nonempty-type-eq-decl nil number_fields nil)
    (nat nonempty-type-eq-decl nil naturalnumbers nil)
    (>= const-decl "bool" reals nil)
    (bool nonempty-type-eq-decl nil booleans nil)
    (int nonempty-type-eq-decl nil integers nil)
    (integer_pred const-decl "[rational -> boolean]" integers nil)
    (rational nonempty-type-from-decl nil rationals nil)
    (rational_pred const-decl "[real -> boolean]" rationals nil)
    (T formal-subtype-decl nil taylors nil)
    (T_pred const-decl "[real -> boolean]" taylors nil)
    (real nonempty-type-from-decl nil reals nil)
    (real_pred const-decl "[number_field -> boolean]" reals nil)
    (number_field nonempty-type-from-decl nil number_fields nil)
    (number_field_pred const-decl "[number -> boolean]" number_fields
     nil)
    (boolean nonempty-type-decl nil booleans nil)
    (number nonempty-type-decl nil numbers nil)
    (tay1 formula-decl nil taylors nil)
    (nnint_plus_posint_is_posint application-judgement "posint"
     integers nil)
    (real_minus_real_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (deriv_exp_fun formula-decl nil derivatives nil)
    (- const-decl "[numfield, numfield -> numfield]" number_fields nil)
    (^ const-decl "[T -> real]" real_fun_ops "reals/")
    (real_times_real_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (* const-decl "[T -> real]" real_fun_ops "reals/")
    (* const-decl "[T -> real]" real_fun_ops "reals/")
    (= const-decl "[T, T -> boolean]" equalities nil)
    (minus_real_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (nnint_times_nnint_is_nnint application-judgement "nonneg_int"
     integers nil)
    (mult_divides1 application-judgement "(divides(n))" divides nil)
    (mult_divides2 application-judgement "(divides(m))" divides nil)
    (- const-decl "[T -> real]" real_fun_ops "reals/")
    (- const-decl "[numfield -> numfield]" number_fields nil)
    (* const-decl "[numfield, numfield -> numfield]" number_fields nil)
    (extensionality formula-decl nil functions nil)
    (^ const-decl "real" exponentiation nil)
    (OR const-decl "[bool, bool -> bool]" booleans nil)
    (deriv_fun type-eq-decl nil derivatives nil)
    (derivable? const-decl "bool" derivatives nil)
    (factorial def-decl "posnat" factorial "ints/")
    (posnat nonempty-type-eq-decl nil integers nil)
    (> const-decl "bool" reals nil)
    (nonneg_int nonempty-type-eq-decl nil integers nil)
    (/ const-decl "[numfield, nznum -> numfield]" number_fields nil)
    (nznum nonempty-type-eq-decl nil number_fields nil)
    (/= const-decl "boolean" notequal nil)
    (deriv_scal_fun formula-decl nil derivatives nil)
    (posrat_div_posrat_is_posrat application-judgement "posrat"
     rationals nil)
    (posint_plus_nnint_is_posint application-judgement "posint"
     integers nil)
    (const_fun const-decl "[T -> real]" real_fun_ops "reals/")
    (derivable_const application-judgement "deriv_fun" derivatives nil)
    (const_fun_continuous application-judgement "continuous_fun"
     continuous_functions nil)
    (minus_odd_is_odd application-judgement "odd_int" integers nil)
    (real_div_nzreal_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (real_gt_is_strict_total_order name-judgement
     "(strict_total_order?[real])" real_props nil)
    (tay2 formula-decl nil taylors nil))
   nil))
 (deriv_sigma_TCC1 0
  (deriv_sigma_TCC1-1 nil 3255192119
   ("" (skosimp*)
    (("" (lemma "sigma_derivable" ("g" "FF!1" "n" "n1!1"))
      (("" (replace -2 -1) (("" (propax) nil nil)) nil)) nil))
    nil)
   ((T formal-subtype-decl nil taylors nil)
    (T_pred const-decl "[real -> boolean]" taylors nil)
    (nat nonempty-type-eq-decl nil naturalnumbers nil)
    (>= const-decl "bool" reals nil)
    (bool nonempty-type-eq-decl nil booleans nil)
    (int nonempty-type-eq-decl nil integers nil)
    (integer_pred const-decl "[rational -> boolean]" integers nil)
    (rational nonempty-type-from-decl nil rationals nil)
    (rational_pred const-decl "[real -> boolean]" rationals nil)
    (real nonempty-type-from-decl nil reals nil)
    (real_pred const-decl "[number_field -> boolean]" reals nil)
    (number_field nonempty-type-from-decl nil number_fields nil)
    (number_field_pred const-decl "[number -> boolean]" number_fields
     nil)
    (boolean nonempty-type-decl nil booleans nil)
    (number nonempty-type-decl nil numbers nil)
    (sigma_derivable formula-decl nil taylors nil))
   nil))
 (deriv_sigma_TCC2 0
  (deriv_sigma_TCC2-1 nil 3255192119
   ("" (skosimp*) (("" (inst - "ii1!1") (("" (assertnil nil)) nil))
    nil)
   ((real_le_is_total_order name-judgement "(total_order?[real])"
     real_props nil)
    (number nonempty-type-decl nil numbers nil)
    (boolean nonempty-type-decl nil booleans nil)
    (number_field_pred const-decl "[number -> boolean]" number_fields
     nil)
    (number_field nonempty-type-from-decl nil number_fields nil)
    (real_pred const-decl "[number_field -> boolean]" reals nil)
    (real nonempty-type-from-decl nil reals nil)
    (rational_pred const-decl "[real -> boolean]" rationals nil)
    (rational nonempty-type-from-decl nil rationals nil)
    (integer_pred const-decl "[rational -> boolean]" integers nil)
    (int nonempty-type-eq-decl nil integers nil)
    (bool nonempty-type-eq-decl nil booleans nil)
    (AND const-decl "[bool, bool -> bool]" booleans nil)
    (<= const-decl "bool" reals nil) (>= const-decl "bool" reals nil)
    (nat nonempty-type-eq-decl nil naturalnumbers nil)
    (subrange type-eq-decl nil integers nil)
    (n!1 skolem-const-decl "nat" taylors nil)
    (ii1!1 skolem-const-decl "nat" taylors nil)
    (real_gt_is_strict_total_order name-judgement
     "(strict_total_order?[real])" real_props nil))
   nil))
 (deriv_sigma 0
  (deriv_sigma-2 nil 3303660794
   ("" (induct "n1")
    (("1" (skosimp*)
      (("1" (expand "sigma" 1)
        (("1" (inst - "0")
          (("1"
            (lemma "extensionality"
             ("f" "deriv(LAMBDA x: FF!1(x, 0))" "g"
              "(LAMBDA x: deriv(LAMBDA xx: FF!1(xx, 0))(x))"))
            (("1" (split -1)
              (("1" (assertnil nil)
