Quelle  e_jn.c

/*
 * ====================================================
 * Copyright (C) 1993 by Sun Microsystems, Inc. All rights reserved.
 *
 * Developed at SunSoft, a Sun Microsystems, Inc. business.
 * Permission to use, copy, modify, and distribute this
 * software is freely granted, provided that this notice
 * is preserved.
 * ====================================================
 */

/*
 * jn(n, x), yn(n, x)
 * floating point Bessel's function of the 1st and 2nd kind
 * of order n
 *
 * Special cases:
 * y0(0)=y1(0)=yn(n,0) = -inf with division by zero signal;
 * y0(-ve)=y1(-ve)=yn(n,-ve) are NaN with invalid signal.
 * Note 2. About jn(n,x), yn(n,x)
 * For n=0, j0(x) is called.
 * For n=1, j1(x) is called.
 * For n<x, forward recursion is used starting
 * from values of j0(x) and j1(x).
 * For n>x, a continued fraction approximation to
 * j(n,x)/j(n-1,x) is evaluated and then backward
 * recursion is used starting from a supposed value
 * for j(n,x). The resulting values of j(0,x) or j(1,x) are
 * compared with the actual values to correct the
 * supposed value of j(n,x).
 *
 * yn(n,x) is similar in all respects, except
 * that forward recursion is used for all
 * values of n>1.
 */

#include "math.h"
#include "math_private.h"

static const volatile double vone = 1, vzero = 0;

static const double
invsqrtpi=  5.64189583547756279280e-01, /* 0x3FE20DD7, 0x50429B6D */
two   =  2.00000000000000000000e+00, /* 0x40000000, 0x00000000 */
one   =  1.00000000000000000000e+00; /* 0x3FF00000, 0x00000000 */

static const double zero  =  0.00000000000000000000e+00;

double
jn(int n, double x)
{
 int32_t i,hx,ix,lx, sgn;
 double a, b, c, s, temp, di;
 double z, w;

    /* J(-n,x) = (-1)^n * J(n, x), J(n, -x) = (-1)^n * J(n, x)
     * Thus, J(-n,x) = J(n,-x)
     */
 EXTRACT_WORDS(hx,lx,x);
 ix = 0x7fffffff&hx;
    /* if J(n,NaN) is NaN */
 if((ix|((u_int32_t)(lx|-lx))>>31)>0x7ff00000) return x+x;
 if(n<0){
  n = -n;
  x = -x;
  hx ^= 0x80000000;
 }
 if(n==0) return(j0(x));
 if(n==1) return(j1(x));
 sgn = (n&1)&(hx>>31); /* even n -- 0, odd n -- sign(x) */
 x = fabs(x);
 if((ix|lx)==0||ix>=0x7ff00000)  /* if x is 0 or inf */
     b = zero;
 else if((double)n<=x) {
  /* Safe to use J(n+1,x)=2n/x *J(n,x)-J(n-1,x) */
     if(ix>=0x52D00000) { /* x > 2**302 */
    /* (x >> n**2)
     *     Jn(x) = cos(x-(2n+1)*pi/4)*sqrt(2/x*pi)
     *     Yn(x) = sin(x-(2n+1)*pi/4)*sqrt(2/x*pi)
     *     Let s=sin(x), c=cos(x),
     *  xn=x-(2n+1)*pi/4, sqt2 = sqrt(2), then
     *
     *     n sin(xn)*sqt2 cos(xn)*sqt2
     *  ----------------------------------
     *     0  s-c   c+s
     *     1 -s-c   -c+s
     *     2 -s+c  -c-s
     *     3  s+c   c-s
     */
  sincos(x, &s, &c);
  switch(n&3) {
      case 0: temp =  c+s; break;
      case 1: temp = -c+s; break;
      case 2: temp = -c-s; break;
      case 3: temp =  c-s; break;
  }
  b = invsqrtpi*temp/sqrt(x);
     } else {
         a = j0(x);
         b = j1(x);
         for(i=1;i<n;i++){
      temp = b;
      b = b*((double)(i+i)/x) - a; /* avoid underflow */
      a = temp;
         }
     }
 } else {
     if(ix<0x3e100000) { /* x < 2**-29 */
    /* x is tiny, return the first Taylor expansion of J(n,x)
     * J(n,x) = 1/n!*(x/2)^n  - ...
     */
  if(n>33) /* underflow */
      b = zero;
  else {
      temp = x*0.5; b = temp;
      for (a=one,i=2;i<=n;i++) {
   a *= (double)i;  /* a = n! */
   b *= temp;  /* b = (x/2)^n */
      }
      b = b/a;
  }
     } else {
  /* use backward recurrence */
  /*  x      x^2      x^2
   *  J(n,x)/J(n-1,x) =  ----   ------   ------   .....
   *   2n  - 2(n+1) - 2(n+2)
   *
   *    1      1        1
   *  (for large x)   =  ----  ------   ------   .....
   *   2n   2(n+1)   2(n+2)
   *   -- - ------ - ------ -
   *    x     x         x
   *
   * Let w = 2n/x and h=2/x, then the above quotient
   * is equal to the continued fraction:
   *      1
   * = -----------------------
   *         1
   *    w - -----------------
   *     1
   *          w+h - ---------
   *         w+2h - ...
   *
   * To determine how many terms needed, let
   * Q(0) = w, Q(1) = w(w+h) - 1,
   * Q(k) = (w+k*h)*Q(k-1) - Q(k-2),
   * When Q(k) > 1e4 good for single
   * When Q(k) > 1e9 good for double
   * When Q(k) > 1e17 good for quadruple
 */
     /* determine k */
  double t,v;
  double q0,q1,h,tmp; int32_t k,m;
  w  = (n+n)/(double)x; h = 2.0/(double)x;
  q0 = w;  z = w+h; q1 = w*z - 1.0; k=1;
  while(q1<1.0e9) {
   k += 1; z += h;
   tmp = z*q1 - q0;
   q0 = q1;
   q1 = tmp;
  }
  m = n+n;
  for(t=zero, i = 2*(n+k); i>=m; i -= 2) t = one/(i/x-t);
  a = t;
  b = one;
  /*  estimate log((2/x)^n*n!) = n*log(2/x)+n*ln(n)
   *  Hence, if n*(log(2n/x)) > ...
   *  single 8.8722839355e+01
   *  double 7.09782712893383973096e+02
   *  long double 1.1356523406294143949491931077970765006170e+04
   *  then recurrent value may overflow and the result is
   *  likely underflow to zero
 */
  tmp = n;
  v = two/x;
  tmp = tmp*log(fabs(v*tmp));
  if(tmp<7.09782712893383973096e+02) {
          for(i=n-1,di=(double)(i+i);i>0;i--){
          temp = b;
   b *= di;
   b  = b/x - a;
          a = temp;
   di -= two;
           }
  } else {
          for(i=n-1,di=(double)(i+i);i>0;i--){
          temp = b;
   b *= di;
   b  = b/x - a;
          a = temp;
   di -= two;
      /* scale b to avoid spurious overflow */
   if(b>1e100) {
       a /= b;
       t /= b;
       b  = one;
   }
           }
  }
  z = j0(x);
  w = j1(x);
  if (fabs(z) >= fabs(w))
      b = (t*z/b);
  else
      b = (t*w/a);
     }
 }
 if(sgn==1) return -b; else return b;
}

