Gedichte Musik Bilder Quellcodebibliothek Diashow Normaldarstellung
products/sources/formale sprachen/Coq/theories/Numbers/Cyclic/ZModulo/  image not shown  

Quellcode-Bibliothek

© Kompilation durch diese Firma

[Weder Korrektheit noch Funktionsfähigkeit der Software werden zugesichert.]

Datei: ZModulo.v   Sprache: Coq

Original von: Coq©
(************************************************************************)
(*         *   The Coq Proof Assistant / The Coq Development Team       *)
(*  v      *   INRIA, CNRS and contributors - Copyright 1999-2018       *)
(* <O___,, *       (see CREDITS file for the list of authors)           *)
(*   \VV/  **************************************************************)
(*    //   *    This file is distributed under the terms of the         *)
(*         *     GNU Lesser General Public License Version 2.1          *)
(*         *     (see LICENSE file for the text of the license)         *)
(************************************************************************)

(** * Type [Z] viewed modulo a particular constant corresponds to [Z/nZ]
      as defined abstractly in CyclicAxioms. *)

(** Even if the construction provided here is not reused for building
  the efficient arbitrary precision numbers, it provides a simple
  implementation of CyclicAxioms, hence ensuring its coherence. *)

Set Implicit Arguments.

Require Import Bool.
Require Import ZArith.
Require Import Znumtheory.
Require Import Zpow_facts.
Require Import DoubleType.
Require Import CyclicAxioms.

Local Open Scope Z_scope.

Section ZModulo.

 Variable digits : positive.
 Hypothesis digits_ne_1 : digits <> 1%positive.

 Definition wB := base digits.

 Definition t := Z.
 Definition zdigits := Zpos digits.
 Definition to_Z x := x mod wB.

 Notation "[| x |]" := (to_Z x)  (at level 0, x at level 99).

 Notation "[+| c |]" :=
   (interp_carry 1 wB to_Z c)  (at level 0, c at level 99).

 Notation "[-| c |]" :=
   (interp_carry (-1) wB to_Z c)  (at level 0, c at level 99).

 Notation "[|| x ||]" :=
   (zn2z_to_Z wB to_Z x)  (at level 0, x at level 99).

 Lemma spec_more_than_1_digit: 1 < Zpos digits.
 Proof.
  generalize digits_ne_1; destruct digits; red; auto.
  destruct 1; auto.
 Qed.
 Let digits_gt_1 := spec_more_than_1_digit.

 Lemma wB_pos : wB > 0.
 Proof.
  apply Z.lt_gt.
  unfold wB, base; auto with zarith.
 Qed.
 Hint Resolve wB_pos : core.

 Lemma spec_to_Z_1 : forall x, 0 <= [|x|].
 Proof.
  unfold to_Z; intros; destruct (Z_mod_lt x wB wB_pos); auto.
 Qed.

 Lemma spec_to_Z_2 : forall x, [|x|] < wB.
 Proof.
  unfold to_Z; intros; destruct (Z_mod_lt x wB wB_pos); auto.
 Qed.
 Hint Resolve spec_to_Z_1 spec_to_Z_2 : core.

 Lemma spec_to_Z : forall x, 0 <= [|x|] < wB.
 Proof.
  auto.
 Qed.

 Definition of_pos x :=
   let (q,r) := Z.pos_div_eucl x wB in (N_of_Z q, r).

 Lemma spec_of_pos : forall p,
   Zpos p = (Z.of_N (fst (of_pos p)))*wB + [|(snd (of_pos p))|].
 Proof.
  intros; unfold of_pos; simpl.
  generalize (Z_div_mod_POS wB wB_pos p).
  destruct (Z.pos_div_eucl p wB); simpl; destruct 1.
  unfold to_Z; rewrite Zmod_small; auto.
  assert (0 <= z).
   replace z with (Zpos p / wB) by
    (symmetry; apply Zdiv_unique with z0; auto).
   apply Z_div_pos; auto with zarith.
  replace (Z.of_N (N_of_Z z)) with z by
    (destruct z; simpl; auto; elim H1; auto).
  rewrite Z.mul_comm; auto.
 Qed.

 Lemma spec_zdigits : [|zdigits|] = Zpos digits.
 Proof.
  unfold to_Z, zdigits.
  apply Zmod_small.
  unfold wB, base.
  split; auto with zarith.
  apply Zpower2_lt_lin; auto with zarith.
 Qed.

 Definition zero := 0.
 Definition one := 1.
 Definition minus_one := wB - 1.

 Lemma spec_0 : [|zero|] = 0.
 Proof.
  unfold to_Z, zero.
  apply Zmod_small; generalize wB_pos; auto with zarith.
 Qed.

 Lemma spec_1 : [|one|] = 1.
 Proof.
  unfold to_Z, one.
  apply Zmod_small; split; auto with zarith.
  unfold wB, base.
  apply Z.lt_trans with (Zpos digits); auto.
  apply Zpower2_lt_lin; auto with zarith.
 Qed.

