Quellcodebibliothek Statistik Leitseite products/Sources/formale Sprachen/GAP/pkg/alco/doc/   (GAP Algebra Version 4.15.1©)  Datei vom 5.8.2025 mit Größe 43 kB image not shown  

Quelle  chap5.html   Sprache: HTML

 

 products/Sources/formale Sprachen/GAP/pkg/alco/doc/chap5.html


</java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [24, 25) out of bounds for length 24

<!DOCTYPE html PUBLICD20/java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [26, 25) out of bounds for length 26
         "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd">

<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="en">
<head>
<title>GAP (ALCO) -   <other type="fjournal">Jo of Algebra/ther
<meta http-equiv="content-type" content="text/html; java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 54 out of bounds for length 37
<meta name="generator" content="GAPDoc2HTML" />
<link rel="stylesheet" type="text/java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 0
<script src="manual.js" type="text/javascript"></script>
< java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [13, 12) out of bounds for length 57
</head>
<body class="chap5"  onload="jscontent()">


<div class="chlinktop"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href=  <

<div class="chlinkprevnexttop"> <a href="chap0.html">[Top of Book]</a>   <a href<ame>first>.H.<first><last>onway<last>

<p id="mathjaxlink" class="  <  
<p><a id="X7F6AA3C97E706F4F" name="X7F6AA3C97E706F4F"></a></p>
<><a =c.html5  =">ctonionjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [103, 102) out of bounds for length 127
<classjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [23, 20) out of bounds for length 188
<java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [7, 6) out of bounds for length 7
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X86B3BD9C84639A7E">5.1-1 IsLeechLatticeGramMatrix</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X78F07E967C6779FF">5.1-2 IsGossetLatticeGramMatrix</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X824D0D267A7C0765">5.1-3 <spanvolume61<java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [21, 20) out of bounds for length 21
</span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X7C043B907EC1FE89">5.1-4 0237634(8#915)<mrnumber
<span class="ContSS"><br /<rclass20.27<java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [26, 25) out of bounds for length 26
</div></div>
<div class="  <mrreviewer>J. E. /rreviewer>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X781F36A17CD9FDA6">5.2-1 UnderlyingOctonionRing</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X8120692484549A5B">5.2-2 OctonionGramMatrix</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class=
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X80B8907778F550EE">5.2-4 LLLReducedBasisCoefficients</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X844164BC82764599 author>
</span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X7F4BF549811C33EA">5.2-6 GramMatrix</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X825D41AE7A411640">5.2-7 <span class="Heading">java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 136 out of bounds for length 13
</span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap5.html#X79F28E887AF17FFC">5.3 <span class="Heading">Octonion Lattice Operations</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html  <ear>/java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [19, 18) out of bounds for length 19
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X84CF857E83452B67">5.3-2 ScalarProduct</a></span>
<<pages79–8/pages>
</span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X83B4296D7A2F59F8">5.3-4 <span class="Heading">Lattice Vector Coefficients</span></a>
</span>
</div></div>
</div>

<h3>5 <span class="Heading">Octonion Lattice Constructions</span></h3>

<p>An <em>octonion vector</em> is a tuple of octonions. Vector addition and scalar multiplication are defined in the usual way, as component-wise addition and scalar multiplication. We can define the<java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [11, 10) out of bounds for length 26

<p>An <em>octonion lattice</em> is a free left ℤtype"journal>Bulletin  thejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [52, 51) out of bounds for length 64

<p>The <strong class="pkg">      Society<other

<p><a id="X86D2839985CED826" name="X86D2839985CED826"></a></p>

<>5. span class"">Gram java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [44, 43) out of bounds for length 77

<p>The Gram matrix of a lattice basis is a computed by taking the inner products of /<entry>

<p><a id="X86B3BD9C84639A7E" name="X86B3BD9C84639A7E"></a></p>

<h5>5.1-1 IsLeechLatticeGramMatrix</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><trentry id="<java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 28 out of bounds for length 28
<p>This function tests whether <var class="Arg">G</var> is a Gram matrix of the Leech lattice. In order for the function to return <code class="code">true</code>, argument <var class="Arg">G</var> must satisfy the following. First, <var class="Arg">G</var> must satisfy <code class="code">IsOrdinaryMatrix(<var class="Arg">G</var>)</code>, <code class="code">DimensionsMat(<var class="Arg">G</var

