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Datei: law_cos_pos_3D.prf   Sprache: Lisp

Original von: PVS©

(law_cos_pos_3D
 (law_cosines 0
  (law_cosines-1 nil 3254574498
   ("" (skosimp*)
    (("" (assert)
      (("" (flatten)
        (("" (expand "dist")
          (("" (expand "sq_dist")
            (("" (replace -1)
              (("" (hide -1)
                (("" (expand "sq")
                  (("" (ground) (("" (grind) nil nil)) nil)) nil))
                nil))
              nil))
            nil))
          nil))
        nil))
      nil))
    nil)
   ((real_minus_real_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (nnreal_plus_nnreal_is_nnreal application-judgement "nnreal"
     real_types nil)
    (real_times_real_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (cos_range application-judgement "trig_range" trig_basic "trig/")
    (dist const-decl "nnreal" distance_3D nil)
    (real_plus_real_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (sq const-decl "nonneg_real" sq "reals/")
    (- const-decl "Vector" vectors_3D nil)
    (* const-decl "real" vectors_3D nil)
    (nnreal_times_nnreal_is_nnreal application-judgement "nnreal"
     real_types nil)
    (sq_dist const-decl "nnreal" distance_3D nil))
   nil))
 (law_cosines_alt 0
  (law_cosines_alt-1 nil 3254574498
   ("" (skosimp*)
    (("" (assert)
      (("" (expand "dist")
        (("" (expand "sq_dist")
          (("" (expand "sq") (("" (ground) (("" (grind) nil nil)) nil))
            nil))
          nil))
        nil))
      nil))
    nil)
   ((real_minus_real_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (real_times_real_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (nnreal_plus_nnreal_is_nnreal application-judgement "nnreal"
     real_types nil)
    (dot_scal_left formula-decl nil vectors_3D nil)
    (sq_dist const-decl "nnreal" distance_3D nil)
    (nnreal_times_nnreal_is_nnreal application-judgement "nnreal"
     real_types nil)
    (* const-decl "real" vectors_3D nil)
    (- const-decl "Vector" vectors_3D nil)
    (sq const-decl "nonneg_real" sq "reals/")
    (real_plus_real_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (dist const-decl "nnreal" distance_3D nil))
   nil))
 (angle_exists 0
  (angle_exists-1 nil 3254574498
   ("" (skosimp*)
    (("" (assert)
      ((""
        (case-replace "dist(v1!1, v0!1) = 0 OR dist(v2!1, v1!1) = 0 ")
        (("1" (split -1)
          (("1" (replace -1)
            (("1" (assert)
              (("1" (lemma "dist_eq_0")
                (("1" (inst?)
                  (("1" (flatten)
                    (("1" (assert)
                      (("1" (replace -1) (("1" (assertnil nil)) nil))
                      nil))
                    nil))
                  nil))
                nil))
              nil))
            nil)
           ("2" (replace -1)
            (("2" (lemma "dist_eq_0")
              (("2" (inst?)
                (("2" (assert)
                  (("2" (replace -1) (("2" (assertnil nil)) nil))
                  nil))
                nil))
              nil))
            nil))
          nil)
         ("2" (flatten)
          (("2"
            (case " -1 <=
                (v1!1 - v0!1) * (v1!1 - v2!1) /
                 (dist(v1!1, v0!1) * dist(v2!1, v1!1))
                AND
                (v1!1 - v0!1) * (v1!1 - v2!1) /
                 (dist(v1!1, v0!1) * dist(v2!1, v1!1))
                 <= 1")
            (("1"
              (inst +
               "arccos((v1!1 - v0!1) * (v1!1 - v2!1)/(dist(v1!1, v0!1)*dist(v2!1, v1!1)))")
              (("1" (assertnil nil)
               ("2" (flatten) (("2" (assertnil nil)) nil))
              nil)
             ("2" (hide 4)
              (("2" (rewrite "dist_norm")
                (("2" (rewrite "dist_norm")
                  (("2" (lemma "dot_norm")
                    (("2" (inst?)
