SSL Dense_Linear_Order.thy   Sprache: Isabelle

(*  Title       : HOL/Decision_Procs/Dense_Linear_Order.thy
    Author      : Amine Chaieb, TU Muenchen
*)

section  class_dense_linordered_field
  and a quantifier elimination procedure in= classfield_whatis,  class_field_ss

theory Dense_Linear_Orderend
imports Main
begin

ML_file\close>
ML_file java.lang.NullPointerException: Cannot invoke "String.equals(Object)" because "macro" is null

context linorder
begin

lemma less_not_permute[no_atp]: "\ (x < y \ y < x)"
  by (simp add: not_less linear)

lemma gather_simps[no_atp]:
  "(\x. (\y \ L. y < x) \ (\y \ U. x < y) \ x < u \ P x) \
    (∃x. (∀y ∈ L. y < x) ∧ (∀y ∈ (insert u U). x < y) ∧ P x)"
  "(\x. (\y \ L. y < x) \ (\y \ U. x < y) \ l < x \ P x) \
    (∃x. (∀y ∈ (insert l L). y < x) ∧ (∀y ∈ U. x < y) ∧ P x)"
  "(\x. (\y \ L. y < x) \ (\y \ U. x < y) \ x < u) \
    (∃x. (∀y ∈ L. y < x) ∧ (∀y ∈ (insert u U). x < y))"
  "(\x. (\y \ L. y < x) \ (\y \ U. x < y) \ l < x) \
    (∃x. (∀y ∈ (insert l L). y < x) ∧ (∀y ∈ U. x < y))"
  by auto

lemma gather_start [no_atp]: "(\x. P x) \ (\x. (\y \ {}. y < x) \ (\y\ {}. x < y) \ P x)"
  by simp

text‹Theorems for ‹∃z. ∀x. x < z ⟶ (P x ⟷ P🚫-🚫∞)››
lemma minf_lt[no_atp]: "\z. \x. x < z \ (x < t \ True)" 
  by auto
lemma minf_gt[no_atp]: "\z. \x. x < z \ (t < x \ False)"
  by (simp add: not_less) (rule exI[where x="t"], auto simp add: less_le)

lemma minf_le[no_atp]: "\z. \x. x < z \ (x \ t \ True)" 
  by (auto simp add: less_le)
lemma minf_ge[no_atp]: "\z. \x. x < z \ (t \ x \ False)"
  by (auto simp add: less_le not_less not_le)
lemma minf_eq[no_atp]: "\z. \x. x < z \ (x = t \ False)" 
  by auto
lemma minf_neq[no_atp]: "\z. \x. x < z \ (x \ t \ True)" 
  by auto
lemma minf_P[no_atp]: "\z. \x. x < z \ (P \ P)" 
  by blast

text‹Theorems for ‹∃z. ∀x. x < z ⟶ (P x ⟷ P🚫+🚫∞)››
lemma pinf_gt[no_atp]:  "\z. \x. z < x \ (t < x \ True)" 
  by auto
lemma pinf_lt[no_atp]: "\z. \x. z < x \ (x < t \ False)"
  by (simp add: not_less) (rule exI[where x="t"], auto simp add: less_le)

lemma pinf_ge[no_atp]: "\z. \x. z < x \ (t \ x \ True)" 
  by (auto simp add: less_le)
lemma pinf_le[no_atp]: "\z. \x. z < x \ (x \ t \ False)"
  by (auto simp add: less_le not_less not_le)
lemma pinf_eq[no_atp]: "\z. \x. z < x \ (x = t \ False)" by auto
lemma pinf_neq[no_atp]: "\z. \x. z < x \ (x \ t \ True)" by auto
lemma pinf_P[no_atp]: "\z. \x. z < x \ (P \ P)" by blast

lemma nmi_lt[no_atp]: "t \ U \ \x. \True \ x < t \ (\u\ U. u \ x)" by auto
lemma nmi_gt[no_atp]: "t \ U \ \x. \False \ t < x \ (\u\ U. u \ x)"
  by (auto simp add: le_less)
lemma  nmi_le[no_atp]: "t \ U \ \x. \True \ x\ t \ (\u\ U. u \ x)" by auto
lemma  nmi_ge[no_atp]: "t \ U \ \x. \False \ t\ x \ (\u\ U. u \ x)" by auto
lemma  nmi_eq[no_atp]: "t \ U \ \x. \False \ x = t \ (\u\ U. u \ x)" by auto
lemma  nmi_neq[no_atp]: "t \ U \\x. \True \ x \ t \ (\u\ U. u \ x)" by auto
lemma  nmi_P[no_atp]: "\x. ~P \ P \ (\u\ U. u \ x)" by auto
lemma  nmi_conj[no_atp]: "\\x. \P1' \ P1 x \ (\u\ U. u \ x) ;
  ∀x. ¬P2' \ P2 x \ (\u\ U. u \ x)\ \
  ∀x. ¬(P1' \ P2') ∧ (P1 x ∧ P2 x) ⟶  (\<exists>u\<in> U. u \<le> x)" by auto
lemma  nmi_disj[no_atp]: "\\x. \P1' \ P1 x \ (\u\ U. u \ x) ;
  \<forall>x. \<not>P2' \ P2 x \ (\u\ U. u \ x)\ \
  \<forall>x. \<not>(P1' \ P2') \<and> (P1 x \<or> P2 x) \<longrightarrow>  (\<exists>u\<in> U. u \<le> x)" by auto