<p><a id="X78F07E967C6779FF" name="X78F07E967C6779FF"></a></p>

<h5>5.1-2 IsGossetLatticeGramMatrix</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">&#an style='color: green'>8227; IsGossetLatticeGramMatrix</code>( <var class="Arg">G</var> )</td><td<ssn0020-<issn>
<p>This function tests whether <var class="Arg">G</var> is a Gram matrix of the Gosset lattice, also known as the <span class="Math">E_8</span> java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 151 out of bounds for length 26

java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 38 out of bounds for length 38

<h5><ther=fjournal">nventiones Mathematicae</other>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">&#an style='color: green'>8227; MOGLeechLatticeGeneratorMatrix</code></td><td class="tdright">( global variable )</td></tr></table></div>
<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">&#an style='color: green'>8227; MOGLeechLatticeGramMatrix</code></td><article><entry>
<p>The Leech lattice


<div class="example"><pre><span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">M := MOGLeechLatticeGeneratorMatrix;;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">G := M*TransposedMat(M)/8;;</span>
<span class="GAPprompt"<>
true
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsLeechLatticeGramMatrix(G);</span>
</re>/iv>

<p><a id="X7C043B907EC1FE89" name="X7C043B907EC1FE89"></a></p>

<h5>5.1-4 IsOctonionLattice</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">&#an style='color: green'>8227; IsOctonionLattice</code></td><td class="  title>Three on exceptionalgroups<
<p>Asdescribed above,an lattice  afree  ℤby   set octonion  andequipped some octonionvector norm.The category codeclasscode">sOctonionLattice<ode> s  subcategoryof code =code"IsFreeLeftModule/>used  class="></java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [323, 322) out of bounds for length 738

<p>Let <var class="Arg">L</var> be an object that satisfies <code class="code">IsOctonionLattice(<var class="Arg">L</var>)</code>. Then <var class="Arg">L</var> is equipped with an attribute <code class="code"><var class="Arg">G</var> = OctonionGramMatrix(<var class="Arg">L</var>)</code>. The matrix <var class="Arg">G</var> is a Hermitian octonion matrix used to define the octonion lattice norm and inner product. For <var class="Arg">x</var>, <var class="Arg">y</var> octonion vectors in <var class="Arg">L</var>, the inner product of <var class="Arg">x</var> and <var class="Arg">y</var> is computed as <code class="code">Trace(<var class="Arg">x</var>*<var class="Arg">G</var>*ComplexConjugate 969</ooktitle>

<p><a id="X7FCBD0FF7D8C0C19" name="X7FCBD0FF7D8C0C19"></a></p>

<h5>5.1-5 OctonionLatticeByGenerators</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">&#an style='color: green'>8227; OctonionLatticeByGenerators</code>( <var class="Arg">gens</var>[, <var class="Arg">G</var>[, <var class<uthor>
<p>This function returns a free left module that satisfies <code class="func">IsOctonionLattice</code> (<a href="chap5.html#X7C043B907EC1FE89"><span class="<java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [13, 10) out of bounds for length 13

<  >Computersin java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [34, 33) out of bounds for length 75

<p>The argument <var class="Arg">G</var> is stored as the attribute <code class="code">OctonionGramMatrix</code> and is java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 124 out of bounds for length 46

<p>In the following example, we construct the octonion lattice consisting of all octavian integer triples where the norm of java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 125 out of bounds for length 41