                      (("2" (flatten)
                        (("2" (prop)
                          (("1" (cross-mult 1)
                            (("1" (ground)
                              (("1"
                                (lemma "norm_sym")
                                (("1"
                                  (inst -1 "v1!1" "v2!1")
                                  (("1"
                                    (replace -1)
                                    (("1"
                                      (hide -1)
                                      (("1" (assertnil nil))
                                      nil))
                                    nil))
                                  nil))
                                nil)
                               ("2" (mult-cases 1) nil nil))
                              nil))
                            nil)
                           ("2" (cross-mult 1)
                            (("2" (ground)
                              (("1"
                                (lemma "norm_sym")
                                (("1"
                                  (inst -1 "v1!1" "v2!1")
                                  (("1"
                                    (replace -1)
                                    (("1" (assertnil nil))
                                    nil))
                                  nil))
                                nil)
                               ("2" (mult-cases 1) nil nil))
                              nil))
                            nil))
                          nil))
                        nil))
                      nil))
                    nil))
                  nil))
                nil))
              nil)
             ("3" (flatten) (("3" (mult-cases -2) nil nil)) nil)
             ("4" (assert)
              (("4" (flatten) (("4" (mult-cases -1) nil nil)) nil))
              nil))
            nil))
          nil))
        nil))
      nil))
    nil)
   ((real_times_real_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (cos_range application-judgement "trig_range" trig_basic "trig/")
    (nnreal_times_nnreal_is_nnreal application-judgement "nnreal"
     real_types nil)
    (zero_times3 formula-decl nil real_props nil)
    (minus_real_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (norm_sym formula-decl nil vectors_3D nil)
    (pos_times_gt formula-decl nil real_props nil)
    (real_gt_is_strict_total_order name-judgement
     "(strict_total_order?[real])" real_props nil)
    (norm const-decl "nnreal" vectors_3D nil)
    (nonzero_real nonempty-type-eq-decl nil reals nil)
    (div_mult_pos_neg_le2 formula-decl nil extra_real_props nil)
    (div_mult_pos_neg_le1 formula-decl nil extra_real_props nil)
    (dot_norm formula-decl nil vectors_3D nil)
    (dist_norm formula-decl nil distance_3D nil)
    (v1!1 skolem-const-decl "Vect3" law_cos_pos_3D nil)
    (v0!1 skolem-const-decl "Vect3" law_cos_pos_3D nil)
    (v2!1 skolem-const-decl "Vect3" law_cos_pos_3D nil)
    (real_abs_le1 nonempty-type-eq-decl nil asin "trig/")
    (nonneg_real nonempty-type-eq-decl nil real_types nil)
    (> const-decl "bool" reals nil)
    (posreal nonempty-type-eq-decl nil real_types nil)
    (pi_lb const-decl "posreal" trig_basic "trig/")
    (< const-decl "bool" reals nil)
    (pi_ub const-decl "posreal" trig_basic "trig/")
    (pi const-decl "{r: posreal | r > pi_lb AND r < pi_ub}" trig_basic
     "trig/")
    (nnreal_le_pi nonempty-type-eq-decl nil acos "trig/")
    (cos const-decl "real" trig_basic "trig/")
    (arccos const-decl "{x: nnreal_le_pi | y = cos(x)}" trig_inverses
     "trig/")
    (IMPLIES const-decl "[bool, bool -> bool]" booleans nil)
    (real_le_is_total_order name-judgement "(total_order?[real])"
     real_props nil)
    (minus_odd_is_odd application-judgement "odd_int" integers nil)
    (real_div_nzreal_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (AND const-decl "[bool, bool -> bool]" booleans nil)
    (<= const-decl "bool" reals nil)
    (numfield nonempty-type-eq-decl nil number_fields nil)
    (- const-decl "[numfield -> numfield]" number_fields nil)
    (/= const-decl "boolean" notequal nil)
    (nznum nonempty-type-eq-decl nil number_fields nil)
    (/ const-decl "[numfield, nznum -> numfield]" number_fields nil)
    (Vector type-eq-decl nil vectors_3D nil)
    (* const-decl "real" vectors_3D nil)
    (- const-decl "Vector" vectors_3D nil)
    (* const-decl "[numfield, numfield -> numfield]" number_fields nil)
    (dist_eq_args formula-decl nil distance_3D nil)
    (sub_eq_args formula-decl nil vectors_3D nil)
    (dot_zero_left formula-decl nil vectors_3D nil)
    (dist_eq_0 formula-decl nil distance_3D nil)
    (dot_zero_right formula-decl nil vectors_3D nil)
    (dist const-decl "nnreal" distance_3D nil)
    (nnreal type-eq-decl nil real_types nil)
    (>= const-decl "bool" reals nil)
    (real_pred const-decl "[number_field -> boolean]" reals nil)
    (number_field nonempty-type-from-decl nil number_fields nil)
    (number_field_pred const-decl "[number -> boolean]" number_fields
     nil)
    (Vect3 type-eq-decl nil vectors_3D_def nil)
    (real nonempty-type-from-decl nil reals nil)
    (= const-decl "[T, T -> boolean]" equalities nil)
    (number nonempty-type-decl nil numbers nil)
    (OR const-decl "[bool, bool -> bool]" booleans nil)
    (bool nonempty-type-eq-decl nil booleans nil)
    (boolean nonempty-type-decl nil booleans nil))
   nil))
 (angle_between_TCC1 0
  (angle_between_TCC1-3 nil 3430838954
   ("" (skosimp*)
    (("" (lemma "dot_norm")
      (("" (inst?)