lemma  npi_lt[no_atp]: "t \ U \ \x. \False \ x < t \ (\u\ U.%---------------------------% Appoximation results
lemmanpi_gtno_atp] "t \in> U \Longrightarrow >x. \>True t x (\u\<\ U.x\ u) by auto
lemmaIMPORTING ,
  npi_ge[] t< U\<>\forall notTrue<>t\le x \longrightarrow(existsu\<in> U.\in U x<le ) byauto
lemma  npi_eqno_atp] >= <(<existsin>U.x <>u) by auto
[ in >forall \<\  le>u"by auto
  npi_Pno_atp:"x ~P <> P\longrightarrow \existsuu"  auto
  pxpy      xe1e2  real
\Longrightarrow  <>.\not('\ P2) <> ( x \and P2x <>(<>\in>U.x \le>u) by auto
mma[no_atp:"P1'<>u\ U. x \ u) ; > x \longrightarrow>(<>u<>U x \le>u)
  \<Longrightarrow> \<foralllemma_A3 LEMMA i=floor(() IFF^ =pxAND px<2(+)

lemmalin_dense_lt[]
  "t \in>U \Longrightarrow
.(<>.l<t <> t   <> <>U <>l<x\and   u\and    <> \forall>y <y\>y <<u < "
   metis orderstrict_trans

lemma[]
  (,:nat:RECURSIVE nat 
        IFm1*m1 < n THEN+1ELSEENDIF
metis  .)

lemmano_atp
" \in  <>
\forall> l .(<>.l <> t<u\longrightarrowt\notin U> l  x\<> x  uandle t <>>.l  y\and    \<longrightarrow> y \<le> t)"
al. .less_translocalnot_less

lemmaLAMBDA n:)
  " U \Longrightarrow>
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
  by (metis local.le_less_trans local.nle_le not_le)

lemma lin_dense_eq[no_atp]:
  "t \ U \
    \<forall>x l u. (\<forall>t. l < t \<and> t < u \<longrightarrow> t \<notin> U) \<and> l < x \<and> x < u \<and> x = t \<longrightarrow> (\<forall>y. l < y \<and> y < u \<longrightarrow> y = t)"
  by auto

lemma lin_dense_neq[no_atp]:
  "t \ U \
    \<forall>x l u. (\<forall>t. l < t \<and> t < u \<longrightarrow> t \<notin> U) \<and> l < x \<and> x < u \<and> x \<noteq> t \<longrightarrow> (\<forall>y. l < y \<and> y < u \<longrightarrow> y \<noteq> t)"
  by auto

lemma lin_dense_P[no_atp]:
  "\x l u. (\t. l < t \ t < u \ t \ U) \ l < x \ x < u \ P \ (\y. l < y \ y < u \ P)"
  by auto

lemma lin_dense_conj[no_atp]:
  "\\x l u. (\t. l < t \ t < u \ t \ U) \ l < x \ x < u \ P1 x
  \<longrightarrow> (\<forall>y. l < y \<and> y < u \<longrightarrow> P1 y) ;
  \<forall>x l u. (\<forall>t. l < t \<and> t < u \<longrightarrow> t \<notin> U) \<and> l < x \<and> x < u \<and> P2 x
  \<longrightarrow> (\<forall>y. l < y \<and> y < u \<longrightarrow> P2 y)\<rbrakk> \<Longrightarrow>
  \<forall>x l u. (\<forall>t. l < t \<and> t < u \<longrightarrow> t \<notin> U) \<and> l < x \<and> x < u \<and> (P1 x \<and> P2 x)
  \<longrightarrow> (\<forall>y. l < y \<and> y < u \<longrightarrow> (P1 y \<and> P2 y))"
  by blast

lemma lin_dense_disj[no_atp]:
  "\\x l u. (\t. l < t \ t < u \ t \ U) \ l < x \ x < u \ P1 x
  \<longrightarrow> (\<forall>y. l < y \<and> y < u \<longrightarrow> P1 y) ;
  \<forall>x l u. (\<forall>t. l < t \<and> t < u \<longrightarrow> t \<notin> U) \<and> l < x \<and> x < u \<and> P2 x
  \<longrightarrow> (\<forall>y. l < y \<and> y < u \<longrightarrow> P2 y)\<rbrakk> \<Longrightarrow>
  \<forall>x l u. (\<forall>t. l < t \<and> t < u \<longrightarrow> t \<notin> U) \<and> l < x \<and> x < u \<and> (P1 x \<or> P2 x)
  \<longrightarrow> (\<forall>y. l < y \<and> y < u \<longrightarrow> (P1 y \<or> P2 y))"
  by blast

lemma npmibnd[no_atp]: "\\x. \ MP \ P x \ (\u\ U. u \ x); \x. \PP \ P x \ (\u\ U. x \ u)\
  \<Longrightarrow> \<forall>x. \<not> MP \<and> \<not>PP \<and> P x \<longrightarrow> (\<exists>u\<in> U. \<exists>u' \ U. u \ x \ x \ u')"
  by auto

lemma finite_set_intervals[no_atp]:
  assumes px: "P x"
    and lx: "l \ x"
    and xu: "x \ u"
    and linS: "l\ S"
    and uinS: "u \ S"
    and fS:"finite S"
    and lS: "\x\ S. l \ x"
    and Su: "\x\ S. x \ u"
  shows "\a \ S. \b \ S. (\y. a < y \ y < b \ y \ S) \ a \ x \ x \ b \ P x"
proof -
  let ?Mx = "{y. y\ S \ y \ x}"
  let ?xM = "{y. y\ S \ x \ y}"
  let ?a = "Max ?Mx"
  let ?b = "Min ?xM"
  have MxS: "?Mx \ S"
    by blast
  then have fMx: "finite ?Mx"
    using fS finite_subset by auto
  from lx linS have linMx: "l \ ?Mx"
    by blast
  then have Mxne: "?Mx \ {}"
    by blast
  have xMS: "?xM \ S"
    by blast
  then have fxM: "finite ?xM"
    using fS finite_subset by auto
  from xu uinS have linxM: "u \ ?xM"
    by blast
  then have xMne: "?xM \ {}"
    by blast
  have ax: "?a \ x"
    using Mxne fMx by auto
  have xb: "x \ ?b"
    using xMne fxM by auto
  have "?a \ ?Mx"
    using Max_in[OF fMx Mxne] by simp
  then have ainS: "?a \ S"
    using MxS by blast
  have "?b \ ?xM"
    using Min_in[OF fxM xMne] by simp
  then have binS: "?b \ S"
    using xMS by blast
  have noy: "\y. ?a < y \ y < ?b \ y \ S"
    using Mxne fMx fxM local.linear xMne by auto
  from ainS binS noy ax xb px show ?thesis
    by blast
qed

