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sigma_upto[N: nat]: THEORY
%------------------------------------------------------------------------------
% The summations theory provides properties of the sigma
% function that sums an arbitrary function F: [upto[N] -> real] over a range
% from low to high
%
% high
% ----
% sigma(low, high, F) = \ F(j)
% /
% ----
% j = low
%
%
%------------------------------------------------------------------------------
BEGIN
IMPORTING sigma[upto[N]]
int_upto: TYPE = {i:int | i <= N}
int_upto_T_high: JUDGEMENT int_upto SUBTYPE_OF T_high
nat_is_T_low: JUDGEMENT nat SUBTYPE_OF T_low
low, high, n, m: VAR upto[N]
F: VAR function[upto[N] -> real]
% --------- Following Theorems Not Provable In Generic Framework -------
sigma_first_ge : THEOREM high >= low IMPLIES
sigma(low, high, F) = F(low) + sigma(low+1, high, F)
sigma_last_ge : THEOREM high >= low IMPLIES
sigma(low, high, F) = sigma(low, high-1, F) + F(high)
sigma_split_ge : THEOREM low-1 <= m AND m <= high IMPLIES
sigma(low, high, F) =
sigma(low, m, F) + sigma(m+1, high, F)
% ---- Auto-rewrites
nn: VAR negint
sigma_0_neg: LEMMA sigma(0,nn,F) = 0
AUTO_REWRITE+ sigma_0_neg
END sigma_upto
¤ Dauer der Verarbeitung: 0.20 Sekunden
(vorverarbeitet)
¤
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