SSL set_antisymmetric.pvs Sprache: PVS

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%  If there are injective (surjective) maps both ways between two sets,
%  then the sets are bijective.
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%  For PVS version 3.2.  January 18, 2005
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%      Author: Jerry James (jamesj@acm.org), University of Kansas
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%  EXPORTS
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%  orders: set_antisymmetric[D, R]
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set_antisymmetric[D: TYPE, R: TYPE]: THEORY
BEGIN

  in_closure(f: [D -> R], g: [R -> D], d: D): INDUCTIVE bool =
    member(d, complement(image(g, fullset[R]))) OR
    (EXISTS (e: D): g(f(e)) = d AND in_closure(f, g, e))

  % The Schroeder-Bernstein Theorem
  inj_inj_bij: THEOREM
    (EXISTS (f: [D -> R]): injective?(f)) AND
     (EXISTS (f: [R -> D]): injective?(f))
     => (EXISTS (f: [D -> R]): bijective?(f))

  surj_surj_bij: COROLLARY
    (EXISTS (f: [D -> R]): surjective?(f)) AND
     (EXISTS (f: [R -> D]): surjective?(f))
     => (EXISTS (f: [D -> R]): bijective?(f))

  inj_surj_bij: COROLLARY
    (EXISTS (f: [D -> R]): injective?(f)) AND
     (EXISTS (f: [D -> R]): surjective?(f))
     => (EXISTS (f: [D -> R]): bijective?(f))

END set_antisymmetric

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