<div class="example"><pre><span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">O := OctavianIntegers;;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">gens := Concatenation(List(IdentityMat(3), x -> List(Basis(O), y -> x*y)  pages‐39 SIAMAMS Proc,Vol.IV<pages>
[ [ (-1/2)*e1+(1/2)*e5+(1/2)*e6+(1/2)*e7, 0*e1, 0*e1 ],
  [ (-1/2)*e1+(-1/2)*e2+(-1/2)*e4+(-1/2)*e7, 0*e1, 0*e1 ],
   12)*+1/*3(-/)e5+-/)*,0e1, 0* ]
  [ (1/2)*e1+(-1/2)*e3+(1/2)*e4+(1/2)*e5, 0*e1, 0*e1 ],
  [ (-1/2)*e2+(1/2)*e3+(-1/2)*e5+(1/2)*e7, 0*e1, 0*e1 ],
  [ 1/)*+(/2*e4+(1/2)*e5+(-1/2)*6 0*e1,0* ,
  [ (-1/2)*e1+(-1/2)*e3+(1/2)*e4+(-1/2)*e5, 0*e1, 0*e1 ],
  /2)e6(-1/)*8, *e1, 0*e1 ]
  [ 0*e1, (-1/2)*e1+(1/2)*e5+(1/2)*e6+(1/2)*e7, 0*e1 ],
  [ 0*e1, (-1/2)*e1+(-1/2)*e2+(-1/2)*e4+(-1/2)*e7, 0*e1 ],
  [ 0*e1, (1/2)*e2+(1/2)*e3+(-1/2)*e5+(-1/2)*e7, 0*e1 ],
  *1,(/)*1+-*3(/)e4+1/*5, *1 ,
  [ 0*e1, (-1/2)*e2+(1/2)*e3+(-1/2)*e5+(1/2)*e7, 0*e1 ],
  [ 0*e1, (1/2)*e2+(-1/2)*e4+(1/2)*e5+(-1/2)*java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 0
  [ 0*e1, (-1/2)*e1+(-1/2)*e3+(1/2)*e4+(-1/2)*e5, 0*e1 ],
  [ 0*e1, (1/2)*e1+(-1/2)*e4+(1/2)*e6+(-1/2)*e8, 0*e1 ],
  [ 0*e1, 0*e1, (-1/<ame>firstJ H<first<ast><last<name>
  [ 0*e1, 0*e1, (-1/2)*e1+(-1/2)*e2+(-1/2)*e4+(-1/2)*e7 ],
  [ 0*e1, 0*e1, (1/2)*e2+(1/2)*e3+(-1/2)*e5+(-1/2)*e7 ],
  [ 0*e1, 0*e1, (1/2)*e1+(-1/2)*e3+(1/2)*e4+(1/2)*e5 ],
  [ 0*e1, 0*e1, (-1/2)*e2+(1/2)*e3+(-1/2)*e5+(1/2)*e7 ],
  [ 0*e1, 0*e1, (1/2)*e2+(-1/2)*e4+(1/2)*e5+(-1/2)*e6 ],
  [ 0*e1, 0*e1, (-1/2)*e1+(-1/2)*e3+(1/2)*e4+(      CL/>rentzianjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [44, 42) out of bounds for length 50
  [ 0*e1, 0*e1, (1/2)*e1+(-1/2)*e4+(1/2)*e6+(-1/2)*e8 ] ]
<span class="GAPprompt">gap></span> <span<year>983<<year>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">B := CanonicalBasis(O);;</span>
< class=GAPprompt"gap&t</span <class="GAPinput">3:= OctonionLatticeByGeneratorsgens G, B)</pan
<free left module over Integers, with 24 generators>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">KnownAttributesOfObject(O3);</span>
[ "LeftActingDomain","Dimension","eneratorsOfLeftOperatorAdditiveGroup,
  "UnderlyingOctonionRing", "UnderlyingOctonionRingBasis",
  "OctonionGramMatrix", "GeneratorsAsCoefficients",
  "LLLReducedBasisCoefficients" ]</pre></div>

<p><a id="X786A725B7ADE7BDE" name="X786A725B7ADE7BDE"></a></p>

<. <java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [14, 13) out of bounds for length 69

<p>An free left module <var class="Arg">L</var> that satisfies <java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [2, 1) out of bounds for length 41

<p><a id="X781F36A17CD9FDA6" name="X781F36A17CD9FDA6"></a></p>

<h5>5.2-1 UnderlyingOctonionRing</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code<thertype=oden>java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [29, 28) out of bounds for length 36
<p>other ">ournal Algebra/java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 51 out of bounds for length 51


<div class="example">java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [9, 8) out of bounds for length 36
<algebra-with-one of dimension 8 over Rationals></pre></div>

<p><a id="X8120692484549A5B" name="X8120692484549A5B"></a></p>

<h5>5.2-2 OctonionGramMatrix</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">&#an style='color: green'>8227; OctonionGramMatrix</code>( <var class="Arg">L</var> )</td><td class="tdright">( attribute entry =">article>
<p>When <var class="Arg">L</var> satisfies <code class="java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 60 out of bounds for length 56


<div class="example"><pre><span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">OctonionGramMatrix(O3);; Display(last);</    name><first>R. A.</first><last>Parker</last></name>
[ [  (1/2)*e8,      0*e1,      0*e1 ],
  [      0*e1,  (1/2)*e8,      0*e1 ],
  [      0*e1,      0*e1,  (1/2)*e8 ] ]</pre></div>