               ("2" (hide 2) (("2" (skosimp*) nil nil)) nil))
              nil)
             ("2" (skosimp*) nil nil) ("3" (propax) nil nil))
            nil))
          nil))
        nil))
      nil)
     ("2" (skosimp*)
      (("2" (inst - "FF!1")
        (("2" (split -1)
          (("1" (expand "sigma" 1)
            (("1"
              (lemma "deriv_sum_fun[T]"
               ("ff1" "LAMBDA x: FF!1(x, 1 + j!1)" "ff2"
                "LAMBDA x: sigma(0, j!1, LAMBDA n: FF!1(x, n))"))
              (("1" (replace -2 -1)
                (("1" (expand "+" -1)
                  (("1" (replace -1 1)
                    (("1" (hide -1 -2)
                      (("1"
                        (lemma "extensionality"
                         ("f" "(LAMBDA (x_1: T):
                           deriv(LAMBDA x: FF!1(x, 1 + j!1))(x_1) +
                            sigma(0, j!1,
                                  LAMBDA ii:
                                    IF ii > j!1 THEN 0
                                    ELSE deriv(LAMBDA xx: FF!1(xx, ii))(x_1)
                                    ENDIF))" "g" "(LAMBDA x:
                            deriv(LAMBDA xx: FF!1(xx, 1 + j!1))(x) +
                             sigma(0, j!1,
                                   LAMBDA ii:
                                     IF ii > 1 + j!1 THEN 0
                                     ELSE deriv(LAMBDA xx: FF!1(xx, ii))(x)
                                     ENDIF))"))
                        (("1" (split -1)
                          (("1" (propax) nil nil)
                           ("2" (hide 2)
                            (("2" (skosimp*)
                              (("2"
                                (lemma
                                 "sigma_eq[nat]"
                                 ("low"
                                  "0"
                                  "high"
                                  "j!1"
                                  "F"
                                  "LAMBDA ii:
                                         IF ii > j!1 THEN 0
                                         ELSE deriv(LAMBDA xx: FF!1(xx, ii))(x!1)
                                         ENDIF"
                                  "G"
                                  "LAMBDA ii:
                                          IF ii > 1 + j!1 THEN 0
                                          ELSE deriv(LAMBDA xx: FF!1(xx, ii))(x!1)
                                          ENDIF"))
                                (("1"
                                  (split -1)
                                  (("1" (assertnil nil)
                                   ("2"
                                    (hide 2)
                                    (("2"
                                      (skosimp*)
                                      (("2"
                                        (typepred "n!1")
                                        (("2" (assertnil nil))
                                        nil))
                                      nil))
                                    nil))
                                  nil)
                                 ("2"
                                  (hide 2)
                                  (("2"
                                    (skosimp*)
                                    (("2"
                                      (inst - "ii!1")
                                      (("2" (assertnil nil))
                                      nil))
                                    nil))
                                  nil)
                                 ("3"
                                  (hide 2)
                                  (("3"
                                    (skosimp*)
                                    (("3"
                                      (inst - "ii!1")
                                      (("3" (assertnil nil))
                                      nil))
                                    nil))
                                  nil))
                                nil))
                              nil))
                            nil))
                          nil)
                         ("2" (hide 2)
                          (("2" (skosimp*)
                            (("2" (inst - "ii!1")
                              (("2" (assertnil nil)) nil))
                            nil))
                          nil)
                         ("3" (skosimp*)
                          (("3" (hide 3)
                            (("3" (inst - "ii!1")
                              (("3" (assertnil nil)) nil))
                            nil))
                          nil)
                         ("4" (hide 2)
                          (("4" (skosimp*)
                            (("4" (inst - "1+j!1"nil nil)) nil))
                          nil))
                        nil))
                      nil))
                    nil))
                  nil))
                nil)
               ("2" (hide -1 2)
                (("2" (lemma "sigma_derivable" ("g" "FF!1" "n" "j!1"))
                  (("2" (assert)
                    (("2" (hide 2)
                      (("2" (skosimp*) (("2" (inst - "ii!1"nil nil))
                        nil))
                      nil))
                    nil))
                  nil))
                nil)
               ("3" (inst - "1+j!1"nil nil))
              nil))
            nil)
           ("2" (skosimp*) (("2" (inst - "ii!1"nil nil)) nil))
          nil))
        nil))
      nil)
     ("3" (hide 2)
      (("3" (skosimp*)
        (("3" (inst - "ii1!1") (("3" (assertnil nil)) nil)) nil))
      nil)
     ("4" (hide 2)
      (("4" (skosimp*)
        (("4" (lemma "sigma_derivable" ("g" "FF!1" "n" "n1!2"))
          (("4" (replace -2) (("4" (propax) nil nil)) nil)) nil))
        nil))
      nil))
    nil)
   ((ii1!1 skolem-const-decl "nat" taylors nil)
    (n1!2 skolem-const-decl "nat" taylors nil)
    (posint_plus_nnint_is_posint application-judgement "posint"
     integers nil)
    (deriv_sum_fun formula-decl nil derivatives nil)