        (("" (assert)
          (("" (ground)
            (("1" (cross-mult 1) (("1" (assertnil nil)) nil)
             ("2" (cross-mult 1) (("2" (assertnil nil)) nil))
            nil))
          nil))
        nil))
      nil))
    nil)
   ((dot_norm formula-decl nil vectors_3D nil)
    (posreal_times_posreal_is_posreal application-judgement "posreal"
     real_types nil)
    (real_div_nzreal_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (minus_odd_is_odd application-judgement "odd_int" integers nil)
    (nz_norm_gt_0 application-judgement "posreal" vectors_3D nil)
    (minus_nzreal_is_nzreal application-judgement "nzreal" real_types
     nil)
    (nzreal_times_nzreal_is_nzreal application-judgement "nzreal"
     real_types nil)
    (real_le_is_total_order name-judgement "(total_order?[real])"
     real_props nil)
    (div_mult_pos_le1 formula-decl nil real_props nil)
    (div_mult_pos_le2 formula-decl nil real_props nil)
    (* const-decl "real" vectors_3D nil)
    (- const-decl "[numfield -> numfield]" number_fields nil)
    (norm const-decl "nnreal" vectors_3D nil)
    (nnreal type-eq-decl nil real_types nil)
    (* const-decl "[numfield, numfield -> numfield]" number_fields nil)
    (numfield nonempty-type-eq-decl nil number_fields nil)
    (posreal nonempty-type-eq-decl nil real_types nil)
    (> const-decl "bool" reals nil)
    (nonneg_real nonempty-type-eq-decl nil real_types nil)
    (>= const-decl "bool" reals nil)
    (bool nonempty-type-eq-decl nil booleans nil)
    (real_pred const-decl "[number_field -> boolean]" reals nil)
    (number_field nonempty-type-from-decl nil number_fields nil)
    (number_field_pred const-decl "[number -> boolean]" number_fields
     nil)
    (number nonempty-type-decl nil numbers nil)
    (Nz_vect3 type-eq-decl nil vectors_3D nil)
    (zero const-decl "Vector" vectors_3D nil)
    (/= const-decl "boolean" notequal nil)
    (boolean nonempty-type-decl nil booleans nil)
    (Vector type-eq-decl nil vectors_3D nil)
    (real nonempty-type-from-decl nil reals nil)
    (minus_real_is_real application-judgement "real" reals nil))
   nil)
  (angle_between_TCC1-2 nil 3430837287
   ("" (skosimp*)
    (("" (lemma "dot_norm")
      (("" (inst?)
        (("" (assert)
          (("" (ground)
            (("1" (cross-mult 1) (("1" (assertnil nil)) nil)
             ("2" (cross-mult 1) (("2" (assertnil nil)) nil))
            nil))
          nil))
        nil))
      nil))
    nil)
   ((Vector type-eq-decl nil vectors_3D nil)
    (Nz_vect3 type-eq-decl nil vectors_3D nil)
    (norm const-decl "nnreal" vectors_3D nil)
    (* const-decl "real" vectors_3D nil)
    (nz_norm_gt_0 application-judgement "posreal" vectors_3D nil)
    (dot_norm formula-decl nil vectors_3D nil))
   nil)
  (angle_between_TCC1-1 nil 3254574498
   ("" (skosimp*) (("" (mult-cases -1) nil nil)) nil)
   ((Nz_vect3 type-eq-decl nil vectors_3D nil)
    (norm const-decl "nnreal" vectors_3D nil)
    (Vector type-eq-decl nil vectors_3D nil))
   nil))
 (law_cosines_bnd 0
  (law_cosines_bnd-1 nil 3254574498
   ("" (skosimp*)
    (("" (skoletin 1)
      (("" (skoletin 1)
        (("" (skoletin 1)
          (("" (lemma "angle_exists")
            (("" (inst -1 "v0!1" "v1!1" "v2!1")
              (("" (skosimp*)
                (("" (assert)
                  (("" (lemma "law_cosines")
                    (("" (inst?)