 Lemma spec_Bm1 : [|minus_one|] = wB - 1.
 Proof.
  unfold to_Z, minus_one.
  apply Zmod_small; split; auto with zarith.
  unfold wB, base.
  cut (1 <= 2 ^ Zpos digits); auto with zarith.
  apply Z.le_trans with (Zpos digits); auto with zarith.
  apply Zpower2_le_lin; auto with zarith.
 Qed.

 Definition compare x y := Z.compare [|x|] [|y|].

 Lemma spec_compare : forall x y,
   compare x y = Z.compare [|x|] [|y|].
 Proof. reflexivity. Qed.

 Definition eq0 x :=
   match [|x|] with Z0 => true | _ => false end.

 Lemma spec_eq0 : forall x, eq0 x = true -> [|x|] = 0.
 Proof.
  unfold eq0; intros; now destruct [|x|].
 Qed.

 Definition opp_c x :=
   if eq0 x then C0 0 else C1 (- x).
 Definition opp x := - x.
 Definition opp_carry x := - x - 1.

 Lemma spec_opp_c : forall x, [-|opp_c x|] = -[|x|].
 Proof.
 intros; unfold opp_c, to_Z; auto.
 case_eq (eq0 x); intros; unfold interp_carry.
 fold [|x|]; rewrite (spec_eq0 x H); auto.
 assert (x mod wB <> 0).
  unfold eq0, to_Z in H.
  intro H0; rewrite H0 in H; discriminate.
 rewrite Z_mod_nz_opp_full; auto with zarith.
 Qed.

 Lemma spec_opp : forall x, [|opp x|] = (-[|x|]) mod wB.
 Proof.
 intros; unfold opp, to_Z; auto.
 change ((- x) mod wB = (0 - (x mod wB)) mod wB).
 rewrite Zminus_mod_idemp_r; simpl; auto.
 Qed.

 Lemma spec_opp_carry : forall x, [|opp_carry x|] = wB - [|x|] - 1.
 Proof.
 intros; unfold opp_carry, to_Z; auto.
 replace (- x - 1) with (- 1 - x) by omega.
 rewrite <- Zminus_mod_idemp_r.
 replace ( -1 - x mod wB) with (0 + ( -1 - x mod wB)) by omega.
 rewrite <- (Z_mod_same_full wB).
 rewrite Zplus_mod_idemp_l.
 replace (wB + (-1 - x mod wB)) with (wB - x mod wB -1) by omega.
 apply Zmod_small.
 generalize (Z_mod_lt x wB wB_pos); omega.
 Qed.

 Definition succ_c x :=
  let y := Z.succ x in
  if eq0 y then C1 0 else C0 y.

 Definition add_c x y :=
  let z := [|x|] + [|y|] in
  if Z_lt_le_dec z wB then C0 z else C1 (z-wB).

 Definition add_carry_c x y :=
  let z := [|x|]+[|y|]+1 in
  if Z_lt_le_dec z wB then C0 z else C1 (z-wB).

 Definition succ := Z.succ.
 Definition add := Z.add.
 Definition add_carry x y := x + y + 1.

 Lemma Zmod_equal :
  forall x y z, z>0 -> (x-y) mod z = 0 -> x mod z = y mod z.
 Proof.
 intros.
 generalize (Z_div_mod_eq (x-y) z H); rewrite H0, Z.add_0_r.
 remember ((x-y)/z) as k.
 rewrite Z.sub_move_r, Z.add_comm, Z.mul_comm. intros ->.
 now apply Z_mod_plus.
 Qed.

 Lemma spec_succ_c : forall x, [+|succ_c x|] = [|x|] + 1.
 Proof.
 intros; unfold succ_c, to_Z, Z.succ.
 case_eq (eq0 (x+1)); intros; unfold interp_carry.

 rewrite Z.mul_1_l.
 replace (wB + 0 mod wB) with wB by auto with zarith.
 symmetry. rewrite Z.add_move_r.
 assert ((x+1) mod wB = 0) by (apply spec_eq0; auto).
 replace (wB-1) with ((wB-1) mod wB) by
  (apply Zmod_small; generalize wB_pos; omega).
 rewrite <- Zminus_mod_idemp_l; rewrite Z_mod_same; simpl; auto.
 apply Zmod_equal; auto.

 assert ((x+1) mod wB <> 0).
  unfold eq0, to_Z in *; now destruct ((x+1) mod wB).
 assert (x mod wB + 1 <> wB).
  contradict H0.
  rewrite Z.add_move_r in H0; simpl in H0.
  rewrite <- Zplus_mod_idemp_l; rewrite H0.
  replace (wB-1+1) with wB; auto with zarith; apply Z_mod_same; auto.
 rewrite <- Zplus_mod_idemp_l.
 apply Zmod_small.
 generalize (Z_mod_lt x wB wB_pos); omega.
 Qed.