<p><" name=X79113ABC7A39CFFB>/>p>

<h5>5.2-3 GeneratorsAsCoefficients</h5>

<div class="func<author> 
<p>When <var class="Arg">L</var> satisfies <code class="code">IsOctonionLattice(<var class="Arg">L</var>)</code>, this attribute converts the lattice generators, <code class="code">GeneratorsOfLeftOperatorAdditiveGrouptitle>hecoveringradius  the<></>echlattice<title>


<div class="example"><pre><span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">GeneratorsAsCoefficients(O3);</span>
[ [ 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [10, 9) out of bounds for length 22
  <ages261–290</ages>
  [ 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 0,  <therjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [14, 13) out of bounds for length 36
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, ,00, 0, , , 0, , , ,0,  ,0, , ,0, ,0 ,0 ,0]
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0,<last><name>
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0<author
  [ 0, 0, 0, 0, <Twentyforjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [44, 43) out of bounds for length 72
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0<ssn0080-<issn>
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  ,0,0, ,0,0 0 0 0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0  ,
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0 ],
  [Mathematicaland Physical Sciences<other>
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1 ] ]</pre></div>

<p><a id="X80B8907778F550EE" name="X80B8907778F550EE"></a></p>

<h5>5.2-4 LLLReducedBasisCoefficients</h5>

<div class="func"><table class="func" width=  author>
<p>When <var class="Arg">L</var> satisfies <code class="code">IsOctonionLattice(<var class="Arg">L</var>)</code>, this attribute stores the LLL reduced basis java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 166 out of bounds for length 56


<div class="example"><pre><span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">LLLReducedBasisCoefficients(O3);</span>
[ [ 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 1,0, 0, 0,0 0, 0, 0, 0, 0, 0,  0, 0 0, 0 0, 0,0, 0, 0 ,0 0],
  [ 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, <java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [10, 9) out of bounds for length 20
  [ 0, <java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [13, 8) out of bounds for length 30
  [ 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0<rclass10E05 10E25)mrclass>
  [ 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,  <ther"oden>BAMOADjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [36, 35) out of bounds for length 36
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0 
   0,,0 ,0 ,0 ,0  ,
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 <Cambridgeschool>
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 type"sporsimp/
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, <</java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [20, 19) out of bounds for length 20
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0    <<R .java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [36, 35) out of bounds for length 56
   0,0,0,0 ,0,0 0 0, 0, 0, 0, 0,0, 0, 0,0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0 ],
stabilizers>
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0<journal>J. Algebra/ournal>
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, <java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [8, 7) out of bounds for length 19
  [ 0, 0, 0, 0 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [8, 7) out of bounds for length 24

<p><<rnumber>340404(9 5159<mrnumber>

<h5>5.2-5 <span class="Heading">Octonion Lattice Dimension</span></h5>

<div class="func"><table <rclass>20D05</rclass>
<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">&#an style='color: green'>8227; Rank</code>( <var class="Arg">L</var> )</td><td class="tdright">( attribute )</td></tr></table></div>
<> satisfies <codeclass="code">IsOctonionLattice(<var class="Arg">L</var>)</code>, these attributes store the lattice dimension, also known as rank. This is calculated by evaluating <code class="code">Rank( GeneratorsAsCoefficients(<var class="Arg">L</var>) )</code>.</p>


<div class="example"><pre><span class="GAPprompt">java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 0
24
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Rank(O3)<java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [10, 9) out of bounds for length 10
24</pre></div>

<p><a id="X7F4BF549811C33EA" name="X7F4BF549811C33EA"></a><  /java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [11, 10) out of bounds for length 13

<>526GramMatrixh5

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 72 out of bounds for length 23
<> java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [43, 42) out of bounds for length 506


<div class="example"><pre><span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">g := 2*GramMatrix(O3);;</span>
span java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [12, 11) out of bounds for length 86
[ 24, 24 ]
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">DeterminantMat(g);</span>
1</pre></div>

<p><a id="X825D41AE7A411640" name="X825D41AE7A411640"></a></p>

52< ="eading">attice Basis<span><h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">&#an style='color: green'>8227; Basis</code>( <var class="Arg">L</var> )</td  <ssn>021-693<issn
<div class="func"><table class="func" width="100%"><<rclass>D05</java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [26, 25) out of bounds for length 26
<div class="funcjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 36 out of bounds for length 36
<div class="func"><table class="func"java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
<p>When 