                      (("" (inst -1 "ab!1")
                        (("" (assert)
                          (("" (replace -5 * rl)
                            (("" (replace -4 * rl)
                              ((""
                                (replace -3 * rl)
                                ((""
                                  (case
                                   "sq(a) + sq(b) - 2 * (cos(ab!1) * a * b) >=
                                          sq(a) + sq(b) - 2 * a * b")
                                  (("1"
                                    (case-replace
                                     "sq(a) + sq(b) - 2 * a * b = sq(a - b)")
                                    (("1" (assertnil nil)
                                     ("2"
                                      (hide-all-but 1)
                                      (("2" (grind) nil nil))
                                      nil))
                                    nil)
                                   ("2"
                                    (assert)
                                    (("2"
                                      (hide-all-but 1)
                                      (("2"
                                        (typepred "cos(ab!1)")
                                        (("2"
                                          (mult-by -2 "2*a*b")
                                          (("2" (assertnil nil))
                                          nil))
                                        nil))
                                      nil))
                                    nil))
                                  nil))
                                nil))
                              nil))
                            nil))
                          nil))
                        nil))
                      nil))
                    nil))
                  nil))
                nil))
              nil))
            nil))
          nil))
        nil))
      nil))
    nil)
   ((IFF const-decl "[bool, bool -> bool]" booleans nil)
    (number nonempty-type-decl nil numbers nil)
    (boolean nonempty-type-decl nil booleans nil)
    (= const-decl "[T, T -> boolean]" equalities nil)
    (real nonempty-type-from-decl nil reals nil)
    (Vect3 type-eq-decl nil vectors_3D_def nil)
    (number_field_pred const-decl "[number -> boolean]" number_fields
     nil)
    (number_field nonempty-type-from-decl nil number_fields nil)
    (real_pred const-decl "[number_field -> boolean]" reals nil)
    (bool nonempty-type-eq-decl nil booleans nil)
    (>= const-decl "bool" reals nil)
    (nnreal type-eq-decl nil real_types nil)
    (dist const-decl "nnreal" distance_3D nil)
    (- const-decl "[numfield, numfield -> numfield]" number_fields nil)
    (numfield nonempty-type-eq-decl nil number_fields nil)
    (sq const-decl "nonneg_real" sq "reals/")
    (nonneg_real nonempty-type-eq-decl nil real_types nil)
    (real_minus_real_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (real_ge_is_total_order name-judgement "(total_order?[real])"
     real_props nil)
    (real_times_real_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (cos_range application-judgement "trig_range" trig_basic "trig/")
    (nnreal_times_nnreal_is_nnreal application-judgement "nnreal"
     real_types nil)
    (nnreal_plus_nnreal_is_nnreal application-judgement "nnreal"
     real_types nil)
    (+ const-decl "[numfield, numfield -> numfield]" number_fields nil)
    (* const-decl "[numfield, numfield -> numfield]" number_fields nil)
    (cos const-decl "real" trig_basic "trig/")
    (minus_odd_is_odd application-judgement "odd_int" integers nil)
    (minus_nzint_is_nzint application-judgement "nzint" integers nil)
    (minus_even_is_even application-judgement "even_int" integers nil)
    (both_sides_times_pos_le1_imp formula-decl nil extra_real_props
     nil)
    (real_le_is_total_order name-judgement "(total_order?[real])"
     real_props nil)
    (- const-decl "[numfield -> numfield]" number_fields nil)
    (<= const-decl "bool" reals nil)
    (NOT const-decl "[bool -> bool]" booleans nil)
    (law_cosines formula-decl nil law_cos_pos_3D nil)
    (angle_exists formula-decl nil law_cos_pos_3D nil))
   nil))
 (law_cosines_bnd_abs 0
  (law_cosines_bnd_abs-1 nil 3254574498
   ("" (skosimp*)
    (("" (skoletin 1)
      (("" (skoletin 1)
        (("" (skoletin 1)
          (("" (lemma "law_cosines_bnd")
            (("" (inst -1 "v0!1" "v1!1" "v2!1")
              (("" (assert)
                (("" (case "a-b>=0")
                  (("1" (rewrite "sq_ge" -)
                    (("1" (expand "abs") (("1" (assertnil nil)) nil))
                    nil)
                   ("2" (rewrite "sq_neg_minus")
                    (("2" (rewrite "sq_ge" -)
                      (("2" (expand "abs") (("2" (assertnil nil))
                        nil))
                      nil))