lemma finite_set_intervals2[no_atp]:
  assumes px: "P x"
    and lx: "l \ x"
    and xu: "x \ u"
    and linS: "l\ S"
    and uinS: "u \ S"
    and fS: "finite S"
    and lS: "\x\ S. l \ x"
    and Su: "\x\ S. x \ u"
  shows "(\s\ S. P s) \ (\a \ S. \b \ S. (\y. a < y \ y < b \ y \ S) \ a < x \ x < b \ P x)"
  using finite_set_intervals[where P="P", OF px lx xu linS uinS fS lS Su]
  by (metis local.neq_le_trans)

end


section \<open>The classical QE after Langford for dense linear orders\<close>

context unbounded_dense_linorder
begin

lemma interval_empty_iff: "{y. x < y \ y < z} = {} \ \ x < z"
  by (auto dest: dense)

lemma dlo_qe_bnds[no_atp]:
  assumes ne: "L \ {}"
    and neU: "U \ {}"
    and fL: "finite L"
    and fU: "finite U"
  shows "(\x. (\y \ L. y < x) \ (\y \ U. x < y)) = (\l \ L. \u \ U. l < u)"
proof 
  assume H: "\x. (\y\L. y < x) \ (\y\U. x < y)"
  then obtain x where xL: "\y\L. y < x" and xU: "\y\U. x < y"
    by blast
  have "l < u" if l: "l \ L" and u: "u \ U" for l u
    using local.dual_order.strict_trans that(1) u xL xU by blast
  then show "\l\L. \u\U. l < u" by blast
next
  assume H: "\l\L. \u\U. l < u"
  let ?ML = "Max L"
  let ?MU = "Min U"
  from fL ne have th1: "?ML \ L" and th1': "\l\L. l \ ?ML"
    by auto
  from fU neU have th2: "?MU \ U" and th2': "\u\U. ?MU \ u"
    by auto
  from th1 th2 H have "?ML < ?MU"
    by auto
  with dense obtain w where th3: "?ML < w" and th4: "w < ?MU"
    by blast
  from th3 th1' have "\l \ L. l < w"
    by auto
  moreover from th4 th2' have "\u \ U. w < u"
    by auto
  ultimately show "\x. (\y\L. y < x) \ (\y\U. x < y)"
    by auto
qed

lemma dlo_qe_noub[no_atp]:
  assumes ne: "L \ {}"
    and fL: "finite L"
  shows "(\x. (\y \ L. y < x) \ (\y \ {}. x < y)) = True"
  using fL local.Max_less_iff local.gt_ex by fastforce

lemma dlo_qe_nolb[no_atp]:
  assumes ne: "U \ {}"
    and fU: "finite U"
  shows "(\x. (\y \ {}. y < x) \ (\y \ U. x < y)) = True"
proof -
  from lt_ex[of "Min U"] obtain M where M: "M < Min U"
    by blast
  from ne fU have "\x \ U. Min U \ x"
    by simp
  with M have "\x\U. M < x"
    by (auto intro: less_le_trans)
  then show ?thesis
    by blast
qed

lemma exists_neq[no_atp]: "\(x::'a). x \ t" "\(x::'a). t \ x"
  using gt_ex[of t] by auto

lemmas dlo_simps[no_atp] = order_refl less_irrefl not_less not_le exists_neq
  le_less neq_iff linear less_not_permute

lemma axiom[no_atp]: "class.unbounded_dense_linorder (\) (<)"
  by (rule unbounded_dense_linorder_axioms)

lemma atoms[no_atp]:
  shows "TERM (less :: 'a \ _)"
    and "TERM (less_eq :: 'a \ _)"
    and "TERM ((=) :: 'a \ _)" .

declare axiom[langford qe: dlo_qe_bnds dlo_qe_nolb dlo_qe_noub gather: gather_start gather_simps atoms: atoms]
declare dlo_simps[langfordsimp]

end

(* FIXME: Move to HOL -- together with the conj_aci_rule in langford.ML *)
lemmas dnf[no_atp] = conj_disj_distribL conj_disj_distribR

lemmas weak_dnf_simps[no_atp] = simp_thms dnf

lemma nnf_simps[no_atp]:
  "(\ (P \ Q)) \ (\ P \ \ Q)"
  "(\ (P \ Q)) \ (\ P \ \ Q)"
  "(P \ Q) \ (\ P \ Q)"
  "(P \ Q) \ ((P \ Q) \ (\ P \ \ Q))"
  "(\ \ P) \ P"
  by blast+

lemma ex_distrib[no_atp]: "(\x. P x \ Q x) \ ((\x. P x) \ (\x. Q x))"
  by blast

lemmas dnf_simps[no_atp] = weak_dnf_simps nnf_simps ex_distrib

ML_file \<open>langford.ML\<close>
method_setup dlo = \<open>
  Scan.succeed (SIMPLE_METHOD' o Langford.dlo_tac)
\<close> "Langford's algorithm for quantifier elimination in dense linear orders"