<div class="<name><first>java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [36, 35) out of bounds for length 58
true
<spanname<>last/java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [51, 48) out of bounds for length 56
[ [ (-1/2)*e1+(1/2)*e5+(1/2)*e6+(1/2)*e7, 0*e1, 0*e1 ],
  [ (-1/2)*e1+(-1/2)*e2+(-1/2)*e4+(-1/2)*e7, 0*e1, 0*e1 ],
  [ (1/2)*e1+(1/2)*e2+(1/2)*e4+(-1/2)*e7, 0*e1, 0*e1 ],
  [ (1/2)*e2+(1/2)*e3+(-1/2)*e5+(-1/2)*e7, 0*e1, 0*e1 ],
  [ (1/2)*e1+(1/2)*e3+(1/2)*e4+(-1/2)*e5, 0*e1, 0*e1 ],
  [ (1/2)*e1+(1/2)*e2+(1/2)*e3+(-1/2)*e6, 0*e1, 0*e1 ],
  [ (1/2)*e2+(1/2)*e4+(-1/2)*e5+(<>2java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [20, 19) out of bounds for length 20
  [ (1/2)*e1+(1/2)*e2+(-1/2)*e5+(-1/2)*e8, 0*e1, 0*e1 ],
  [ 0*e1, (-1/2)*e1+(1/2)*e5+(1/2)*e6+(1/2)*e7, 0*e1 ],
  [ 0*e1, (-1/2)*e1+(-1/2)*e2+(-1/2)*e4+(-1/2)*e7, 0*e1 ],
  [ 0*e1, (1/2)*e1+(1/2)*e2+(1/2)*e4+(-1  mrreviewerN .Ajava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 42 out of bounds for length 42
  [ 0*e1, (1/2)*e2+(1/2)*e3+(-1/2)*e5+(-1/2)*e7, 0*e1 ],
  [0e1 (1/2*1(1)e3+/)*4(12)*java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [47, 46) out of bounds for length 55
  [ 0*e1, (1/2)*e1+(1/2)*e2+(1/2)*e3+(-1/2)other"java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [24, 23) out of bounds for length 36
  [<article></entry>
  [ 0*e1, (1/2)*e1+(1/2)*e2+(-1/2)*e5+(-1/2)*e8, 0*e1 ],
  [ 0*e1, 0*e1, (-1/2)*e1+(1/2)*e5+(1/2)*e6+(1/2)*e7 ],
  [ 0*e1, 0*e1, (-1/2)*e1+(-1/2)*e2+(-1/2)*e4+(-1/2)*e7 ],
  [ 0*e1, 0*e1, (1/2)*e1+(1/2)*e2+(1/2)*e4+(-1/2)*e7 ],
  [ 0*e1, 0*e1, (1/2)*e2+(1/2)*e3+(-1/2)*e5+(-1/2)*e7 ],
  [ 0*e1, 0*e1, (1/2)*e1+(1/2)*e3+(1/2)*e4+(-1/2)*e5 ],
  [0e1 * 1/*1+12)e2+/)e3+-/*6 ,
  [ 0*e1, 0*e1, (1/2)*e2+(1/2)*e4+(-1/2)*e5+(-1/2)*e6 ],
  [ 0*e1, 0*e1, (1/2)*e1+(1/2)*e2+(-1/2)*e5+(-1/2)*e8 ] ]
< class=APprompt>gap></span <class="O)  ( x -t;List(b,y &t; ScalarProductO, x, ))</>
true</pre></div>

<p><a id="X79F28E887AF17FFC" name="X79F28E887AF17FFC"></a></p  <ournalProc.Roy  Ser </>

<h4>5.3   <><year

<p>There are some additional operations available to study octonion lattices. In the>80<java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [22, 21) out of bounds for length 22

<p><a id="X87BDB89B7AAFE8AD" name="X87BDB89B7AAFE8AD"></a></p>

<h5><code>5.3-1 \in</code></h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">&#an style='color: green'>8227; \in</code>( <mrnumber660414(m10022a</java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [42, 41) out of bounds for length 42
<p>When <var class="Arg">L</var> satisfies <code class="code">IsOctonionLattice(<var class="Arg">Lother "coden>/>


divclass"><><panclass=GAPprompt>java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [54, 53) out of bounds for length 138
[ (1/2)*e2+(1/2)*e3+(-1/2)*e5+(-3/2)*e7, 0*e1, 0*e1 ]
<spanMathematical
true
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">\in( <thertype=porsimp>o1/ther>
true</pre></div>

