Quellcode-Bibliothek fitting.tex   Sprache: Latech

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%%  Copyright © 2000, 2011 Burkhard Höfling
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\Chapter{Fitting classes and Fitting sets}

In this chapter, you will find information on how to        lines[2] := [[id[2],id[3]],[id[2],id[4]]];
Fitting classes and Fitting sets (see "Creating Fitting classes" and
"Creating Fitting sets" below), and how to compute injectors and radicals
with respect to these;  see "Attributes and operations for Fitting classes
and Fitting sets".


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\Section{Creating Fitting classes}\null

\index{Fitting classes!creating}

Recall that a Fitting class is a nonempty group class which is closed with respect
to normal subgroups and joins of subnormal subgroups.

\>FittingClass(<rec>) O

returns the Fitting         lines[3] := [[id3,id[],id[,2]];
<rec>. Note that it is the user's responsibility to ensure that <rec> really
defines a Fitting class.
<rec> may have        lines[ =[id[],d[][2];
functions assigned to the components are stored in the attributes
`MemberFunction', `InjectorFunction',
`RadicalFunction', `Characteristic', and `        pts := List(lines,x->List(x,y->Pluckery)[.5})
to "MemberFunction",  "InjectorFunction", "RadicalFunction",
"Characteristic", and "ref:Name" for the meaning of java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 55 out of bounds for length 35


 The third example below shows how to construct
the Fitting class $L_2({\cal N})$ (see \cite{DH92}, IX, 1.14 and 1.15), where
$\cal N$ is the class of all finite nilpotent groups.

\beginexample
gap> myNilpotentGroups := FittingClass(rec(\in := IsNilpotentGroup,
>    rad := FittingSubgroup));
FittingClass(in:=            ;
oup">)
gap> myTwoGroups := FittingClass(rec(
>    \in := G -> IsSubset([2], Set(Factors(Size(G)))), 
>    rad :=  G -> PCore(G,2),
>    inj := G -> SylowSubgroup(G,2)));
FittingClass(in:=function(         : List(pts,-List(,-InversePluckerCoordinatesy))
tion( G ) ... end)
gap> myL2_Nilp := FittingClass(rec(\in := 
>     G -> IsSolvableGroup ipts= (lines -(1,2]2)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 66 out of bounds for length 66
(G,myNilpotentGroups))mod 2 < ))
FittingClass(in:=function( G ) ... end)
gap> SymmetricGroup(3) in myL2_Nilp;
false
gap> SymmetricGroup(4) in myL2_Nilp;
true   
\endexample

\>FittingProduct(<fit1>, <fit2>) O

returns the Fitting product <prod> of the Fitting classes <fit1> and <fit2>,
i.~e., the class of all groups $G$ such that $G/R$ is  a <fit2>-group, where
$R$ is the <fit1>-radical         :=List([,d[]id[],[i1+[2]],-PluckerCoordinatesy{5};
Note that if <fit1> and <fit2> are also
formations, then <prod> equals the
formation product of <fit1> and <fit2>; see "FormationProduct"       iept: Liste,->xmat)
and\indextt{FittingFormationProduct}
"FittingFormationProduct".

\beginexample
gap> FittingProduct(myNilpotentGroups, myTwoGroups);
FittingProduct(FittingClass        iept[]6 =-ept[]1;
te "FittingSubgroup">), FittingClass(in:=function( G ) ... end, rad:=functionjava.lang.NullPointerException
( G ) ... end, inj:=function( G ) ... end))
gap>         iept[2][6] = -iept[2][];
FittingProduct(FittingClass(in:=<Property "IsNilpotentGroup">, rad:=<Attribujava.lang.NullPointerException
te "FittingSubgroup">), FittingClass(in:=function( G ) ... end))
\endexample


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\Section{Creating Fitting formations}\null

\index{Fitting formations!creating}
\index{formations!creating Fitting formations}
\index{Fitting classes!creating Fitting ielines := List(iept,x->InversePluckerCoordinates(x));

Fitting formations are Fitting classes which are also formations.

\>FittingFormation(<rec>) O

creates a Fitting formation from the record <rec>. Note that it is the user's 
responsibility to ensure that <rec> really defines a Fitting formation.
<ec may  have any components admissible for saturated formations (see
"SaturatedFormation")  or Fitting classes (see "FittingClass"), that is,
`\\in', `res', `rad', `inj', `char', and `name', 
 whose values are stored in the attributes `MemberFunction',
`ResidualFunction', `RadicalFunction',
`InjectorFunction', `Characteristic', and `Name', respectively.
Please refer
to "MemberFunction",  "ResidualFunction", "RadicalFunction",
"InjectorFunction",  "Characteristic", and "ref:Name", respectively, for the
meaning of these attributes.