section \<open>Contructive dense linear orders yield QE for linear arithmetic over ordered Fields\<close>

text \<open>Linear order without upper bounds\<close>

locale linorder_stupid_syntax = linorder
begin

notation
  less_eq  (\<open>'(\')\<close>) and
  less_eq  (\<open>(_/ \<sqsubseteq> _)\<close> [51, 51] 50) and
  less  (\<open>'(\')\<close>) and
  less  (\<open>(_/ \<sqsubset> _)\<close>  [51, 51] 50)

end

locale linorder_no_ub = linorder_stupid_syntax +
  assumes gt_ex: "\y. less x y"
begin

lemma ge_ex[no_atp]: "\y. x \ y"
  using gt_ex by auto

text \<open>Theorems for \<open>\<exists>z. \<forall>x. z \<sqsubset> x \<longrightarrow> (P x \<longleftrightarrow> P\<^sub>+\<^sub>\<infinity>)\<close>\<close>
lemma pinf_conj[no_atp]:
  assumes ex1: "\z1. \x. z1 \ x \ (P1 x \ P1')"
    and ex2: "\z2. \x. z2 \ x \ (P2 x \ P2')"
  shows "\z. \x. z \ x \ ((P1 x \ P2 x) \ (P1' \ P2'))"
  by (metis ex1 ex2 local.max_less_iff_conj)

lemma pinf_disj[no_atp]:
  assumes ex1: "\z1. \x. z1 \ x \ (P1 x \ P1')"
    and ex2: "\z2. \x. z2 \ x \ (P2 x \ P2')"
  shows "\z. \x. z \ x \ ((P1 x \ P2 x) \ (P1' \ P2'))"
  by (metis ex1 ex2 local.max.strict_boundedE)

lemma pinf_ex[no_atp]:
  assumes ex: "\z. \x. z \ x \ (P x \ P1)"
    and p1: P1
  shows "\x. P x"
  using ex local.gt_ex p1 by auto

end

text \<open>Linear order without upper bounds\<close>

locale linorder_no_lb = linorder_stupid_syntax +
  assumes lt_ex: "\y. less y x"
begin

lemma le_ex[no_atp]: "\y. y \ x"
  using lt_ex by auto


text \<open>Theorems for \<open>\<exists>z. \<forall>x. x \<sqsubset> z \<longrightarrow> (P x \<longleftrightarrow> P\<^sub>-\<^sub>\<infinity>)\<close>\<close>
lemma minf_conj[no_atp]:
  assumes ex1: "\z1. \x. x \ z1 \ (P1 x \ P1')"
    and ex2: "\z2. \x. x \ z2 \ (P2 x \ P2')"
  shows "\z. \x. x \ z \ ((P1 x \ P2 x) \ (P1' \ P2'))"
  by (metis ex1 ex2 local.min_less_iff_conj)

lemma minf_disj[no_atp]:
  assumes ex1: "\z1. \x. x \ z1 \ (P1 x \ P1')"
    and ex2: "\z2. \x. x \ z2 \ (P2 x \ P2')"
  shows "\z. \x. x \ z \ ((P1 x \ P2 x) \ (P1' \ P2'))"
  by (metis ex1 ex2 local.min_less_iff_conj)

lemma minf_ex[no_atp]:
  assumes ex: "\z. \x. x \ z \ (P x \ P1)"
    and p1: P1
  shows "\x. P x"
  using ex local.lt_ex p1 by auto

end


locale constr_dense_linorder = linorder_no_lb + linorder_no_ub +
  fixes between
  assumes between_less: "less x y \ less x (between x y) \ less (between x y) y"
    and between_same: "between x x = x"
begin

sublocale dlo: unbounded_dense_linorder
proof (unfold_locales, goal_cases)
  case (1 x y)
  then show ?case
    using between_less [of x y] by auto
next
  case 2
  then show ?case by (rule lt_ex)
next
  case 3
  then show ?case by (rule gt_ex)
qed

lemma rinf_U[no_atp]:
  assumes fU: "finite U"
    and lin_dense: "\x l u. (\t. l \ t \ t\ u \ t \ U) \ l\ x \ x \ u \ P x
      \<longrightarrow> (\<forall>y. l \<sqsubset> y \<and> y \<sqsubset> u \<longrightarrow> P y )"
    and nmpiU: "\x. \ MP \ \PP \ P x \ (\u\ U. \u' \ U. u \ x \ x \ u')"
    and nmi: "\ MP"  and npi: "\ PP"  and ex: "\x. P x"
  shows "\u\ U. \u' \ U. P (between u u')"
proof -
  from ex obtain x where px: "P x"
    by blast
  from px nmi npi nmpiU 
  obtain u u' where uU: "u\ U" and uU': "u' \ U" and ux: "u \ x" and xu': "x \ u'"
    by auto
  from uU have Une: "U \ {}"
    by auto
  let ?l = "linorder.Min less_eq U"
  let ?u = "linorder.Max less_eq U"
  have linM: "?l \ U"
    using fU Une by simp
  have uinM: "?u \ U"
    using fU Une by simp
  have lM: "\t\ U. ?l \ t"
    using Une fU by auto
  have Mu: "\t\ U. t \ ?u"
    using Une fU by auto
  have th: "?l \ u"
    using uU Une lM by auto
  from order_trans[OF th ux] have lx: "?l \ x" .
  have th: "u' \ ?u"
    using uU' Une Mu by simp
  from order_trans[OF xu' th] have xu: "x \ ?u" .
  from finite_set_intervals2[where P="P",OF px lx xu linM uinM fU lM Mu]
  consider u where "u \ U" "P u" |
    t1 t2 where "t1 \ U" "t2 \ U" "\y. t1 \ y \ y \ t2 \ y \ U" "t1 \ x" "x \ t2" "P x"
    by blast
  then show ?thesis
  proof cases
    case 1 then show ?thesis
      by (metis between_same)
  next
    case 2
    then have t1t2: "t1 \ t2"
      by order 
    let ?u = "between t1 t2"
    from between_less t1t2 have t1lu: "t1 \ ?u" and ut2: "?u \ t2" by auto
    then show ?thesis
      using "2" lin_dense px by blast
  qed
qed