    (numfield nonempty-type-eq-decl nil number_fields nil)
    (+ const-decl "[numfield, numfield -> numfield]" number_fields nil)
    (+ const-decl "[T -> real]" real_fun_ops "reals/")
    (ii!1 skolem-const-decl "nat" taylors nil)
    (ii!1 skolem-const-decl "nat" taylors nil)
    (ii!1 skolem-const-decl "nat" taylors nil)
    (ii!1 skolem-const-decl "nat" taylors nil)
    (j!1 skolem-const-decl "nat" taylors nil)
    (real_le_is_total_order name-judgement "(total_order?[real])"
     real_props nil)
    (real_lt_is_strict_total_order name-judgement
     "(strict_total_order?[real])" real_props nil)
    (real_plus_real_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (real_gt_is_strict_total_order name-judgement
     "(strict_total_order?[real])" real_props nil)
    (sigma_eq formula-decl nil sigma "reals/")
    (sigma_derivable formula-decl nil taylors nil)
    (sigma_0_neg formula-decl nil sigma_nat "reals/")
    (extensionality formula-decl nil functions nil)
    (nat_induction formula-decl nil naturalnumbers nil)
    (IF const-decl "[boolean, T, T -> T]" if_def nil)
    (deriv const-decl "[T -> real]" derivatives nil)
    (deriv_fun type-eq-decl nil derivatives nil)
    (= const-decl "[T, T -> boolean]" equalities nil)
    (pred type-eq-decl nil defined_types nil)
    (NOT const-decl "[bool -> bool]" booleans nil)
    (> const-decl "bool" reals nil)
    (number nonempty-type-decl nil numbers nil)
    (boolean nonempty-type-decl nil booleans nil)
    (number_field_pred const-decl "[number -> boolean]" number_fields
     nil)
    (number_field nonempty-type-from-decl nil number_fields nil)
    (real_pred const-decl "[number_field -> boolean]" reals nil)
    (real nonempty-type-from-decl nil reals nil)
    (rational_pred const-decl "[real -> boolean]" rationals nil)
    (rational nonempty-type-from-decl nil rationals nil)
    (integer_pred const-decl "[rational -> boolean]" integers nil)
    (int nonempty-type-eq-decl nil integers nil)
    (bool nonempty-type-eq-decl nil booleans nil)
    (>= const-decl "bool" reals nil)
    (nat nonempty-type-eq-decl nil naturalnumbers nil)
    (T_pred const-decl "[real -> boolean]" taylors nil)
    (T formal-subtype-decl nil taylors nil)
    (IMPLIES const-decl "[bool, bool -> bool]" booleans nil)
    (AND const-decl "[bool, bool -> bool]" booleans nil)
    (<= const-decl "bool" reals nil)
    (subrange type-eq-decl nil integers nil)
    (derivable? const-decl "bool" derivatives nil)
    (OR const-decl "[bool, bool -> bool]" booleans nil)
    (T_low type-eq-decl nil sigma "reals/")
    (T_high type-eq-decl nil sigma "reals/")
    (sigma def-decl "real" sigma "reals/"))
   nil)
  (deriv_sigma-1 nil 3255192119
   ("" (induct "n")
    (("1" (skosimp*)
      (("1" (expand "sigma" 1)
        (("1" (inst - "0")
          (("1"
            (lemma "extensionality"
             ("f" "deriv(LAMBDA x: FF!1(x, 0))" "g"
              "(LAMBDA x: deriv(LAMBDA xx: FF!1(xx, 0))(x))"))
            (("1" (split -1)
              (("1" (propax) nil nil)
               ("2" (hide 2) (("2" (skosimp*) nil nil)) nil))
              nil)
             ("2" (skosimp*) nil nil) ("3" (propax) nil nil))
            nil))
          nil))
        nil))
      nil)
     ("2" (skosimp*)
      (("2" (inst - "FF!1")
        (("2" (split -1)
          (("1" (expand "sigma" 1)
            (("1"
              (lemma "deriv_sum_fun[T]"
               ("ff1" "LAMBDA x: FF!1(x, 1 + j!1)" "ff2"
                "LAMBDA x: sigma(0, j!1, LAMBDA n: FF!1(x, n))"))
              (("1" (replace -2 -1)
                (("1" (expand "+" -1)
                  (("1" (replace -1 1)
                    (("1" (hide -1 -2)
                      (("1"
                        (lemma "extensionality"
                         ("f" "(LAMBDA (x_1: T):
         deriv(LAMBDA x: FF!1(x, 1 + j!1))(x_1) +
          sigma(0, j!1,
                LAMBDA ii:
                  IF ii > j!1 THEN 0
                  ELSE deriv(LAMBDA xx: FF!1(xx, ii))(x_1)
                  ENDIF))" "g" "(LAMBDA x:
          deriv(LAMBDA xx: FF!1(xx, 1 + j!1))(x) +
           sigma(0, j!1,
                 LAMBDA ii:
                   IF ii > 1 + j!1 THEN 0
                   ELSE deriv(LAMBDA xx: FF!1(xx, ii))(x)
                   ENDIF))"))
                        (("1" (split -1)
                          (("1" (propax) nil nil)
                           ("2" (hide 2)
                            (("2" (skosimp*)
                              (("2"
                                (lemma
                                 "sigma_eq[nat]"
                                 ("low"
                                  "0"
                                  "high"
                                  "j!1"
                                  "F"
                                  "LAMBDA ii:
               IF ii > j!1 THEN 0
               ELSE deriv(LAMBDA xx: FF!1(xx, ii))(x!1)
               ENDIF"
                                  "G"
                                  "LAMBDA ii:
                IF ii > 1 + j!1 THEN 0
                ELSE deriv(LAMBDA xx: FF!1(xx, ii))(x!1)
                ENDIF"))
                                (("1"
                                  (split -1)
                                  (("1" (assertnil nil)
                                   ("2"
                                    (hide 2)
                                    (("2"
                                      (skosimp*)
                                      (("2"
                                        (typepred "n!1")
                                        (("2" (assertnil nil))
                                        nil))
                                      nil))
                                    nil))
                                  nil)
                                 ("2"
                                  (hide 2)
                                  (("2"
                                    (skosimp*)
                                    (("2"
                                      (inst - "ii!1")
                                      (("2" (assertnil nil))
                                      nil))