 Lemma spec_add_c : forall x y, [+|add_c x y|] = [|x|] + [|y|].
 Proof.
 intros; unfold add_c, to_Z, interp_carry.
 destruct Z_lt_le_dec.
 apply Zmod_small;
  generalize (Z_mod_lt x wB wB_pos) (Z_mod_lt y wB wB_pos); omega.
 rewrite Z.mul_1_l, Z.add_comm, Z.add_move_r.
 apply Zmod_small;
  generalize (Z_mod_lt x wB wB_pos) (Z_mod_lt y wB wB_pos); omega.
 Qed.

 Lemma spec_add_carry_c : forall x y, [+|add_carry_c x y|] = [|x|] + [|y|] + 1.
 Proof.
 intros; unfold add_carry_c, to_Z, interp_carry.
 destruct Z_lt_le_dec.
 apply Zmod_small;
  generalize (Z_mod_lt x wB wB_pos) (Z_mod_lt y wB wB_pos); omega.
 rewrite Z.mul_1_l, Z.add_comm, Z.add_move_r.
 apply Zmod_small;
  generalize (Z_mod_lt x wB wB_pos) (Z_mod_lt y wB wB_pos); omega.
 Qed.

 Lemma spec_succ : forall x, [|succ x|] = ([|x|] + 1) mod wB.
 Proof.
 intros; unfold succ, to_Z, Z.succ.
 symmetry; apply Zplus_mod_idemp_l.
 Qed.

 Lemma spec_add : forall x y, [|add x y|] = ([|x|] + [|y|]) mod wB.
 Proof.
 intros; unfold add, to_Z; apply Zplus_mod.
 Qed.

 Lemma spec_add_carry :
  forall x y, [|add_carry x y|] = ([|x|] + [|y|] + 1) mod wB.
 Proof.
 intros; unfold add_carry, to_Z.
 rewrite <- Zplus_mod_idemp_l.
 rewrite (Zplus_mod x y).
 rewrite Zplus_mod_idemp_l; auto.
 Qed.

 Definition pred_c x :=
  if eq0 x then C1 (wB-1) else C0 (x-1).

 Definition sub_c x y :=
  let z := [|x|]-[|y|] in
  if Z_lt_le_dec z 0 then C1 (wB+z) else C0 z.

 Definition sub_carry_c x y :=
  let z := [|x|]-[|y|]-1 in
  if Z_lt_le_dec z 0 then C1 (wB+z) else C0 z.

 Definition pred := Z.pred.
 Definition sub := Z.sub.
 Definition sub_carry x y := x - y - 1.

 Lemma spec_pred_c : forall x, [-|pred_c x|] = [|x|] - 1.
 Proof.
 intros; unfold pred_c, to_Z, interp_carry.
 case_eq (eq0 x); intros.
 fold [|x|]; rewrite spec_eq0; auto.
 replace ((wB-1) mod wB) with (wB-1); auto with zarith.
 symmetry; apply Zmod_small; generalize wB_pos; omega.

 assert (x mod wB <> 0).
  unfold eq0, to_Z in *; now destruct (x mod wB).
 rewrite <- Zminus_mod_idemp_l.
 apply Zmod_small.
 generalize (Z_mod_lt x wB wB_pos); omega.
 Qed.

 Lemma spec_sub_c : forall x y, [-|sub_c x y|] = [|x|] - [|y|].
 Proof.
 intros; unfold sub_c, to_Z, interp_carry.
 destruct Z_lt_le_dec.
 replace ((wB + (x mod wB - y mod wB)) mod wB) with
   (wB + (x mod wB - y mod wB)).
 omega.
 symmetry; apply Zmod_small.
 generalize wB_pos (Z_mod_lt x wB wB_pos) (Z_mod_lt y wB wB_pos); omega.

 apply Zmod_small.
 generalize wB_pos (Z_mod_lt x wB wB_pos) (Z_mod_lt y wB wB_pos); omega.
 Qed.

 Lemma spec_sub_carry_c : forall x y, [-|sub_carry_c x y|] = [|x|] - [|y|] - 1.
 Proof.
 intros; unfold sub_carry_c, to_Z, interp_carry.
 destruct Z_lt_le_dec.
 replace ((wB + (x mod wB - y mod wB - 1)) mod wB) with
   (wB + (x mod wB - y mod wB -1)).
 omega.
 symmetry; apply Zmod_small.
 generalize wB_pos (Z_mod_lt x wB wB_pos) (Z_mod_lt y wB wB_pos); omega.

 apply Zmod_small.
 generalize wB_pos (Z_mod_lt x wB wB_pos) (Z_mod_lt y wB wB_pos); omega.
 Qed.

 Lemma spec_pred : forall x, [|pred x|] = ([|x|] - 1) mod wB.
 Proof.
 intros; unfold pred, to_Z, Z.pred.
 rewrite <- Zplus_mod_idemp_l; auto.
 Qed.

 Lemma spec_sub : forall x y, [|sub x y|] = ([|x|] - [|y|]) mod wB.
 Proof.
 intros; unfold sub, to_Z; apply Zminus_mod.
 Qed.