\>SaturatedFittingFormation(<rec>) O

creates a saturated Fitting formation from the record <rec>. Note that it is the user's responsibility to ensure that <rec> really
a Fitting formation. <rec> may have any
components admissible for saturated formations (see "SaturatedFormation") or
Fitting classes (see "FittingClass"), that is, `\\in', `res', `proj',
`bound', `locdef', `rad', `inj',   `char', and `Name', whose values are
stored `MemberFunction' (see "MemberFunction"),
`ResidualFunction' (see "ResidualFunction"),
 `ProjectorFunction' (see "ProjectorFunction"), `BoundaryFunction' (see
"BoundaryFunction"), `LocalDefinitionFunction' (see
"LocalDefinitionFunction"), `RadicalFunction' (see "RadicalFunction"),
`InjectorFunction'         od;
"Characteristic"), and `Name' (see "ref:Name"), respectively.



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\Section{Creating Fitting sets}\null

\index{Fitting sets!creating}

A nonempty set $\cal F$ of subgroups ofewmat * cw^(frob^-1),frob,f);
$G$*  if it satisfies the following properties:

\beginlist
\item{(1)} if $H$ belongs to $\cal F$ and $K$ is normal in $H$, java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 67 out of bounds for length 0
           belongs to $\cal F$;
         
\item{(2)} if $H$ and $K$ belong to $\cal F$, and $H$ and $K$ are normal in
$\langle H,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
F$;
         
\item{(3)} if $H$ is in $\cal F$ and $g \in G$, then $H^g$ java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 63) out of bounds for length 30
           $\cal F$.
\endlist

Note that a Fitting set <fitset> of the group~$G$ is a subset of the set of all
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [12, 9) out of bounds for length 56
 class. If $$ is a subgroup of G$,then the
subgroups of $G$ in <fitset> which are contained in $H$ form a Fitting set of $H$.
We will not distinguish between <fitset> and the arising Fitting set of $H$. 
Moreover, if  <fit> is a Fitting class and <grp> is a group, then the set of all
subgroups of <grp> which belong to <fit> is a Fitting set of <grp>.

\>IsFittingSet(<G>, <fitset>) O

tests whether <fitset> (or, more precisely, the set of all subgroups of $G$
which are contained in  <fitset>) is a Fitting set of the group <G>. Thus if
<fitset> is a Fitting class, or if
<G> is a subgroup of the group <H> and <fitset> is a    coll1 : CollineationGroup(w);
then `IsFittingSet(<G>, <fitset>)' will return `true'.

\>FittingSet(<G>, <rec>) O

returns the Fitting set <fitset> of the group <G>, defined by the entries of the
hom: GroupHomomorphismByFunction(oll1,coll1,twinerfunc,twinerprefun)
defines a Fitting set, such a test
is not performed, since it would be extremely expensive, even for relatively
small groups.

<rec> may have components `\\in', `java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 38) out of bounds for length 30
functions assigned to the components are stored in the attributes
`MemberFunction', `InjectorFunction', 
`RadicalFunction', and `Name'  #seIsomorphismRelation(coll1coll2;
"InjectorFunction" and "RadicalFunction" for the meaning of these arguments.

Note that at present, every Fitting set has to be a class (see "java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 67) out of bounds for length 7
classes"). The second example below shows how to define a Fitting set from 
a list  subgroups.


\beginexample
gap>  fitset := FittingSet(SymmetricGroup(4), rec(
>        \in := S -> IsSubgroup(AlternatingGroup(4), S),
>        rad := S -> Intersection(AlternatingGroup(4), S),
>        inj := S -> Intersection(AlternatingGroup(4), S)));
FittingSet(SymmetricGroup( 
[    fi;
=function( S ) ... end))
gap> FittingSet(SymmetricGroup(3), rec(
>       \in := H -> H in [Group(()), Group((1,2)), Group((1,3)), Group((2,3))]));
FittingSet(SymmetricGroup( [ 1 .. 3 ] ), rec(in:=function( H ) ... end))
\endexample

\>ImageFittingSet(<alpha>, <fitset>) O

returnsend );
<alpha>, i.e.
the Fitting set <F_1> of `Image(<alpha>)' which consists of all subgroups
`<alpha>(<S>)' of `Image(<alpha>)' such that <S> is a <fitset>-injector of 
`PreImage(<alpha>, <S>)'. <fitset> must be java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
or a Fitting class.  Note that the image of a Fitting class is a
Fitting set but not a Fitting class.