<p><aid=X84CF857E83452B67 name"84F857E83452B67">/>/>

<h5>5.3-2 ScalarProduct</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td<ntryid"at72java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [29, 28) out of bounds for length 29
<p>When <var class="Arg">L</var>     name<irstN J/<astjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [47, 45) out of bounds for length 59


<div class="example"><pre><span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">b := BasisVectors(Basis(O3));;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">b[1];</span>
[ (-1/2)*e1+(1/2)*e5+(1/2)*e6+(1/2)*<itle>Conwaysgroup. java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [34, 33) out of bounds for length 56
<class=>gt;/pan><pan class=GAPinput"ramMatrix(3) =List(,x-> List(b,y-&t;ScalarProductO3,  y))</span>
true
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">c := LLLReducedBasisCoefficients(O3  <ear1972<year>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">c[1];</span>
[ 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">GramMatrix(O3) = List(c, x -><
true</pre></div>

<p><a id="java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 16 out of bounds for length 13

<h5>5.3-3 <span class="Heading">Sublattice Identification</span></h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">&#an style='color: green'>8227; IsSublattice</code>( <var class="Arg">L</var>, <var class="Arg">M</var> <journal>Arch. Math.(asel)</journal>
<div class="func"><table class="<ear>1977</year>
<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">&#an style='color: green'>8227; \=</code>( <var class="Arg">L</var>, <var class="Arg">M</var> )</td><td class="tdright">( operation&<volume>29</volume>
<p>When <var class="Arg">L</var> and <<pages389‐391</java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [30, 29) out of bounds for length 30


<div class="example"><pre><span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">s := LinearCombination
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">leech_gens := List(Basis(OctavianIntegers), x -> </span>
<span class="GAPprompt">></span> <span class="GAPinput">x*[[s,s,0],[0,s,s],ComplexConjugate([s,s,s])]);;</span>
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [14, 13) out of bounds for length 44
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Leech := OctonionLatticeByGenerators>
<free left module over Integers, with 24 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 53 out of bounds for length 0
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsLeechLatticeGramMatrix
true
<;</span><panclass="">IsSublattice(Leech, O3)</span>
false
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsSublattice(O3, Leech);</span>
true
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsSubset(O3, Leech);</span>
true/re><div

<p><a id="X83B4296D7A2F59F8" name="X83B4296D7A2F59F8"></a></p>

<h5>5.3-4 <span class="Heading">Lattice Vector Coefficients</span></h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">&#an style='color: green'>8227; Coefficients</code>( <var class="Arg">B</var>, <var class="Arg">y</var> )</td><td class="tdright">( operation )</td></tr></table></div>
<p>Let <var class="Arg">B</var> satisfy <code class<olume>0<volume>


<div class="example"><java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 25 out of bounds for length 20
<span class="GAPprompt">gap></span> <ages>213‐227/ages>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">rand = LinearCombination(Basis(O3), coeffs);</span><issn>0218693/
true</pre></div>


<div class="chlinkprevnextbot"> <a href="chap0.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap4.html <rclass>005</java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [26, 25) out of bounds for length 26


<div class="chlinkbot"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href  <thertype="fjournal">Journal of Algebra</other>

<hr />
<p class="foot">generated by <a href="https://www.math.rwth-aachen.de/~Frank.Luebeck/GAPDoc">GAPDoc2HTML</a></p>
</body>
</html>

Messung
CHZG
8410010094

¤ Dauer der Verarbeitung: 0.23 Sekunden  ¤

*© Formatika GbR, Deutschland






Wurzel

Suchen

PVS Prover

Isabelle Prover


Cephes Mathematical Library

Vienna Development Method

Haftungshinweis

Die Informationen auf dieser Webseite wurden nach bestem Wissen sorgfältig zusammengestellt. Es wird jedoch weder Vollständigkeit, noch Richtigkeit, noch Qualität der bereit gestellten Informationen zugesichert.

Bemerkung:

Die farbliche Syntaxdarstellung und die Messung sind noch experimentell.