double
yn(int n, double x)
{
 int32_t i,hx,ix,lx;
 int32_t sign;
 double a, b, c, s, temp;

 EXTRACT_WORDS(hx,lx,x);
 ix = 0x7fffffff&hx;
 /* yn(n,NaN) = NaN */
 if((ix|((u_int32_t)(lx|-lx))>>31)>0x7ff00000) return x+x;
 /* yn(n,+-0) = -inf and raise divide-by-zero exception. */
 if((ix|lx)==0) return -one/vzero;
 /* yn(n,x<0) = NaN and raise invalid exception. */
 if(hx<0) return vzero/vzero;
 sign = 1;
 if(n<0){
  n = -n;
  sign = 1 - ((n&1)<<1);
 }
 if(n==0) return(y0(x));
 if(n==1) return(sign*y1(x));
 if(ix==0x7ff00000) return zero;
 if(ix>=0x52D00000) { /* x > 2**302 */
    /* (x >> n**2)
     *     Jn(x) = cos(x-(2n+1)*pi/4)*sqrt(2/x*pi)
     *     Yn(x) = sin(x-(2n+1)*pi/4)*sqrt(2/x*pi)
     *     Let s=sin(x), c=cos(x),
     *  xn=x-(2n+1)*pi/4, sqt2 = sqrt(2), then
     *
     *     n sin(xn)*sqt2 cos(xn)*sqt2
     *  ----------------------------------
     *     0  s-c   c+s
     *     1 -s-c   -c+s
     *     2 -s+c  -c-s
     *     3  s+c   c-s
     */
  sincos(x, &s, &c);
  switch(n&3) {
      case 0: temp =  s-c; break;
      case 1: temp = -s-c; break;
      case 2: temp = -s+c; break;
      case 3: temp =  s+c; break;
  }
  b = invsqrtpi*temp/sqrt(x);
 } else {
     u_int32_t high;
     a = y0(x);
     b = y1(x);
 /* quit if b is -inf */
     GET_HIGH_WORD(high,b);
     for(i=1;i<n&&high!=0xfff00000;i++){
  temp = b;
  b = ((double)(i+i)/x)*b - a;
  GET_HIGH_WORD(high,b);
  a = temp;
     }
 }
 if(sign>0) return b; else return -b;
}