theorem fr_eq[no_atp]:
  assumes fU: "finite U"
    and lin_dense: "\x l u. (\t. l \ t \ t\ u \ t \ U) \ l\ x \ x \ u \ P x
     \<longrightarrow> (\<forall>y. l \<sqsubset> y \<and> y \<sqsubset> u \<longrightarrow> P y )"
    and nmibnd: "\x. \ MP \ P x \ (\u\ U. u \ x)"
    and npibnd: "\x. \PP \ P x \ (\u\ U. x \ u)"
    and mi: "\z. \x. x \ z \ (P x = MP)"  and pi: "\z. \x. z \ x \ (P x = PP)"
  shows "(\x. P x) = (MP \ PP \ (\u \ U. \u'\ U. P (between u u')))"
         (is"?E = ?D")
proof 
  show ?D if px: ?E
  proof -
    consider "MP \ PP" | "\ MP" "\ PP" by blast
    then show ?thesis
    proof cases
      case 1
      then show ?thesis by blast
    next
      case 2
      from npmibnd[OF nmibnd npibnd]
      have nmpiU: "\x. \ MP \ \PP \ P x \ (\u\ U. \u' \ U. u \ x \ x \ u')" .
      from rinf_U[OF fU lin_dense nmpiU \<open>\<not> MP\<close> \<open>\<not> PP\<close> px] show ?thesis
        by blast
    qed
  qed
  show ?E if ?D
    using local.gt_ex local.lt_ex mi pi that by blast
qed

lemmas minf_thms[no_atp] = minf_conj minf_disj minf_eq minf_neq minf_lt minf_le minf_gt minf_ge minf_P
lemmas pinf_thms[no_atp] = pinf_conj pinf_disj pinf_eq pinf_neq pinf_lt pinf_le pinf_gt pinf_ge pinf_P

lemmas nmi_thms[no_atp] = nmi_conj nmi_disj nmi_eq nmi_neq nmi_lt nmi_le nmi_gt nmi_ge nmi_P
lemmas npi_thms[no_atp] = npi_conj npi_disj npi_eq npi_neq npi_lt npi_le npi_gt npi_ge npi_P
lemmas lin_dense_thms[no_atp] = lin_dense_conj lin_dense_disj lin_dense_eq lin_dense_neq lin_dense_lt lin_dense_le lin_dense_gt lin_dense_ge lin_dense_P

lemma ferrack_axiom[no_atp]: "constr_dense_linorder less_eq less between"
  by (rule constr_dense_linorder_axioms)

lemma atoms[no_atp]:
  shows "TERM (less :: 'a \ _)"
    and "TERM (less_eq :: 'a \ _)"
    and "TERM ((=) :: 'a \ _)" .

declare ferrack_axiom [ferrack minf: minf_thms pinf: pinf_thms
    nmi: nmi_thms npi: npi_thms lindense:
    lin_dense_thms qe: fr_eq atoms: atoms]

declaration \<open>
let
  fun simps phi = map (Morphism.thm phi) [@{thm "not_less"}, @{thm "not_le"}]
  fun generic_whatis phi =
    let
      val [lt, le] = map (Morphism.term phi) [\<^term>\<open>(\<sqsubset>)\<close>, \<^term>\<open>(\<sqsubseteq>)\<close>]
      fun h x t =
        case Thm.term_of t of
          \<^Const_>\<open>HOL.eq _ for y z\<close> =>
            if Thm.term_of x aconv y then Ferrante_Rackoff_Data.Eq
            else Ferrante_Rackoff_Data.Nox
       | \<^Const_>\<open>Not for \<^Const>\<open>HOL.eq _ for y z\<close>\<close> =>
            if Thm.term_of x aconv y then Ferrante_Rackoff_Data.NEq
            else Ferrante_Rackoff_Data.Nox
       | b$y$z => if Term.could_unify (b, lt) then
                     if Thm.term_of x aconv y then Ferrante_Rackoff_Data.Lt
                     else if Thm.term_of x aconv z then Ferrante_Rackoff_Data.Gt
                     else Ferrante_Rackoff_Data.Nox
                 else if Term.could_unify (b, le) then
                     if Thm.term_of x aconv y then Ferrante_Rackoff_Data.Le
                     else if Thm.term_of x aconv z then Ferrante_Rackoff_Data.Ge
                     else Ferrante_Rackoff_Data.Nox
                 else Ferrante_Rackoff_Data.Nox
       | _ => Ferrante_Rackoff_Data.Nox
  in h end
  fun ss phi ctxt =
    simpset_of (put_simpset HOL_ss ctxt |> Simplifier.add_simps (simps phi))
in
  Ferrante_Rackoff_Data.funs  @{thm "ferrack_axiom"}
    {isolate_conv = K (K (K Thm.reflexive)), whatis = generic_whatis, simpset = ss}
end
\<close>

end

ML_file \<open>ferrante_rackoff.ML\<close>

method_setup ferrack = \<open>
  Scan.succeed (SIMPLE_METHOD' o FerranteRackoff.dlo_tac)
\<close> "Ferrante and Rackoff's algorithm for quantifier elimination in dense linear orders"


subsection \<open>Ferrante and Rackoff algorithm over ordered fields\<close>

lemma neg_prod_lt:
  fixes c :: "'a::linordered_field"
  assumes "c < 0"
  shows "c * x < 0 \ x > 0"
  by (metis assms mult_less_0_iff mult_neg_neg zero_less_mult_pos)