                                    nil))
                                  nil)
                                 ("3"
                                  (hide 2)
                                  (("3"
                                    (skosimp*)
                                    (("3"
                                      (inst - "ii!1")
                                      (("3" (assertnil nil))
                                      nil))
                                    nil))
                                  nil))
                                nil))
                              nil))
                            nil))
                          nil)
                         ("2" (hide 2)
                          (("2" (skosimp*)
                            (("2" (inst - "ii!1")
                              (("2" (assertnil nil)) nil))
                            nil))
                          nil)
                         ("3" (skosimp*)
                          (("3" (hide 3)
                            (("3" (inst - "ii!1")
                              (("3" (assertnil nil)) nil))
                            nil))
                          nil)
                         ("4" (hide 2)
                          (("4" (skosimp*)
                            (("4" (inst - "1+j!1"nil nil)) nil))
                          nil))
                        nil))
                      nil))
                    nil))
                  nil))
                nil)
               ("2" (hide -1 2)
                (("2"
                  (lemma "sigma_derivable[T]" ("g" "FF!1" "n" "j!1"))
                  (("2" (assert)
                    (("2" (hide 2)
                      (("2" (skosimp*) (("2" (inst - "ii!1"nil nil))
                        nil))
                      nil))
                    nil))
                  nil))
                nil)
               ("3" (inst - "1+j!1"nil nil))
              nil))
            nil)
           ("2" (skosimp*) (("2" (inst - "ii!1"nil nil)) nil))
          nil))
        nil))
      nil)
     ("3" (hide 2)
      (("3" (skosimp*)
        (("3" (inst - "ii1!1") (("3" (assertnil nil)) nil)) nil))
      nil)
     ("4" (hide 2)
      (("4" (skosimp*)
        (("4" (lemma "sigma_derivable[T]" ("g" "FF!1" "n" "n!2"))
          (("4" (replace -2) (("4" (propax) nil nil)) nil)) nil))
        nil))
      nil))
    nil)
   ((deriv_sum_fun formula-decl nil derivatives nil)
    (+ const-decl "[T -> real]" real_fun_ops "reals/")
    (sigma_eq formula-decl nil sigma "reals/")
    (deriv const-decl "[T -> real]" derivatives nil)
    (deriv_fun type-eq-decl nil derivatives nil)
    (sigma def-decl "real" sigma "reals/"))
   nil))
 (nderiv_term_derivable_TCC1 0
  (nderiv_term_derivable_TCC1-1 nil 3255192119
   ("" (skosimp*)
    (("" (lemma "derivable_n_times_lem[T]")
      (("" (inst - "f!1" "n!1" "n!1+1") (("" (assertnil nil)) nil))
      nil))
    nil)
   ((T formal-subtype-decl nil taylors nil)
    (T_pred const-decl "[real -> boolean]" taylors nil)
    (real nonempty-type-from-decl nil reals nil)
    (real_pred const-decl "[number_field -> boolean]" reals nil)
    (number_field nonempty-type-from-decl nil number_fields nil)
    (number_field_pred const-decl "[number -> boolean]" number_fields
     nil)
    (boolean nonempty-type-decl nil booleans nil)
    (number nonempty-type-decl nil numbers nil)
    (derivable_n_times_lem formula-decl nil nth_derivatives nil)
    (real_le_is_total_order name-judgement "(total_order?[real])"
     real_props nil)
    (+ const-decl "[numfield, numfield -> numfield]" number_fields nil)
    (numfield nonempty-type-eq-decl nil number_fields nil)
    (nat nonempty-type-eq-decl nil naturalnumbers nil)
    (>= const-decl "bool" reals nil)
    (bool nonempty-type-eq-decl nil booleans nil)
    (int nonempty-type-eq-decl nil integers nil)
    (integer_pred const-decl "[rational -> boolean]" integers nil)
    (rational nonempty-type-from-decl nil rationals nil)
    (rational_pred const-decl "[real -> boolean]" rationals nil)
    (nnint_plus_posint_is_posint application-judgement "posint"
     integers nil))
   nil))
 (nderiv_term_derivable 0
  (nderiv_term_derivable-1 nil 3255192119
   ("" (skosimp*)
    (("" (case "n!1=0")
      (("1" (replace -1)
        (("1" (expand "derivable_n_times?")
          (("1" (flatten -2) (("1" (rewrite "eta" 1) nil nil)) nil))
          nil))
        nil)
       ("2" (assert)
        (("2"
          (lemma "nderiv_derivable[T]" ("f" "f!1" "n" "n!1" "m" "n!1"))
          (("2" (assert)
            (("2" (lemma "tay1" ("bb" "bb!1" "n" "n!1"))
              (("2"
                (lemma "prod_derivable_fun[T]"
                 ("f1" "nderiv(n!1, f!1)" "f2"
                  "LAMBDA x: (bb!1 - x) ^ n!1 / factorial(n!1)"))
                (("1" (assert)
                  (("1" (expand "*") (("1" (assertnil nil)) nil))
                  nil)
                 ("2"
                  (lemma "derivable_n_times_lem[T]"
                   ("f" "f!1" "n" "1+n!1" "m" "n!1"))
                  (("2" (assertnil nil)) nil))
                nil))
              nil))
            nil))
          nil))
        nil))
      nil))
    nil)
   ((nat nonempty-type-eq-decl nil naturalnumbers nil)
    (>= const-decl "bool" reals nil)
    (bool nonempty-type-eq-decl nil booleans nil)
    (int nonempty-type-eq-decl nil integers nil)
    (integer_pred const-decl "[rational -> boolean]" integers nil)
    (rational nonempty-type-from-decl nil rationals nil)
    (rational_pred const-decl "[real -> boolean]" rationals nil)
    (real nonempty-type-from-decl nil reals nil)
    (real_pred const-decl "[number_field -> boolean]" reals nil)
    (number_field nonempty-type-from-decl nil number_fields nil)
    (number_field_pred const-decl "[number -> boolean]" number_fields
     nil)
    (= const-decl "[T, T -> boolean]" equalities nil)
    (boolean nonempty-type-decl nil booleans nil)
    (number nonempty-type-decl nil numbers nil)
    (derivable_n_times? def-decl "bool" nth_derivatives nil)
    (T formal-subtype-decl nil taylors nil)