 Lemma spec_sub_carry :
  forall x y, [|sub_carry x y|] = ([|x|] - [|y|] - 1) mod wB.
 Proof.
 intros; unfold sub_carry, to_Z.
 rewrite <- Zminus_mod_idemp_l.
 rewrite (Zminus_mod x y).
 rewrite Zminus_mod_idemp_l.
 auto.
 Qed.

 Definition mul_c x y :=
  let (h,l) := Z.div_eucl ([|x|]*[|y|]) wB in
  if eq0 h then if eq0 l then W0 else WW h l else WW h l.

 Definition mul := Z.mul.

 Definition square_c x := mul_c x x.

 Lemma spec_mul_c : forall x y, [|| mul_c x y ||] = [|x|] * [|y|].
 Proof.
 intros; unfold mul_c, zn2z_to_Z.
 assert (Z.div_eucl ([|x|]*[|y|]) wB = (([|x|]*[|y|])/wB,([|x|]*[|y|]) mod wB)).
  unfold Z.modulo, Z.div; destruct Z.div_eucl; auto.
 generalize (Z_div_mod ([|x|]*[|y|]) wB wB_pos); destruct Z.div_eucl as (h,l).
 destruct 1; injection H as ? ?.
 rewrite H0.
 assert ([|l|] = l).
  apply Zmod_small; auto.
 assert ([|h|] = h).
  apply Zmod_small.
  subst h.
  split.
  apply Z_div_pos; auto with zarith.
  apply Zdiv_lt_upper_bound; auto with zarith.
  apply Z.mul_lt_mono_nonneg; auto with zarith.
 clear H H0 H1 H2.
 case_eq (eq0 h); simpl; intros.
 case_eq (eq0 l); simpl; intros.
 rewrite <- H3, <- H4, (spec_eq0 h), (spec_eq0 l); auto with zarith.
 rewrite H3, H4; auto with zarith.
 rewrite H3, H4; auto with zarith.
 Qed.

 Lemma spec_mul : forall x y, [|mul x y|] = ([|x|] * [|y|]) mod wB.
 Proof.
 intros; unfold mul, to_Z; apply Zmult_mod.
 Qed.

 Lemma spec_square_c : forall x, [|| square_c x||] = [|x|] * [|x|].
 Proof.
 intros x; exact (spec_mul_c x x).
 Qed.

 Definition div x y := Z.div_eucl [|x|] [|y|].

 Lemma spec_div : forall a b, 0 < [|b|] ->
      let (q,r) := div a b in
      [|a|] = [|q|] * [|b|] + [|r|] /\
      0 <= [|r|] < [|b|].
 Proof.
 intros; unfold div.
 assert ([|b|]>0) by auto with zarith.
 assert (Z.div_eucl [|a|] [|b|] = ([|a|]/[|b|], [|a|] mod [|b|])).
  unfold Z.modulo, Z.div; destruct Z.div_eucl; auto.
 generalize (Z_div_mod [|a|] [|b|] H0).
 destruct Z.div_eucl as (q,r); destruct 1; intros.
 injection H1 as ? ?.
 assert ([|r|]=r).
  apply Zmod_small; generalize (Z_mod_lt b wB wB_pos); fold [|b|];
   auto with zarith.
 assert ([|q|]=q).
  apply Zmod_small.
  subst q.
  split.
  apply Z_div_pos; auto with zarith.
  apply Zdiv_lt_upper_bound; auto with zarith.
  apply Z.lt_le_trans with (wB*1).
  rewrite Z.mul_1_r; auto with zarith.
  apply Z.mul_le_mono_nonneg; generalize wB_pos; auto with zarith.
 rewrite H5, H6; rewrite Z.mul_comm; auto with zarith.
 Qed.

 Definition div_gt := div.

 Lemma spec_div_gt : forall a b, [|a|] > [|b|] -> 0 < [|b|] ->
      let (q,r) := div_gt a b in
      [|a|] = [|q|] * [|b|] + [|r|] /\
      0 <= [|r|] < [|b|].
 Proof.
 intros.
 apply spec_div; auto.
 Qed.

 Definition modulo x y := [|x|] mod [|y|].
 Definition modulo_gt x y := [|x|] mod [|y|].

 Lemma spec_modulo :  forall a b, 0 < [|b|] ->
      [|modulo a b|] = [|a|] mod [|b|].
 Proof.
 intros; unfold modulo.
 apply Zmod_small.
 assert ([|b|]>0) by auto with zarith.
 generalize (Z_mod_lt [|a|] [|b|] H0) (Z_mod_lt b wB wB_pos).
 fold [|b|]; omega.
 Qed.

 Lemma spec_modulo_gt : forall a b, [|a|] > [|b|] -> 0 < [|b|] ->
      [|modulo_gt a b|] = [|a|] mod [|b|].
 Proof.
 intros; apply spec_modulo; auto.
 Qed.

 Definition gcd x y := Z.gcd [|x|] [|y|].
 Definition gcd_gt x y := Z.gcd [|x|] [|y|].