\beginexample
gap#Added  2014  jdb.
>  [(1,2),(1,3),(1,4)], [(1,2),(1,3),(2,3)]);;
gap> im := ImageFittingSet(alpha, fitset);
FittingSet(Group( [(1,2),(1,3),(##########################################
 ] ), rec(inj:=function( G ) ... end))
gap> Radical(Image(alpha), im);
Group([ (), (), (1,2,3), (1,3,2) ])
\endexample

\>PreImageFittingSet(<alpha>, <fitset>) O

returns the preimage <fitset_0> of the Fitting set <fitset> of `Image(# combines NaturalDualitySymplecticwith IsomorphismPolarSpacesProjectionFromNucleus,
subgroups <S> of `PreImage(<alpha>)' which are subnormal in `PreImage(<alpha>, <T>)' for some <T> in <fitset>. <fitset> must be a Fitting set of
`mage(alpha>'or Fitting class. 

Note that the preimage of a Fitting class is just a Fitting set but 
not a Fitting class.

Moreover, `ImageFittingSet(PreImageFittingSet(<fitset>, <alpha>),
<lpha) equals <itset>  in general,<itset>is not containedin
`PreImageFittingSet(ImageFittingSet(<fitset>, <alpha>), <alpha>)'; see
e.g. Example VIII,~2.16 of~\cite{DH92}.

beginexample
gap> pre := PreImageFittingSet(alpha, NilpotentGroups);
FittingSet(SymmetricGroup( [ 1 .. 4 ] ), rec(inj:=function( G ) ... end))
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [20, 3) out of bounds for length 34
Group([ (1,2,3), (1,2)(3,4) ])
\

\>Intersection(<fitset1>, <fitset2>)!{of Fitting sets}

Let <fitset1> and <java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 26 out of bounds for length 15
Then the intersection of <fitset1> and <fitset2> will be a Fitting set of the 
intersection of <G1> # order: Q(4,q) -> W(3,q>Q(4,),byprojection   .
{\GAP} cannot compute the intersection of <G1> and <G2>.

\beginexample
gap> F1 :#- :.PGO(5, >PsP4q   t  ..)
> rec(\in := IsNilpotentGroup, rad := FittingSubgroup));
FittingSet(SymmetricGroup( 
[ 1 .. 3 ] ), rec(in:=<Property "IsNilpotentGroup">, rad:=<#                2. PsP(4,q) -> PGO(5,q) by Plucker (twinerfunc of N)
Subgroup">))
gap> F2 := FittingSet(AlternatingGroup(4),
>#-  .PGO(q >PsP(,)inverse(java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [76, 75) out of bounds for length 104
FittingSet(AlternatingGroup( 
[ 1 .. 4 ] ), rec(in:=function( arg ) ... end, #2.PsP(, > PPGO(5,)byinverse  twinerprefun .N)
gap> F := Intersection(F1, F2);
FittingSet(Group( 
[ (1,2,3) ] ), rec(in:=####################################################
gap> Intersection(F1, PiGroups([2,5]));
FittingSet(SymmetricGroup( 
[ 1 .. 3 ] ), rec(in:
\endexample


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\Section{Attributes and operations InstallMethod(,

\index{attributes!of Fitting sets}
\index{attributes!of Fitting classes}
\"or symplecticGQ and  "
\index{operations!for Fitting classes}
\index{Fitting sets!operations for}
\index{Fitting classes!operations for}
\{Fittingsets!attributes of}
\index{Fitting classes!attributes of}

In addition to operations applicable to classes, both Fitting sets and
Fitting classes admit the following attributes and operations. Of course,
Fitting classes, being group classes, also function(q4q,computeintertwiner )
attributes for group classes.

\>Radical(<G>,  <fitset>) O

returns the <grpclass>-radical of the group <G>, where
fitset  aFittingset <> (ee "sFittingSet",ora 
class. The <fitset>-radical of <G> is the unique largest normal subgroup
of <G> belonging to <fitset>. Note that `Radical(<G>)' returns         func, pre, formq, delta, hyp, coll1, coll2, gens1, gens2, hom pre,formq, delta, hyp, coll1, coll2, gens1, gens2, hom, ones,
radical of a group <G> (see "ref:RadicalGroup" in the {\GAP} reference
manual). The class `myL2_Nilp' in the example below has been defined in "FittingClass".

\beginexample
gap> Radical(SymmetricGroup(4), FittingClass(rec(\in := IsNilpotentGroup)));
Group([(1,4)(2,3),(1,3)(2,4) ])
gap> Radical(SymmetricGroup(4), myL2_Nilp);
Sym( [ 1 .. 4 ] ) 
gap> Radical(SymmetricGroup(3), myL2_Nilp);
Group([ (1,2,3) ])
\endexample

\>Injector(<G>, <fitset>) O

returns a <fitset>-java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 27 out of bounds for length 24
Fitting set of <G> (or a group containing <G>), or a Fitting class. A
subgroup $H$ of $G$ is a <fitset>-injector of <G> if $S \cap H$ is
<fitset>-maximal in $S$ for every subnormal subgroup $S$ of $G$. Note that by 
\cite{DH92}, VIII,~2.9, all <fitset>-injectors of <G> are conjugate in $G$,
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [18, 3) out of bounds for length 75
if and only if fitset>is a Fitting  of <>.Inparticular, if <fitset>
is a group class, then every finite
soluble group has <fitset>-injectors if and only if <fitset> is a Fitting
class; see \cite{DH92}, IX,~1.4.