lemma pos_prod_lt:
  fixes c :: "'a::linordered_field"
  assumes "c > 0"
  shows "c * x < 0 \ x < 0"
  by (meson assms mult_less_0_iff order_less_imp_not_less)

lemma neg_prod_sum_lt:
  fixes c :: "'a::linordered_field"
  assumes "c < 0"
  shows "c * x + t < 0 \ x > (- 1 / c) * t"
  using assms by (auto simp add: mult.commute divide_simps)

lemma pos_prod_sum_lt:
  fixes c :: "'a::linordered_field"
  assumes "c > 0"
  shows "c * x + t < 0 \ x < (- 1 / c) * t"
  using assms by (auto simp add: mult.commute divide_simps)

lemma sum_lt:
  fixes x :: "'a::ordered_ab_group_add"
  shows "x + t < 0 \ x < - t"
  using less_diff_eq[where a= x and b=t and c=0] by simp

lemma neg_prod_le:
  fixes c :: "'a::linordered_field"
  assumes "c < 0"
  shows "c * x \ 0 \ x \ 0"
  using assms linorder_not_less mult_le_0_iff by auto

lemma pos_prod_le:
  fixes c :: "'a::linordered_field"
  assumes "c > 0"
  shows "c * x \ 0 \ x \ 0"
  using assms linorder_not_less mult_le_0_iff by auto

lemma neg_prod_sum_le:
  fixes c :: "'a::linordered_field"
  assumes "c < 0"
  shows "c * x + t \ 0 \ x \ (- 1 / c) * t"
  using assms by (auto simp add: mult.commute divide_simps)

lemma pos_prod_sum_le:
  fixes c :: "'a::linordered_field"
  assumes "c > 0"
  shows "c * x + t \ 0 \ x \ (- 1 / c) * t"
  using assms by (auto simp add: mult.commute divide_simps)

lemma sum_le:
  fixes x :: "'a::ordered_ab_group_add"
  shows "x + t \ 0 \ x \ - t"
  using le_diff_eq[where a= x and b=t and c=0] by simp

lemma nz_prod_eq:
  fixes c :: "'a::linordered_field"
  assumes "c \ 0"
  shows "c * x = 0 \ x = 0"
  using assms by simp

lemma nz_prod_sum_eq:
  fixes c :: "'a::linordered_field"
  assumes "c \ 0"
  shows "c * x + t = 0 \ x = (- 1/c) * t"
  using assms by (auto simp add: mult.commute divide_simps)

lemma sum_eq:
  fixes x :: "'a::ordered_ab_group_add"
  shows "x + t = 0 \ x = - t"
  using eq_diff_eq[where a= x and b=t and c=0] by simp

interpretation class_dense_linordered_field: constr_dense_linorder
  "(\)" "(<)" "\x y. 1/2 * ((x::'a::linordered_field) + y)"
  by unfold_locales (auto simp add: gt_ex lt_ex)

declaration \<open>
let
  fun earlier [] _ = false
    | earlier (h::t) (x, y) =
        if h aconvc y then false else if h aconvc x then true else earlier t (x, y);

  fun earlier_ord vs (x, y) =
    if x aconvc y then EQUAL
    else if earlier vs (x, y) then LESS
    else GREATER;

fun dest_frac ct =
  case Thm.term_of ct of
    \<^Const_>\<open>Rings.divide _ for a b\<close> =>
      Rat.make (snd (HOLogic.dest_number a), snd (HOLogic.dest_number b))
  | \<^Const_>\<open>inverse _ for a\<close> => Rat.make(1, HOLogic.dest_number a |> snd)
  | t => Rat.of_int (snd (HOLogic.dest_number t))

fun whatis x ct = case Thm.term_of ct of
  \<^Const_>\<open>plus _ for \<^Const_>\<open>times _ for _ y\<close> _\<close> =>
     if y aconv Thm.term_of x then ("c*x+t",[(funpow 2 Thm.dest_arg1) ct, Thm.dest_arg ct])
     else ("Nox",[])
| \<^Const_>\<open>plus _ for y _\<close> =>
     if y aconv Thm.term_of x then ("x+t",[Thm.dest_arg ct])
     else ("Nox",[])
| \<^Const_>\<open>times _ for _ y\<close> =>
     if y aconv Thm.term_of x then ("c*x",[Thm.dest_arg1 ct])
     else ("Nox",[])
| t => if t aconv Thm.term_of x then ("x",[]) else ("Nox",[]);

