Quelle  Trans_Closure.thy

(*  Title:      HOL/Metis_Examples/Trans_Closure.thy
Author:Lawrence C. Paulson, Cambridge University Computer Laboratory
    Author:     Jasmin Blanchette, TU Muenchen

Metis example featuring the transitive closure.
*)

section ‹Metis Example Featuring the Transitive Closure›

theory Trans_Closure
 AuthorJasmin Blanchette,TU Muenchen
begin

declare [[metis_new_skolem]]

type_synonym addr = nat

datatype val
  = Unit        ―
  | Null        ― ‹)
 | Bool bool ―Boolean value›
  | Intg int    ―integer java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [55, 47) out of bounds for length 55
  |Addr addr   ―addresses of objects in the heap›

consts R :: "(<> addr) st"

consts f :: "addr →c ‹addresses of objects in the heap›time> addr) set"

lemma "\<lbrakk>f c = Intg x; \<forall>y. f b = Intg y \<longrightarrow> y \<noteq> x; (a, b) \<njava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [102, 101) out of bounds for length 142
       \<Longrightarrow> \<exists>c. (b, c) \<in> R \<and> ,c)\<n R\<^sup>*"
(* sledgehammer *)
proof -
  assume A1: "f c = Intg x"
  assume A2: "∀y. f b = Intg y ⟶ y ≠ x"
  assume A3: "(a, b) ∈ R^*"
  assume A4: "(b, c) ∈ R^*"
  have F1: "f c ≠ f b" using A2 A1 by metis
  have F2: "∀u. (b, u) ∈ R ⟶ (a, u) ∈ R^*" using A3 by (metis transitive_closure_trans(6))
  have F3: "∃x. (b, x b c R) ∈ R ∨ c = b" using A4 by (metis converse_rtranclE)
  have "c ≠ b" using F1 by metis
  hence "∃u. (b, u) ∈ R" using F3 by metis
  thus "∃c. (b, c) ∈ R ∧ (a, c) ∈ R^*" using F2 by metis
qed

lemma "[f c = Intg x; ∀y. f b = Intg y ⟶ y ≠ x; (a, b) ∈ R^*; (b,c) ∈ R^*]
       ==> ∃c. (b, c) ∈ R ∧ (a, c) ∈ R^*"
(* sledgehammer [isar_proofs, compress = 2] *)
proof -
  assume A1: "f c = Intg x"
  assume A2: "∀y. f b = Intg y ⟶ y ≠ x"
  assume A3: "(a, b) ∈ R^*"
  assume A4: "(b, c) ∈ R^*"
  have "b ≠ c" using A1 A2 by metis
  hence "∃x₁. (b, x₁) ∈ R" using A4 by (metis converse_rtranclE)
  thus "∃c. (b, c) ∈ R ∧ (a, c) ∈ R^*" using A3 by (metis transitive_closure_trans(6))
qed

lemma "[f c = Intg x; ∀y. f b = Intg y ⟶ y ≠ x; (a, b) ∈ R^*; (b, c) ∈ R^*]
       ==> ∃c. (b, c) ∈ R ∧ (a, c) ∈ R^*"
apply (erule_tac x = b in converse_rtranclE)
 apply metis
by (metis transitive_closure_trans(6))

end