 Lemma Zgcd_bound : forall a b, 0<=a -> 0<=b -> Z.gcd a b <= Z.max a b.
 Proof.
 intros.
 generalize (Zgcd_is_gcd a b); inversion_clear 1.
 destruct H2 as (q,H2); destruct H3 as (q',H3); clear H4.
 assert (H4:=Z.gcd_nonneg a b).
 destruct (Z.eq_dec (Z.gcd a b) 0) as [->|Hneq].
 generalize (Zmax_spec a b); omega.
 assert (0 <= q).
  apply Z.mul_le_mono_pos_r with (Z.gcd a b); auto with zarith.
 destruct (Z.eq_dec q 0).

 subst q; simpl in *; subst a; simpl; auto.
 generalize (Zmax_spec 0 b) (Zabs_spec b); omega.

 apply Z.le_trans with a.
 rewrite H2 at 2.
 rewrite <- (Z.mul_1_l (Z.gcd a b)) at 1.
 apply Z.mul_le_mono_nonneg; auto with zarith.
 generalize (Zmax_spec a b); omega.
 Qed.

 Lemma spec_gcd : forall a b, Zis_gcd [|a|] [|b|] [|gcd a b|].
 Proof.
 intros; unfold gcd.
 generalize (Z_mod_lt a wB wB_pos)(Z_mod_lt b wB wB_pos); intros.
 fold [|a|] in *; fold [|b|] in *.
 replace ([|Z.gcd [|a|] [|b|]|]) with (Z.gcd [|a|] [|b|]).
 apply Zgcd_is_gcd.
 symmetry; apply Zmod_small.
 split.
 apply Z.gcd_nonneg.
 apply Z.le_lt_trans with (Z.max [|a|] [|b|]).
 apply Zgcd_bound; auto with zarith.
 generalize (Zmax_spec [|a|] [|b|]); omega.
 Qed.

 Lemma spec_gcd_gt : forall a b, [|a|] > [|b|] ->
      Zis_gcd [|a|] [|b|] [|gcd_gt a b|].
 Proof.
  intros. apply spec_gcd; auto.
 Qed.

 Definition div21 a1 a2 b :=
  Z.div_eucl ([|a1|]*wB+[|a2|]) [|b|].

 Lemma spec_div21 : forall a1 a2 b,
      wB/2 <= [|b|] ->
      [|a1|] < [|b|] ->
      let (q,r) := div21 a1 a2 b in
      [|a1|] *wB+ [|a2|] = [|q|] * [|b|] + [|r|] /\
      0 <= [|r|] < [|b|].
 Proof.
 intros; unfold div21.
 generalize (Z_mod_lt a1 wB wB_pos); fold [|a1|]; intros.
 generalize (Z_mod_lt a2 wB wB_pos); fold [|a2|]; intros.
 assert ([|b|]>0) by auto with zarith.
 remember ([|a1|]*wB+[|a2|]) as a.
 assert (Z.div_eucl a [|b|] = (a/[|b|], a mod [|b|])).
  unfold Z.modulo, Z.div; destruct Z.div_eucl; auto.
 generalize (Z_div_mod a [|b|] H3).
 destruct Z.div_eucl as (q,r); destruct 1; intros.
 injection H4 as ? ?.
 assert ([|r|]=r).
  apply Zmod_small; generalize (Z_mod_lt b wB wB_pos); fold [|b|];
   auto with zarith.
 assert ([|q|]=q).
  apply Zmod_small.
  subst q.
  split.
  apply Z_div_pos; auto with zarith.
  subst a; auto with zarith.
  apply Zdiv_lt_upper_bound; auto with zarith.
  subst a.
  replace (wB*[|b|]) with (([|b|]-1)*wB + wB) by ring.
  apply Z.lt_le_trans with ([|a1|]*wB+wB); auto with zarith.
 rewrite H8, H9; rewrite Z.mul_comm; auto with zarith.
 Qed.

 Definition add_mul_div p x y :=
   ([|x|] * (2 ^ [|p|]) + [|y|] / (2 ^ ((Zpos digits) - [|p|]))).
 Lemma spec_add_mul_div : forall x y p,
       [|p|] <= Zpos digits ->
       [| add_mul_div p x y |] =
         ([|x|] * (2 ^ [|p|]) +
          [|y|] / (2 ^ ((Zpos digits) - [|p|]))) mod wB.
 Proof.
 intros; unfold add_mul_div; auto.
 Qed.

 Definition pos_mod p w := [|w|] mod (2 ^ [|p|]).
 Lemma spec_pos_mod : forall w p,
       [|pos_mod p w|] = [|w|] mod (2 ^ [|p|]).
 Proof.
 intros; unfold pos_mod.
 apply Zmod_small.
 generalize (Z_mod_lt [|w|] (2 ^ [|p|])); intros.
 split.
 destruct H; auto using Z.lt_gt with zarith.
 apply Z.le_lt_trans with [|w|]; auto with zarith.
 apply Zmod_le; auto with zarith.
 Qed.

 Definition is_even x :=
   if Z.eq_dec ([|x|] mod 2) 0 then true else false.