local
val sum_lt = mk_meta_eq @{thm sum_lt}
val sum_le = mk_meta_eq @{thm sum_le}
val sum_eq = mk_meta_eq @{thm sum_eq}
val neg_prod_sum_lt = mk_meta_eq @{thm neg_prod_sum_lt}
val pos_prod_sum_lt = mk_meta_eq @{thm pos_prod_sum_lt}
val neg_prod_sum_le = mk_meta_eq @{thm neg_prod_sum_le}
val pos_prod_sum_le = mk_meta_eq @{thm pos_prod_sum_le}
val neg_prod_lt = mk_meta_eq @{thm neg_prod_lt}
val pos_prod_lt = mk_meta_eq @{thm pos_prod_lt}
val neg_prod_le = mk_meta_eq @{thm neg_prod_le}
val pos_prod_le = mk_meta_eq @{thm pos_prod_le}
val nz_prod_sum_eq = mk_meta_eq @{thm nz_prod_sum_eq}
val nz_prod_eq = mk_meta_eq @{thm nz_prod_eq}
in
fun xnormalize_conv ctxt [] ct = Thm.reflexive ct
  | xnormalize_conv ctxt (vs as (x::_)) ct =
   case Thm.term_of ct of
   \<^Const_>\<open>less _ for _ \<^Const_>\<open>zero_class.zero _\<close>\<close> =>
    (case whatis x (Thm.dest_arg1 ct) of
    ("c*x+t",[c,t]) =>
       let
        val cr = dest_frac c
        val clt = Thm.dest_fun2 ct
        val cz = Thm.dest_arg ct
        val neg = cr < @0
        val cthp = Simplifier.rewrite ctxt
               (HOLogic.mk_judgment
                  (if neg then Thm.apply (Thm.apply clt c) cz
                    else Thm.apply (Thm.apply clt cz) c))
        val cth = Thm.equal_elim (Thm.symmetric cthp) TrueI
        val th = Thm.implies_elim (Thm.instantiate' [SOME (Thm.ctyp_of_cterm x)] (map SOME [c,x,t])
             (if neg then neg_prod_sum_lt else pos_prod_sum_lt)) cth
        val rth = Conv.fconv_rule (Conv.arg_conv (Conv.binop_conv
                   (Semiring_Normalizer.semiring_normalize_ord_conv ctxt (earlier_ord vs)))) th
      in rth end
    | ("x+t",[t]) =>
       let
        val T = Thm.ctyp_of_cterm x
        val th = Thm.instantiate' [SOME T] [SOME x, SOME t] sum_lt
        val rth = Conv.fconv_rule (Conv.arg_conv (Conv.binop_conv
              (Semiring_Normalizer.semiring_normalize_ord_conv ctxt (earlier_ord vs)))) th
       in  rth end
    | ("c*x",[c]) =>
       let
        val cr = dest_frac c
        val clt = Thm.dest_fun2 ct
        val cz = Thm.dest_arg ct
        val neg = cr < @0
        val cthp = Simplifier.rewrite ctxt
               (HOLogic.mk_judgment
                  (if neg then Thm.apply (Thm.apply clt c) cz
                    else Thm.apply (Thm.apply clt cz) c))
        val cth = Thm.equal_elim (Thm.symmetric cthp) TrueI
        val th = Thm.implies_elim (Thm.instantiate' [SOME (Thm.ctyp_of_cterm x)] (map SOME [c,x])
             (if neg then neg_prod_lt else pos_prod_lt)) cth
        val rth = th
      in rth end
    | _ => Thm.reflexive ct)


|  \<^Const_>\<open>less_eq _ for _ \<^Const_>\<open>zero_class.zero _\<close>\<close> =>
   (case whatis x (Thm.dest_arg1 ct) of
    ("c*x+t",[c,t]) =>
       let
        val T = Thm.typ_of_cterm x
        val cT = Thm.ctyp_of_cterm x
        val cr = dest_frac c
        val clt = Thm.cterm_of ctxt \<^Const>\<open>less T\<close>
        val cz = Thm.dest_arg ct
        val neg = cr < @0
        val cthp = Simplifier.rewrite ctxt
               (HOLogic.mk_judgment
                  (if neg then Thm.apply (Thm.apply clt c) cz
                    else Thm.apply (Thm.apply clt cz) c))
        val cth = Thm.equal_elim (Thm.symmetric cthp) TrueI
        val th = Thm.implies_elim (Thm.instantiate' [SOME cT] (map SOME [c,x,t])
                 (if neg then neg_prod_sum_le else pos_prod_sum_le)) cth
        val rth = Conv.fconv_rule (Conv.arg_conv (Conv.binop_conv
                   (Semiring_Normalizer.semiring_normalize_ord_conv ctxt (earlier_ord vs)))) th
      in rth end
    | ("x+t",[t]) =>
       let
        val T = Thm.ctyp_of_cterm x
        val th = Thm.instantiate' [SOME T] [SOME x, SOME t] sum_le
        val rth = Conv.fconv_rule (Conv.arg_conv (Conv.binop_conv
              (Semiring_Normalizer.semiring_normalize_ord_conv ctxt (earlier_ord vs)))) th
       in  rth end
    | ("c*x",[c]) =>
       let
        val T = Thm.typ_of_cterm x
        val cT = Thm.ctyp_of_cterm x
        val cr = dest_frac c
        val clt = Thm.cterm_of ctxt \<^Const>\<open>less T\<close>
        val cz = Thm.dest_arg ct
        val neg = cr < @0
        val cthp = Simplifier.rewrite ctxt
               (HOLogic.mk_judgment
                  (if neg then Thm.apply (Thm.apply clt c) cz
                    else Thm.apply (Thm.apply clt cz) c))
        val cth = Thm.equal_elim (Thm.symmetric cthp) TrueI
        val th = Thm.implies_elim (Thm.instantiate' [SOME (Thm.ctyp_of_cterm x)] (map SOME [c,x])
                  (if neg then neg_prod_le else pos_prod_le)) cth
        val rth = th
      in rth end
    | _ => Thm.reflexive ct)