    (T_pred const-decl "[real -> boolean]" taylors nil)
    (eta formula-decl nil functions nil)
    (nderiv_derivable formula-decl nil nth_derivatives nil)
    (tay1 formula-decl nil taylors nil)
    (* const-decl "[T -> real]" real_fun_ops "reals/")
    (real_minus_real_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (real_div_nzreal_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (prod_derivable_fun formula-decl nil derivatives nil)
    (nderiv_fun type-eq-decl nil nth_derivatives nil)
    (nderiv def-decl "[T -> real]" nth_derivatives nil)
    (numfield nonempty-type-eq-decl nil number_fields nil)
    (/= const-decl "boolean" notequal nil)
    (nznum nonempty-type-eq-decl nil number_fields nil)
    (/ const-decl "[numfield, nznum -> numfield]" number_fields nil)
    (OR const-decl "[bool, bool -> bool]" booleans nil)
    (^ const-decl "real" exponentiation nil)
    (- const-decl "[numfield, numfield -> numfield]" number_fields nil)
    (nonneg_int nonempty-type-eq-decl nil integers nil)
    (> const-decl "bool" reals nil)
    (posnat nonempty-type-eq-decl nil integers nil)
    (factorial def-decl "posnat" factorial "ints/")
    (posint_plus_nnint_is_posint application-judgement "posint"
     integers nil)
    (real_le_is_total_order name-judgement "(total_order?[real])"
     real_props nil)
    (nnint_plus_posint_is_posint application-judgement "posint"
     integers nil)
    (real_times_real_is_real application-judgement "real" reals nil))
   nil))
 (taylor_derivable_TCC1 0
  (taylor_derivable_TCC1-1 nil 3255192119
   ("" (skosimp*) (("" (inst + "0") (("" (assertnil nil)) nil)) nil)
   ((number nonempty-type-decl nil numbers nil)
    (boolean nonempty-type-decl nil booleans nil)
    (number_field_pred const-decl "[number -> boolean]" number_fields
     nil)
    (number_field nonempty-type-from-decl nil number_fields nil)
    (real_pred const-decl "[number_field -> boolean]" reals nil)
    (real nonempty-type-from-decl nil reals nil)
    (rational_pred const-decl "[real -> boolean]" rationals nil)
    (rational nonempty-type-from-decl nil rationals nil)
    (integer_pred const-decl "[rational -> boolean]" integers nil)
    (int nonempty-type-eq-decl nil integers nil)
    (bool nonempty-type-eq-decl nil booleans nil)
    (>= const-decl "bool" reals nil)
    (nat nonempty-type-eq-decl nil naturalnumbers nil)
    (nnint_plus_posint_is_posint application-judgement "posint"
     integers nil)
    (real_ge_is_total_order name-judgement "(total_order?[real])"
     real_props nil))
   nil))
 (taylor_derivable_TCC2 0
  (taylor_derivable_TCC2-1 nil 3255192119
   ("" (skosimp*)
    (("" (lemma "derivable_n_times_lem[T]")
      (("" (inst - "f!1" "nn!1" "n!1+1") (("" (assertnil nil)) nil))
      nil))
    nil)
   ((T formal-subtype-decl nil taylors nil)
    (T_pred const-decl "[real -> boolean]" taylors nil)
    (real nonempty-type-from-decl nil reals nil)
    (real_pred const-decl "[number_field -> boolean]" reals nil)
    (number_field nonempty-type-from-decl nil number_fields nil)
    (number_field_pred const-decl "[number -> boolean]" number_fields
     nil)
    (boolean nonempty-type-decl nil booleans nil)
    (number nonempty-type-decl nil numbers nil)
    (derivable_n_times_lem formula-decl nil nth_derivatives nil)
    (real_le_is_total_order name-judgement "(total_order?[real])"
     real_props nil)
    (real_gt_is_strict_total_order name-judgement
     "(strict_total_order?[real])" real_props nil)
    (+ const-decl "[numfield, numfield -> numfield]" number_fields nil)
    (numfield nonempty-type-eq-decl nil number_fields nil)
    (nat nonempty-type-eq-decl nil naturalnumbers nil)
    (>= const-decl "bool" reals nil)
    (bool nonempty-type-eq-decl nil booleans nil)
    (int nonempty-type-eq-decl nil integers nil)
    (integer_pred const-decl "[rational -> boolean]" integers nil)
    (rational nonempty-type-from-decl nil rationals nil)
    (rational_pred const-decl "[real -> boolean]" rationals nil)
    (nnint_plus_posint_is_posint application-judgement "posint"
     integers nil))
   nil))
 (taylor_derivable_TCC3 0
  (taylor_derivable_TCC3-1 nil 3374341760
   ("" (skosimp*)
    (("" (lemma "derivable_n_times_lem[T]")
      (("" (inst - "f!1" "nn!1" "n!1+1") (("" (assertnil nil)) nil))
      nil))
    nil)
   ((T formal-subtype-decl nil taylors nil)
    (T_pred const-decl "[real -> boolean]" taylors nil)
    (real nonempty-type-from-decl nil reals nil)
    (real_pred const-decl "[number_field -> boolean]" reals nil)
    (number_field nonempty-type-from-decl nil number_fields nil)
    (number_field_pred const-decl "[number -> boolean]" number_fields
     nil)
    (boolean nonempty-type-decl nil booleans nil)
    (number nonempty-type-decl nil numbers nil)
    (derivable_n_times_lem formula-decl nil nth_derivatives nil)
    (real_ge_is_total_order name-judgement "(total_order?[real])"
     real_props nil)
    (real_minus_real_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (real_gt_is_strict_total_order name-judgement
     "(strict_total_order?[real])" real_props nil)
    (+ const-decl "[numfield, numfield -> numfield]" number_fields nil)
    (numfield nonempty-type-eq-decl nil number_fields nil)
    (nat nonempty-type-eq-decl nil naturalnumbers nil)
    (>= const-decl "bool" reals nil)
    (bool nonempty-type-eq-decl nil booleans nil)
    (int nonempty-type-eq-decl nil integers nil)
    (integer_pred const-decl "[rational -> boolean]" integers nil)
    (rational nonempty-type-from-decl nil rationals nil)
    (rational_pred const-decl "[real -> boolean]" rationals nil)
    (nnint_plus_posint_is_posint application-judgement "posint"
     integers nil))
   nil))
 (taylor_derivable 0
  (taylor_derivable-2 nil 3306748084
   ("" (skosimp*)
    (("" (lemma "const_derivable_fun[T]" ("b" "f!1(bb!1)"))
      (("" (expand "const_fun")
        ((""
          (lemma "nderiv_term_derivable"
           ("f" "f!1" "n" "n!1" "bb" "bb!1"))
          (("" (replace -3)
            ((""
              (lemma "sigma_derivable"
               ("g" "LAMBDA (aa: T, nn:nat):IF nn > n!1 THEN 0
                              ELSIF nn = 0 THEN f!1(aa)