 Lemma spec_is_even : forall x,
      if is_even x then [|x|] mod 2 = 0 else [|x|] mod 2 = 1.
 Proof.
 intros; unfold is_even; destruct Z.eq_dec; auto.
 generalize (Z_mod_lt [|x|] 2); omega.
 Qed.

 Definition sqrt x := Z.sqrt [|x|].
 Lemma spec_sqrt : forall x,
       [|sqrt x|] ^ 2 <= [|x|] < ([|sqrt x|] + 1) ^ 2.
 Proof.
 intros.
 unfold sqrt.
 repeat rewrite Z.pow_2_r.
 replace [|Z.sqrt [|x|]|] with (Z.sqrt [|x|]).
 apply Z.sqrt_spec; auto with zarith.
 symmetry; apply Zmod_small.
 split. apply Z.sqrt_nonneg; auto.
 apply Z.le_lt_trans with [|x|]; auto.
 apply Z.sqrt_le_lin; auto.
 Qed.

 Definition sqrt2 x y :=
  let z := [|x|]*wB+[|y|] in
  match z with
   | Z0 => (0, C0 0)
   | Zpos p =>
      let (s,r) := Z.sqrtrem (Zpos p) in
      (s, if Z_lt_le_dec r wB then C0 r else C1 (r-wB))
   | Zneg _ => (0, C0 0)
  end.

 Lemma spec_sqrt2 : forall x y,
       wB/ 4 <= [|x|] ->
       let (s,r) := sqrt2 x y in
          [||WW x y||] = [|s|] ^ 2 + [+|r|] /\
          [+|r|] <= 2 * [|s|].
 Proof.
 intros; unfold sqrt2.
 simpl zn2z_to_Z.
 remember ([|x|]*wB+[|y|]) as z.
 destruct z.
 auto with zarith.
 generalize (Z.sqrtrem_spec (Zpos p)).
 destruct Z.sqrtrem as (s,r); intros [U V]; auto with zarith.
 assert (s < wB).
  destruct (Z_lt_le_dec s wB); auto.
  assert (wB * wB <= Zpos p).
   rewrite U.
   apply Z.le_trans with (s*s); try omega.
   apply Z.mul_le_mono_nonneg; generalize wB_pos; auto with zarith.
  assert (Zpos p < wB*wB).
   rewrite Heqz.
   replace (wB*wB) with ((wB-1)*wB+wB) by ring.
   apply Z.add_le_lt_mono; auto with zarith.
   apply Z.mul_le_mono_nonneg; auto with zarith.
   generalize (spec_to_Z x); auto with zarith.
   generalize wB_pos; auto with zarith.
  omega.
 replace [|s|] with s by (symmetry; apply Zmod_small; auto with zarith).
 destruct Z_lt_le_dec; unfold interp_carry.
 replace [|r|] with r by (symmetry; apply Zmod_small; auto with zarith).
 rewrite Z.pow_2_r; auto with zarith.
 replace [|r-wB|] with (r-wB) by (symmetry; apply Zmod_small; auto with zarith).
 rewrite Z.pow_2_r; omega.

 assert (0<=Zneg p).
  rewrite Heqz; generalize wB_pos; auto with zarith.
 compute in H0; elim H0; auto.
 Qed.

 Lemma two_p_power2 : forall x, x>=0 -> two_p x = 2 ^ x.
 Proof.
 intros.
 unfold two_p.
 destruct x; simpl; auto.
 apply two_power_pos_correct.
 Qed.

 Definition head0 x := match [|x|] with
   | Z0 => zdigits
   | Zpos p => zdigits - log_inf p - 1
   | _ => 0
  end.

 Lemma spec_head00:  forall x, [|x|] = 0 -> [|head0 x|] = Zpos digits.
 Proof.
  unfold head0; intros.
  rewrite H; simpl.
  apply spec_zdigits.
 Qed.

 Lemma log_inf_bounded : forall x p, Zpos x < 2^p -> log_inf x < p.
 Proof.
 induction x; simpl; intros.

 assert (0 < p) by (destruct p; compute; auto with zarith; discriminate).
 cut (log_inf x < p - 1); [omega| ].
 apply IHx.
 change (Zpos x~1) with (2*(Zpos x)+1) in H.
 replace p with (Z.succ (p-1)) in H; auto with zarith.
 rewrite Z.pow_succ_r in H; auto with zarith.

 assert (0 < p) by (destruct p; compute; auto with zarith; discriminate).
 cut (log_inf x < p - 1); [omega| ].
 apply IHx.
 change (Zpos x~0) with (2*(Zpos x)) in H.
 replace p with (Z.succ (p-1)) in H; auto with zarith.
 rewrite Z.pow_succ_r in H; auto with zarith.

 simpl; intros; destruct p; compute; auto with zarith.
 Qed.