                    nil))
                  nil))
                nil))
              nil))
            nil))
          nil))
        nil))
      nil))
    nil)
   ((IFF const-decl "[bool, bool -> bool]" booleans nil)
    (number nonempty-type-decl nil numbers nil)
    (boolean nonempty-type-decl nil booleans nil)
    (= const-decl "[T, T -> boolean]" equalities nil)
    (real nonempty-type-from-decl nil reals nil)
    (Vect3 type-eq-decl nil vectors_3D_def nil)
    (number_field_pred const-decl "[number -> boolean]" number_fields
     nil)
    (number_field nonempty-type-from-decl nil number_fields nil)
    (real_pred const-decl "[number_field -> boolean]" reals nil)
    (bool nonempty-type-eq-decl nil booleans nil)
    (>= const-decl "bool" reals nil)
    (nnreal type-eq-decl nil real_types nil)
    (dist const-decl "nnreal" distance_3D nil)
    (- const-decl "[numfield, numfield -> numfield]" number_fields nil)
    (abs const-decl "{n: nonneg_real | n >= m AND n >= -m}" real_defs
         nil)
    (- const-decl "[numfield -> numfield]" number_fields nil)
    (numfield nonempty-type-eq-decl nil number_fields nil)
    (AND const-decl "[bool, bool -> bool]" booleans nil)
    (nonneg_real nonempty-type-eq-decl nil real_types nil)
    (real_minus_real_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (real_lt_is_strict_total_order name-judgement
     "(strict_total_order?[real])" real_props nil)
    (sq_ge formula-decl nil sq "reals/")
    (minus_real_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (sq_neg_minus formula-decl nil sq "reals/")
    (real_ge_is_total_order name-judgement "(total_order?[real])"
     real_props nil)
    (law_cosines_bnd formula-decl nil law_cos_pos_3D nil))
   nil))
 (law_cosines_le 0
  (law_cosines_le-1 nil 3254574498
   ("" (skosimp*)
    (("" (skoletin 1)
      (("" (reveal "a" "b" "c")
        (("" (rewrite "dist_norm")
          (("" (rewrite "dist_norm")
            (("" (rewrite "dist_norm")
              (("" (replace -1)
                (("" (hide -1)
                  (("" (replace -1)
                    (("" (hide -1)
                      (("" (replace -1)
                        (("" (hide -1)
                          (("" (lemma "norm_sub_le")
                            (("" (inst -1 "v2!1 - v1!1" "v0!1 - v1!1")
                              ((""
                                (case-replace
                                 "v2!1 - v1!1 - (v0!1 - v1!1) = v2!1 - v0!1")
                                (("1"
                                  (hide -1)
                                  (("1"
                                    (lemma "norm_sym")
                                    (("1"
                                      (inst -1 "v1!1" "v0!1")
                                      (("1" (assertnil nil))
                                      nil))
                                    nil))
                                  nil)
                                 ("2"
                                  (hide-all-but 1)
                                  (("2" (grind) nil nil))
                                  nil))
                                nil))
                              nil))
                            nil))
                          nil))
                        nil))
                      nil))
                    nil))
                  nil))
                nil))
              nil))
            nil))
          nil))
        nil))
      nil))
    nil)
   ((IFF const-decl "[bool, bool -> bool]" booleans nil)
    (number nonempty-type-decl nil numbers nil)
    (boolean nonempty-type-decl nil booleans nil)
    (= const-decl "[T, T -> boolean]" equalities nil)
    (real nonempty-type-from-decl nil reals nil)
    (Vect3 type-eq-decl nil vectors_3D_def nil)
    (number_field_pred const-decl "[number -> boolean]" number_fields
     nil)
    (number_field nonempty-type-from-decl nil number_fields nil)
    (real_pred const-decl "[number_field -> boolean]" reals nil)
    (bool nonempty-type-eq-decl nil booleans nil)
    (>= const-decl "bool" reals nil)
    (nnreal type-eq-decl nil real_types nil)
    (dist const-decl "nnreal" distance_3D nil)
    (+ const-decl "[numfield, numfield -> numfield]" number_fields nil)
    (numfield nonempty-type-eq-decl nil number_fields nil)
    (<= const-decl "bool" reals nil)
    (nnreal_plus_nnreal_is_nnreal application-judgement "nnreal"
     real_types nil)
    (norm_sub_le formula-decl nil vectors_3D nil)
    (norm_sym formula-decl nil vectors_3D nil)
    (real_le_is_total_order name-judgement "(total_order?[real])"
     real_props nil)
    (real_minus_real_is_real application-judgement "real" reals nil)
    (Vector type-eq-decl nil vectors_3D nil)
    (- const-decl "Vector" vectors_3D nil)
    (dist_norm formula-decl nil distance_3D nil))
   nil)))


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