                              ELSE nderiv(nn, f!1)(aa) * (bb!1 - aa) ^ nn /
                                    factorial(nn)
                              ENDIF" "n" "n!1"))
              (("1" (split -1)
                (("1" (simplify -1)
                  (("1"
                    (lemma "diff_derivable_fun[T]"
                     ("f1" "LAMBDA (x: T): f!1(bb!1)" "f2"
                      "LAMBDA (aa_1: T):
                    sigma(0, n!1,
                          LAMBDA m:
                            IF m > n!1 THEN 0
                            ELSIF m = 0 THEN f!1(aa_1)
                            ELSE nderiv(m, f!1)(aa_1) * (bb!1 - aa_1) ^ m /
                                  factorial(m)
                            ENDIF)"))
                    (("1" (assert)
                      (("1" (expand "-" -1) (("1" (propax) nil nil))
                        nil))
                      nil))
                    nil))
                  nil)
                 ("2" (hide 2)
                  (("2" (skosimp*)
                    (("2" (typepred "ii!1")
                      (("2" (assert)
                        (("2"
                          (lemma "derivable_n_times_lem[T]"
                           ("f" "f!1" "n" "1+n!1" "m" "ii!1+1"))
                          (("2" (assert)
                            (("2"
                              (lemma "nderiv_term_derivable"
                               ("f" "f!1" "n" "ii!1" "bb" "bb!1"))
                              (("2" (assertnil nil)) nil))
                            nil))
                          nil))
                        nil))
                      nil))
                    nil))
                  nil))
                nil)
               ("2" (skosimp*)
                (("2"
                  (lemma "derivable_n_times_lem[T]"
                   ("f" "f!1" "n" "n!1+1" "m" "nn!1"))
                  (("2" (assertnil nil)) nil))
                nil))
              nil))
            nil))
          nil))
        nil))
      nil))
    nil)
   ((T formal-subtype-decl nil taylors nil)
    (T_pred const-decl "[real -> boolean]" taylors nil)
    (real nonempty-type-from-decl nil reals nil)
    (real_pred const-decl "[number_field -> boolean]" reals nil)
    (number_field nonempty-type-from-decl nil number_fields nil)
    (number_field_pred const-decl "[number -> boolean]" number_fields
     nil)
    (boolean nonempty-type-decl nil booleans nil)
    (number nonempty-type-decl nil numbers nil)
    (const_derivable_fun formula-decl nil derivatives nil)
    (real_times_real_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (real_gt_is_strict_total_order name-judgement
     "(strict_total_order?[real])" real_props nil)
    (sigma def-decl "real" sigma "reals/")
    (T_high type-eq-decl nil sigma "reals/")
    (T_low type-eq-decl nil sigma "reals/")
    (<= const-decl "bool" reals nil)
    (diff_derivable_fun formula-decl nil derivatives nil)
    (- const-decl "[T -> real]" real_fun_ops "reals/")
    (nnint_plus_posint_is_posint application-judgement "posint"
     integers nil)
    (real_le_is_total_order name-judgement "(total_order?[real])"
     real_props nil)
    (+ const-decl "[numfield, numfield -> numfield]" number_fields nil)
    (derivable_n_times_lem formula-decl nil nth_derivatives nil)
    (posint_plus_nnint_is_posint application-judgement "posint"
     integers nil)
    (subrange type-eq-decl nil integers nil)
    (IMPLIES const-decl "[bool, bool -> bool]" booleans nil)
    (AND const-decl "[bool, bool -> bool]" booleans nil)
    (NOT const-decl "[bool -> bool]" booleans nil)
    (real_div_nzreal_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (real_minus_real_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (sigma_derivable formula-decl nil taylors nil)
    (numfield nonempty-type-eq-decl nil number_fields nil)
    (IF const-decl "[boolean, T, T -> T]" if_def nil)
    (> const-decl "bool" reals nil)
    (= const-decl "[T, T -> boolean]" equalities nil)
    (/= const-decl "boolean" notequal nil)
    (nznum nonempty-type-eq-decl nil number_fields nil)
    (/ const-decl "[numfield, nznum -> numfield]" number_fields nil)
    (* const-decl "[numfield, numfield -> numfield]" number_fields nil)
    (derivable_n_times? def-decl "bool" nth_derivatives nil)
    (nderiv_fun type-eq-decl nil nth_derivatives nil)
    (nderiv def-decl "[T -> real]" nth_derivatives nil)
    (OR const-decl "[bool, bool -> bool]" booleans nil)
    (^ const-decl "real" exponentiation nil)
    (- const-decl "[numfield, numfield -> numfield]" number_fields nil)
    (nonneg_int nonempty-type-eq-decl nil integers nil)
    (posnat nonempty-type-eq-decl nil integers nil)
    (factorial def-decl "posnat" factorial "ints/")
    (nderiv_term_derivable formula-decl nil taylors nil)
    (rational_pred const-decl "[real -> boolean]" rationals nil)
    (rational nonempty-type-from-decl nil rationals nil)
    (integer_pred const-decl "[rational -> boolean]" integers nil)
    (int nonempty-type-eq-decl nil integers nil)
    (bool nonempty-type-eq-decl nil booleans nil)
    (>= const-decl "bool" reals nil)
    (nat nonempty-type-eq-decl nil naturalnumbers nil))
   nil)
  (taylor_derivable-1 nil 3255192119
   ("" (skosimp*)
    (("" (lemma "const_derivable_fun[T]" ("b" "f!1(bb!1)"))
      (("" (expand "const_fun")
        ((""
          (lemma "nderiv_term_derivable[T]"
           ("f" "f!1" "n" "n!1" "bb" "bb!1"))
          (("" (replace -3)
            ((""
              (lemma "sigma_derivable[T]"
               ("g" "LAMBDA (aa: T, nn:nat):IF nn > n!1 THEN 0
                           ELSIF nn = 0 THEN f!1(aa)
                           ELSE nderiv(nn, f!1)(aa) * (bb!1 - aa) ^ nn /
                                 factorial(nn)
                           ENDIF" "n" "n!1"))
              (("1" (split -1)
                (("1" (simplify -1)
                  (("1"
                    (lemma "diff_derivable_fun[T]"
                     ("f1" "LAMBDA (x: T): f!1(bb!1)" "f2"
                      "LAMBDA (aa_1: T):
             sigma(0, n!1,
                   LAMBDA m:
                     IF m > n!1 THEN 0
                     ELSIF m = 0 THEN f!1(aa_1)
                     ELSE nderiv(m, f!1)(aa_1) * (bb!1 - aa_1) ^ m /
                           factorial(m)
                     ENDIF)"))
                    (("1" (assert)
                      (("1" (expand "-" -1) (("1" (propax) nil nil))
                        nil))
                      nil))
                    nil))
                  nil)
                 ("2" (hide 2)
                  (("2" (skosimp*)
                    (("2" (typepred "ii!1")
                      (("2" (assert)
                        (("2"
                          (lemma "derivable_n_times_lem[T]"
                           ("f" "f!1" "n" "1+n!1" "m" "ii!1+1"))
                          (("2" (assert)
                            (("2"
                              (lemma "nderiv_term_derivable[T]"
                               ("f" "f!1" "n" "ii!1" "bb" "bb!1"))
                              (("2" (assertnil nil)) nil))
                            nil))
                          nil))
                        nil))
                      nil))
                    nil))
                  nil))
                nil)
               ("2" (skosimp*)
                (("2"
                  (lemma "derivable_n_times_lem[T]"
                   ("f" "f!1" "n" "n!1+1" "m" "nn!1"))
                  (("2" (assertnil nil)) nil))
                nil))
              nil))
            nil))
          nil))
        nil))
      nil))
    nil)
   ((const_derivable_fun formula-decl nil derivatives nil)
    (nderiv def-decl "[T -> real]" nth_derivatives nil)
    (nderiv_fun type-eq-decl nil nth_derivatives nil)
    (derivable_n_times_lem formula-decl nil nth_derivatives nil)
    (sigma def-decl "real" sigma "reals/")
    (diff_derivable_fun formula-decl nil derivatives nil)
    (const_fun const-decl "[T -> real]" real_fun_ops "reals/"))
   nil))
 (deriv_nderiv_TCC1 0
  (deriv_nderiv_TCC1-1 nil 3255192119
   ("" (skosimp*)
    ((""
      (lemma "derivable_n_times_lem" ("f" "f!1" "n" "n!1+1" "m" "n!1"))
      (("" (assertnil nil)) nil))
    nil)
   ((T formal-subtype-decl nil taylors nil)
    (T_pred const-decl "[real -> boolean]" taylors nil)
    (real nonempty-type-from-decl nil reals nil)
    (real_pred const-decl "[number_field -> boolean]" reals nil)
    (number_field nonempty-type-from-decl nil number_fields nil)
    (number_field_pred const-decl "[number -> boolean]" number_fields
     nil)
    (boolean nonempty-type-decl nil booleans nil)
    (number nonempty-type-decl nil numbers nil)
    (+ const-decl "[numfield, numfield -> numfield]" number_fields nil)
    (numfield nonempty-type-eq-decl nil number_fields nil)
    (nat nonempty-type-eq-decl nil naturalnumbers nil)
    (>= const-decl "bool" reals nil)
    (bool nonempty-type-eq-decl nil booleans nil)
    (int nonempty-type-eq-decl nil integers nil)
    (integer_pred const-decl "[rational -> boolean]" integers nil)
    (rational nonempty-type-from-decl nil rationals nil)
    (rational_pred const-decl "[real -> boolean]" rationals nil)
    (derivable_n_times_lem formula-decl nil nth_derivatives nil)
    (nnint_plus_posint_is_posint application-judgement "posint"
     integers nil)
    (real_le_is_total_order name-judgement "(total_order?[real])"
     real_props nil))
   nil))
 (deriv_nderiv_TCC2 0
  (deriv_nderiv_TCC2-1 nil 3255192119
   ("" (skosimp*)
    (("" (lemma "nderiv_derivable_eqv[T]" ("f" "f!1" "n" "n!1"))
      (("" (replace -2 -1)
        (("" (flatten -1)
          ((""
            (lemma "extensionality"
             ("f" "nderiv(n!1, f!1)" "g"
              "LAMBDA xx: (nderiv[T](n!1, f!1)(xx))"))
            (("1" (split -1)
              (("1" (replace -1 1 rl) (("1" (propax) nil nil)) nil)
               ("2" (hide 2) (("2" (skosimp*) nil nil)) nil))
              nil)
             ("2" (skosimp*) nil nil) ("3" (propax) nil nil))
            nil))
          nil))
        nil))
      nil))
    nil)
   ((T formal-subtype-decl nil taylors nil)
    (T_pred const-decl "[real -> boolean]" taylors nil)
    (real nonempty-type-from-decl nil reals nil)
    (real_pred const-decl "[number_field -> boolean]" reals nil)
    (number_field nonempty-type-from-decl nil number_fields nil)
    (number_field_pred const-decl "[number -> boolean]" number_fields
     nil)
    (boolean nonempty-type-decl nil booleans nil)
    (number nonempty-type-decl nil numbers nil)
    (nat nonempty-type-eq-decl nil naturalnumbers nil)
    (>= const-decl "bool" reals nil)
    (bool nonempty-type-eq-decl nil booleans nil)
    (int nonempty-type-eq-decl nil integers nil)
    (integer_pred const-decl "[rational -> boolean]" integers nil)
    (rational nonempty-type-from-decl nil rationals nil)
    (rational_pred const-decl "[real -> boolean]" rationals nil)
    (nderiv_derivable_eqv formula-decl nil nth_derivatives nil)
    (extensionality formula-decl nil functions nil)
    (derivable_n_times? def-decl "bool" nth_derivatives nil)
    (nderiv_fun type-eq-decl nil nth_derivatives nil)
    (nderiv def-decl "[T -> real]" nth_derivatives nil)
    (posint_plus_nnint_is_posint application-judgement "posint"
     integers nil)
    (int_minus_int_is_int application-judgement "int" integers nil))
   nil))
 (deriv_nderiv_TCC3 0
  (deriv_nderiv_TCC3-1 nil 3255192119
   ("" (skosimp*) (("" (assertnil nil)) nil)
   ((posint_plus_nnint_is_posint application-judgement "posint"
     integers nil)
    (nnint_plus_posint_is_posint application-judgement "posint"
     integers nil))
   nil))
 (deriv_nderiv 0
  (deriv_nderiv-1 nil 3255192119
   ("" (skosimp*)
    (("" (lemma "nderiv_derivable_aux" ("f" "f!1" "n" "n!1"))
      (("" (assert)
        (("" (replace -1 1)
          ((""
            (lemma "extensionality"
             ("f" "LAMBDA xx: (nderiv(n!1, f!1)(xx))" "g"
              "nderiv(n!1, f!1)"))
            (("1" (split -1)
              (("1" (replace -1) (("1" (propax) nil nil)) nil)
               ("2" (hide 2) (("2" (skosimp*) nil nil)) nil))
              nil)
             ("2" (hide 2)
              (("2"