 Lemma spec_head0  : forall x,  0 < [|x|] ->
  wB/ 2 <= 2 ^ ([|head0 x|]) * [|x|] < wB.
 Proof.
 intros; unfold head0.
 generalize (spec_to_Z x).
 destruct [|x|]; try discriminate.
 intros.
 destruct (log_inf_correct p).
 rewrite 2 two_p_power2 in H2; auto with zarith.
 assert (0 <= zdigits - log_inf p - 1 < wB).
  split.
  cut (log_inf p < zdigits); try omega.
  unfold zdigits.
  unfold wB, base in *.
  apply log_inf_bounded; auto with zarith.
  apply Z.lt_trans with zdigits.
  omega.
  unfold zdigits, wB, base; apply Zpower2_lt_lin; auto with zarith.

 unfold to_Z; rewrite (Zmod_small _ _ H3).
 destruct H2.
 split.
 apply Z.le_trans with (2^(zdigits - log_inf p - 1)*(2^log_inf p)).
 apply Zdiv_le_upper_bound; auto with zarith.
 rewrite <- Zpower_exp; auto with zarith.
 rewrite Z.mul_comm; rewrite <- Z.pow_succ_r; auto with zarith.
 replace (Z.succ (zdigits - log_inf p -1 +log_inf p)) with zdigits
   by ring.
 unfold wB, base, zdigits; auto with zarith.
 apply Z.mul_le_mono_nonneg; auto with zarith.

 apply Z.lt_le_trans
   with (2^(zdigits - log_inf p - 1)*(2^(Z.succ (log_inf p)))).
 apply Z.mul_lt_mono_pos_l; auto with zarith.
 rewrite <- Zpower_exp; auto with zarith.
 replace (zdigits - log_inf p -1 +Z.succ (log_inf p)) with zdigits
   by ring.
 unfold wB, base, zdigits; auto with zarith.
 Qed.

 Fixpoint Ptail p := match p with
  | xO p => (Ptail p)+1
  | _ => 0
 end.

 Lemma Ptail_pos : forall p, 0 <= Ptail p.
 Proof.
 induction p; simpl; auto with zarith.
 Qed.
 Hint Resolve Ptail_pos : core.

 Lemma Ptail_bounded : forall p d, Zpos p < 2^(Zpos d) -> Ptail p < Zpos d.
 Proof.
 induction p; try (compute; auto; fail).
 intros; simpl.
 assert (d <> xH).
  intro; subst.
  compute in H; destruct p; discriminate.
 assert (Z.succ (Zpos (Pos.pred d)) = Zpos d).
  simpl; f_equal.
  rewrite Pos.add_1_r.
  destruct (Pos.succ_pred_or d); auto.
  rewrite H1 in H0; elim H0; auto.
 assert (Ptail p < Zpos (Pos.pred d)).
  apply IHp.
  apply Z.mul_lt_mono_pos_r with 2; auto with zarith.
  rewrite (Z.mul_comm (Zpos p)).
  change (2 * Zpos p) with (Zpos p~0).
  rewrite Z.mul_comm.
  rewrite <- Z.pow_succ_r; auto with zarith.
  rewrite H1; auto.
 rewrite <- H1; omega.
 Qed.

 Definition tail0 x :=
  match [|x|] with
   | Z0 => zdigits
   | Zpos p => Ptail p
   | Zneg _ => 0
  end.

 Lemma spec_tail00:  forall x, [|x|] = 0 -> [|tail0 x|] = Zpos digits.
 Proof.
  unfold tail0; intros.
  rewrite H; simpl.
  apply spec_zdigits.
 Qed.

 Lemma spec_tail0  : forall x, 0 < [|x|] ->
         exists y, 0 <= y /\ [|x|] = (2 * y + 1) * (2 ^ [|tail0 x|]).
 Proof.
 intros; unfold tail0.
 generalize (spec_to_Z x).
 destruct [|x|]; try discriminate; intros.
 assert ([|Ptail p|] = Ptail p).
  apply Zmod_small.
  split; auto.
  unfold wB, base in *.
  apply Z.lt_trans with (Zpos digits).
  apply Ptail_bounded; auto with zarith.
  apply Zpower2_lt_lin; auto with zarith.
 rewrite H1.

 clear; induction p.
 exists (Zpos p); simpl; rewrite Pos.mul_1_r; auto with zarith.
 destruct IHp as (y & Yp & Ye).
 exists y.
 split; auto.
 change (Zpos p~0) with (2*Zpos p).
 rewrite Ye.
 change (Ptail p~0) with (Z.succ (Ptail p)).
 rewrite Z.pow_succ_r; auto; ring.

 exists 0; simpl; auto with zarith.
 Qed.

 Definition lor := Z.lor.
 Definition land := Z.land.
 Definition lxor := Z.lxor.

 Lemma spec_lor x y : [|lor x y|] = Z.lor [|x|] [|y|].
 Proof.
 unfold lor, to_Z.
 apply Z.bits_inj'; intros n Hn. rewrite Z.lor_spec.
 unfold wB, base.
 destruct (Z.le_gt_cases (Z.pos digits) n).
 - rewrite !Z.mod_pow2_bits_high; auto with zarith.
 - rewrite !Z.mod_pow2_bits_low, Z.lor_spec; auto with zarith.
 Qed.