|  \<^Const_>\<open>HOL.eq _ for _ \<^Const_>\<open>zero_class.zero _\<close>\<close> =>
   (case whatis x (Thm.dest_arg1 ct) of
    ("c*x+t",[c,t]) =>
       let
        val T = Thm.ctyp_of_cterm x
        val cr = dest_frac c
        val ceq = Thm.dest_fun2 ct
        val cz = Thm.dest_arg ct
        val cthp = Simplifier.rewrite ctxt
            (HOLogic.mk_judgment
             (Thm.apply \<^cterm>\<open>Not\<close> (Thm.apply (Thm.apply ceq c) cz)))
        val cth = Thm.equal_elim (Thm.symmetric cthp) TrueI
        val th = Thm.implies_elim
                 (Thm.instantiate' [SOME T] (map SOME [c,x,t]) nz_prod_sum_eq) cth
        val rth = Conv.fconv_rule (Conv.arg_conv (Conv.binop_conv
                   (Semiring_Normalizer.semiring_normalize_ord_conv ctxt (earlier_ord vs)))) th
      in rth end
    | ("x+t",[t]) =>
       let
        val T = Thm.ctyp_of_cterm x
        val th = Thm.instantiate' [SOME T] [SOME x, SOME t] sum_eq
        val rth = Conv.fconv_rule (Conv.arg_conv (Conv.binop_conv
              (Semiring_Normalizer.semiring_normalize_ord_conv ctxt (earlier_ord vs)))) th
       in  rth end
    | ("c*x",[c]) =>
       let
        val T = Thm.ctyp_of_cterm x
        val cr = dest_frac c
        val ceq = Thm.dest_fun2 ct
        val cz = Thm.dest_arg ct
        val cthp = Simplifier.rewrite ctxt
            (HOLogic.mk_judgment
             (Thm.apply \<^cterm>\<open>Not\<close> (Thm.apply (Thm.apply ceq c) cz)))
        val cth = Thm.equal_elim (Thm.symmetric cthp) TrueI
        val rth = Thm.implies_elim
                 (Thm.instantiate' [SOME T] (map SOME [c,x]) nz_prod_eq) cth
      in rth end
    | _ => Thm.reflexive ct);
end

local
  val less_iff_diff_less_0 = mk_meta_eq @{thm "less_iff_diff_less_0"}
  val le_iff_diff_le_0 = mk_meta_eq @{thm "le_iff_diff_le_0"}
  val eq_iff_diff_eq_0 = mk_meta_eq @{thm "eq_iff_diff_eq_0"}
  val ss = simpset_of \<^context>
in
fun field_isolate_conv phi ctxt vs ct = case Thm.term_of ct of
  \<^Const_>\<open>less _ for a b\<close> =>
   let val (ca,cb) = Thm.dest_binop ct
       val T = Thm.ctyp_of_cterm ca
       val th = Thm.instantiate' [SOME T] [SOME ca, SOME cb] less_iff_diff_less_0
       val nth = Conv.fconv_rule
         (Conv.arg_conv (Conv.arg1_conv
              (Semiring_Normalizer.semiring_normalize_ord_conv (put_simpset ss ctxt) (earlier_ord vs)))) th
       val rth = Thm.transitive nth (xnormalize_conv ctxt vs (Thm.rhs_of nth))
   in rth end
| \<^Const_>\<open>less_eq _ for a b\<close> =>
   let val (ca,cb) = Thm.dest_binop ct
       val T = Thm.ctyp_of_cterm ca
       val th = Thm.instantiate' [SOME T] [SOME ca, SOME cb] le_iff_diff_le_0
       val nth = Conv.fconv_rule
         (Conv.arg_conv (Conv.arg1_conv
              (Semiring_Normalizer.semiring_normalize_ord_conv (put_simpset ss ctxt) (earlier_ord vs)))) th
       val rth = Thm.transitive nth (xnormalize_conv ctxt vs (Thm.rhs_of nth))
   in rth end

| \<^Const_>\<open>HOL.eq _ for a b\<close> =>
   let val (ca,cb) = Thm.dest_binop ct
       val T = Thm.ctyp_of_cterm ca
       val th = Thm.instantiate' [SOME T] [SOME ca, SOME cb] eq_iff_diff_eq_0
       val nth = Conv.fconv_rule
         (Conv.arg_conv (Conv.arg1_conv
              (Semiring_Normalizer.semiring_normalize_ord_conv (put_simpset ss ctxt) (earlier_ord vs)))) th
       val rth = Thm.transitive nth (xnormalize_conv ctxt vs (Thm.rhs_of nth))
   in rth end
| \<^Const_>\<open>Not for \<^Const_>\<open>HOL.eq _ for a b\<close>\<close> => Conv.arg_conv (field_isolate_conv phi ctxt vs) ct
| _ => Thm.reflexive ct
end;

fun classfield_whatis phi =
 let
  fun h x t =
   case Thm.term_of t of
     \<^Const_>\<open>HOL.eq _ for y z\<close> =>
      if Thm.term_of x aconv y then Ferrante_Rackoff_Data.Eq
      else Ferrante_Rackoff_Data.Nox
   | \<^Const_>\<open>Not for \<^Const_>\<open>HOL.eq _ for y z\<close>\<close> =>
      if Thm.term_of x aconv y then Ferrante_Rackoff_Data.NEq
      else Ferrante_Rackoff_Data.Nox
   | \<^Const_>\<open>less _ for y z\<close> =>
       if Thm.term_of x aconv y then Ferrante_Rackoff_Data.Lt
       else if Thm.term_of x aconv z then Ferrante_Rackoff_Data.Gt
       else Ferrante_Rackoff_Data.Nox
   | \<^Const_>\<open>less_eq _ for y z\<close> =>
       if Thm.term_of x aconv y then Ferrante_Rackoff_Data.Le
       else if Thm.term_of x aconv z then Ferrante_Rackoff_Data.Ge
       else Ferrante_Rackoff_Data.Nox
   | _ => Ferrante_Rackoff_Data.Nox
 in h end;
fun class_field_ss phi ctxt =
  simpset_of (put_simpset HOL_basic_ss ctxt
    |> Simplifier.add_simps ([@{thm "linorder_not_less"}, @{thm "linorder_not_le"}])
    |> fold Splitter.add_split [@{thm "abs_split"}, @{thm "split_max"}, @{thm "split_min"}])

in
Ferrante_Rackoff_Data.funs @{thm "class_dense_linordered_field.ferrack_axiom"}
  {isolate_conv = field_isolate_conv, whatis = classfield_whatis, simpset = class_field_ss}
end
\<close>

end