                (lemma "derivable_n_times_lem[T]"
                 ("f" "f!1" "n" "n!1+1" "m" "n!1"))
                (("2" (assertnil nil)) nil))
              nil)
             ("3" (skosimp*)
              (("3"
                (lemma "derivable_n_times_lem[T]"
                 ("f" "f!1" "n" "n!1+1" "m" "n!1"))
                (("3" (assertnil nil)) nil))
              nil))
            nil))
          nil))
        nil))
      nil))
    nil)
   ((T formal-subtype-decl nil taylors nil)
    (T_pred const-decl "[real -> boolean]" taylors nil)
    (real nonempty-type-from-decl nil reals nil)
    (real_pred const-decl "[number_field -> boolean]" reals nil)
    (number_field nonempty-type-from-decl nil number_fields nil)
    (number_field_pred const-decl "[number -> boolean]" number_fields
     nil)
    (boolean nonempty-type-decl nil booleans nil)
    (number nonempty-type-decl nil numbers nil)
    (nat nonempty-type-eq-decl nil naturalnumbers nil)
    (>= const-decl "bool" reals nil)
    (bool nonempty-type-eq-decl nil booleans nil)
    (int nonempty-type-eq-decl nil integers nil)
    (integer_pred const-decl "[rational -> boolean]" integers nil)
    (rational nonempty-type-from-decl nil rationals nil)
    (rational_pred const-decl "[real -> boolean]" rationals nil)
    (nderiv_derivable_aux formula-decl nil nth_derivatives nil)
    (int_minus_int_is_int application-judgement "int" integers nil)
    (extensionality formula-decl nil functions nil)
    (derivable_n_times? def-decl "bool" nth_derivatives nil)
    (nderiv_fun type-eq-decl nil nth_derivatives nil)
    (nderiv def-decl "[T -> real]" nth_derivatives nil)
    (nnint_plus_posint_is_posint application-judgement "posint"
     integers nil))
   nil))
 (term_by_term_deriv_TCC1 0
  (term_by_term_deriv_TCC1-1 nil 3255192119
   ("" (skosimp*) (("" (inst + "0") (("" (assertnil nil)) nil)) nil)
   ((number nonempty-type-decl nil numbers nil)
    (boolean nonempty-type-decl nil booleans nil)
    (number_field_pred const-decl "[number -> boolean]" number_fields
     nil)
    (number_field nonempty-type-from-decl nil number_fields nil)
    (real_pred const-decl "[number_field -> boolean]" reals nil)
    (real nonempty-type-from-decl nil reals nil)
    (rational_pred const-decl "[real -> boolean]" rationals nil)
    (rational nonempty-type-from-decl nil rationals nil)
    (integer_pred const-decl "[rational -> boolean]" integers nil)
    (int nonempty-type-eq-decl nil integers nil)
    (bool nonempty-type-eq-decl nil booleans nil)
    (>= const-decl "bool" reals nil)
    (nat nonempty-type-eq-decl nil naturalnumbers nil)
    (posint_plus_nnint_is_posint application-judgement "posint"
     integers nil)
    (real_ge_is_total_order name-judgement "(total_order?[real])"
     real_props nil))
   nil))
 (term_by_term_deriv_TCC2 0
  (term_by_term_deriv_TCC2-1 nil 3255192119
   ("" (skosimp*)
    (("" (lemma "derivable_n_times_lem[T]")
      (("" (inst - "f!1" "ii!1" "n!1+1") (("" (assertnil nil)) nil))
      nil))
    nil)
   ((T formal-subtype-decl nil taylors nil)
    (T_pred const-decl "[real -> boolean]" taylors nil)
    (real nonempty-type-from-decl nil reals nil)
    (real_pred const-decl "[number_field -> boolean]" reals nil)
    (number_field nonempty-type-from-decl nil number_fields nil)
    (number_field_pred const-decl "[number -> boolean]" number_fields
     nil)
    (boolean nonempty-type-decl nil booleans nil)
    (number nonempty-type-decl nil numbers nil)
    (derivable_n_times_lem formula-decl nil nth_derivatives nil)
    (real_le_is_total_order name-judgement "(total_order?[real])"
     real_props nil)
    (real_gt_is_strict_total_order name-judgement
     "(strict_total_order?[real])" real_props nil)
    (posint_plus_nnint_is_posint application-judgement "posint"
     integers nil)
    (+ const-decl "[numfield, numfield -> numfield]" number_fields nil)
    (numfield nonempty-type-eq-decl nil number_fields nil)
    (nat nonempty-type-eq-decl nil naturalnumbers nil)
    (>= const-decl "bool" reals nil)
    (bool nonempty-type-eq-decl nil booleans nil)
    (int nonempty-type-eq-decl nil integers nil)
    (integer_pred const-decl "[rational -> boolean]" integers nil)
    (rational nonempty-type-from-decl nil rationals nil)
    (rational_pred const-decl "[real -> boolean]" rationals nil)
    (nnint_plus_posint_is_posint application-judgement "posint"
     integers nil))
   nil))
 (term_by_term_deriv_TCC3 0
  (term_by_term_deriv_TCC3-1 nil 3255192119
   ("" (skosimp*)
    (("" (case "ii!1=0")
      (("1" (propax) nil nil)
       ("2" (assert)
        (("2" (expand "derivable_n_times?")
          (("2"
            (lemma "extensionality"
             ("f" "f!1" "g" "LAMBDA xx: f!1(xx)"))
            (("2" (split -1)
              (("1" (skosimp*)
                (("1" (assert)
                  (("1"
                    (lemma "nderiv_derivable[T]"
                     ("f" "f!1" "n" "n!1" "m" "ii!1"))
                    (("1" (assert)
                      (("1" (lemma "identity_derivable_fun[T]")
                        (("1" (expand "I")
                          (("1" (assert)
                            (("1" (hide -2)
                              (("1"
                                (lemma
                                 "derivable_n_times_lem[T]"
                                 ("f" "f!1" "n" "1+n!1" "m" "ii!1"))
                                (("1" (assertnil nil))
                                nil))
                              nil))
                            nil))
                          nil))
--> --------------------

--> maximum size reached

--> --------------------

¤ Dauer der Verarbeitung: 0.70 Sekunden  (vorverarbeitet)  ¤





Druckansicht
unsichere Verbindung
Druckansicht
sprechenden Kalenders

Eigene Datei ansehen




Haftungshinweis

Die Informationen auf dieser Webseite wurden nach bestem Wissen sorgfältig zusammengestellt. Es wird jedoch weder Vollständigkeit, noch Richtigkeit, noch Qualität der bereit gestellten Informationen zugesichert.


Bemerkung:

Die farbliche Syntaxdarstellung ist noch experimentell.


Bot Zugriff