 Lemma spec_land x y : [|land x y|] = Z.land [|x|] [|y|].
 Proof.
 unfold land, to_Z.
 apply Z.bits_inj'; intros n Hn. rewrite Z.land_spec.
 unfold wB, base.
 destruct (Z.le_gt_cases (Z.pos digits) n).
 - rewrite !Z.mod_pow2_bits_high; auto with zarith.
 - rewrite !Z.mod_pow2_bits_low, Z.land_spec; auto with zarith.
 Qed.

 Lemma spec_lxor x y : [|lxor x y|] = Z.lxor [|x|] [|y|].
 Proof.
 unfold lxor, to_Z.
 apply Z.bits_inj'; intros n Hn. rewrite Z.lxor_spec.
 unfold wB, base.
 destruct (Z.le_gt_cases (Z.pos digits) n).
 - rewrite !Z.mod_pow2_bits_high; auto with zarith.
 - rewrite !Z.mod_pow2_bits_low, Z.lxor_spec; auto with zarith.
 Qed.

 (** Let's now group everything in two records *)

 Instance zmod_ops : ZnZ.Ops Z := ZnZ.MkOps
    (digits : positive)
    (zdigits: t)
    (to_Z   : t -> Z)
    (of_pos : positive -> N * t)
    (head0  : t -> t)
    (tail0  : t -> t)

    (zero   : t)
    (one    : t)
    (minus_one : t)

    (compare     : t -> t -> comparison)
    (eq0         : t -> bool)

    (opp_c       : t -> carry t)
    (opp         : t -> t)
    (opp_carry   : t -> t)

    (succ_c      : t -> carry t)
    (add_c       : t -> t -> carry t)
    (add_carry_c : t -> t -> carry t)
    (succ        : t -> t)
    (add         : t -> t -> t)
    (add_carry   : t -> t -> t)

    (pred_c      : t -> carry t)
    (sub_c       : t -> t -> carry t)
    (sub_carry_c : t -> t -> carry t)
    (pred        : t -> t)
    (sub         : t -> t -> t)
    (sub_carry   : t -> t -> t)

    (mul_c       : t -> t -> zn2z t)
    (mul         : t -> t -> t)
    (square_c    : t -> zn2z t)

    (div21       : t -> t -> t -> t*t)
    (div_gt      : t -> t -> t * t)
    (div         : t -> t -> t * t)

    (modulo_gt      : t -> t -> t)
    (modulo         : t -> t -> t)

    (gcd_gt      : t -> t -> t)
    (gcd         : t -> t -> t)
    (add_mul_div : t -> t -> t -> t)
    (pos_mod     : t -> t -> t)

    (is_even     : t -> bool)
    (sqrt2       : t -> t -> t * carry t)
    (sqrt        : t -> t)
    (lor         : t -> t -> t)
    (land         : t -> t -> t)
    (lxor         : t -> t -> t).

 Instance zmod_specs : ZnZ.Specs zmod_ops := ZnZ.MkSpecs
    spec_to_Z
    spec_of_pos
    spec_zdigits
    spec_more_than_1_digit

    spec_0
    spec_1
    spec_Bm1

    spec_compare
    spec_eq0

    spec_opp_c
    spec_opp
    spec_opp_carry

    spec_succ_c
    spec_add_c
    spec_add_carry_c
    spec_succ
    spec_add
    spec_add_carry

    spec_pred_c
    spec_sub_c
    spec_sub_carry_c
    spec_pred
    spec_sub
    spec_sub_carry

    spec_mul_c
    spec_mul
    spec_square_c

    spec_div21
    spec_div_gt
    spec_div

    spec_modulo_gt
    spec_modulo

    spec_gcd_gt
    spec_gcd

    spec_head00
    spec_head0
    spec_tail00
    spec_tail0

    spec_add_mul_div
    spec_pos_mod

    spec_is_even
    spec_sqrt2
    spec_sqrt
    spec_lor
    spec_land
    spec_lxor.

End ZModulo.

(** A modular version of the previous construction. *)

Module Type PositiveNotOne.
 Parameter p : positive.
 Axiom not_one : p <> 1%positive.
End PositiveNotOne.

Module ZModuloCyclicType (P:PositiveNotOne) <: CyclicType.
 Definition t := Z.
 Instance ops : ZnZ.Ops t := zmod_ops P.p.
 Instance specs : ZnZ.Specs ops := zmod_specs P.not_one.
End ZModuloCyclicType.

¤ Dauer der Verarbeitung: 0.15 Sekunden  (vorverarbeitet)  ¤



Download des
Quellennavigators
Download des
sprechenden Kalenders

in der Quellcodebibliothek suchen




Haftungshinweis

Die Informationen auf dieser Webseite wurden nach bestem Wissen sorgfältig zusammengestellt. Es wird jedoch weder Vollständigkeit, noch Richtigkeit, noch Qualität der bereit gestellten Informationen zugesichert.


Bemerkung:

Die farbliche Syntaxdarstellung ist noch experimentell.


Bot Zugriff