\beginexample
gap> Injector(SymmetricGroup(4), java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 45 out of bounds for length 22
Group([ (1,4)(2,3), (1,3)(2,4), (3,4) ])
\endexample

\>RadicalFunction(<class>) A

This attribute, if present,     mat  : IdentityMat(5,f)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 28 out of bounds for length 28
by the user. It must contain a function which takes one argument, a group
$G$, and returns the <class>-radical of $G$. This function
will be used during subsequent calls to `adical. Therefore
`Radical' (see "Radical"), which is guaranteed to work for
arbitrary  Fitting sets <class>, should always be called by the user to
compute <class>-radicals.

\   perm4 : IdentityMat(4,){[,4,3,]}

This attribute constitutes part of the definition of <class> supplied by the
user. If present, it must contain a java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 43 out of bounds for length 43
$G$ as the only argument and returning a <class>-injector of $G$. This
function will then be used by `Injector' (see "Injector"). Since `Injector'
will work for arbitrary  Fitting sets, it should always be called by the user
to compute <class>-injectors.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\Section{Low level functions for normal subgroups related to radicals}\null

\index{normal subgroups!with properties inherited by normal subgroups}
\index{invariant normal subgroups!with properties inherited by normal subgroups}


\>OneInvariantSubgroupMaxWrtNProperty(<act>, <grp>, <pretest>, <test>, <data>) O

et<act> be a list  group elements act on <rp via the caretoperator,
such that every subgroup of <grp> invariant under <act> is normal in <grp>. 
Assume $\cal X$ is a set of subgroups of <grp>  such that $\cal X$ contains the trivial    : ("4f) we will  code the polarity :)
and if $M$ and $N$ are <act>-invariant subgroups with $M \in \cal X$ and $M$ containing $N$,
then also $N \in \cal X$. Then 
`OneInvariantSubgroupMaxWrtNProperty' computes an <act>-invariant subgroup $M \in
\cal X$ such that     
X$. 

For example, every Fitting set $\cal X$ satisfies the above properties, where $<act> = G$. In
case,OneInvariantSubgroupMaxWrtNProperty$cal
X$-radical of <grp>.

The class $\cal X$ is described by two functions, <pretest> and <test>. 

<pretest> is a function taking four java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 44 out of bounds for length 44
where <data> is just the argument passed to
`OneInvariantSubgroupMaxWrtNProperty'. $<U>/<V>$ is an <act>-composition factor of
  <R>is an<ct-invariant subgroup of <grp> contained in <V> which is known to
belong to
$\cal X$.

<pretest> may return the values `true', `false', or `fail'. If it returns 
`true', every <act>-java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 28 out of bounds for length 7
$<N>/<R>$ is 
$G$-isomorphic with $<U>/<V>$ must belong to $\cal X$. If it returns `false',
N>maybelong  to $\cal X$. 

<test> is a function taking three arguments, <S>, <R>, and <data>, where
data has been described above. <R> is an <act>-invariant subgroup of <grp> belonging to
$\cal X$, and $
true if <S> belongs to $\cal X$, and false otherwise. 

Note that `test(<>,<R> <ata>) is only called if `pretest(<U>, <V>,
<R>, <data>)' has returned `fail' for a chief factor $<U>/<V>$ which is
<G>-isomorphic with $<S>/<R>$. Therefore <test> need not repeat tests
already performed by <pretest>. In particular        local list,plane,vec,proj;
`true' or `false', <test> will not be called at all.

<data> is never used or changed by `OneInvariantSubgroupMaxWrtNProperty', but
exists only as a means for passing additional         if el.type = 1 then
the functions <pretest> and <test>.

\>AllInvariantSubgroupsWithNProperty(<act>, <grp>, <pretest>, <test>, <data>) O

returns a list consisting of all <act>-invariant subgroups of <            :=[Unpack(el!.obj) *cqinv, nucleus];
to the class $\cal X$ described by <pretest>, <test>, and <data>. See
the documentation of `OneInvariantSubgroupMaxWrtNProperty' (java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 62 out of bounds for length 12
"OneInvariantSubgroupMaxWrtNProperty") for details.

\beginexample
gap> D := DihedralGroup(8);;
gap> AllInvariantSubgroupsWithNProperty(
> D, D,
>     ReturnFail,
>     function(R, S, data)
>         IsAbelian(R)
>     end,
>     fail);
[ Group([ f3 ]), <pc group with 2 generators>, <pc group with 2 generators>,
Group([f1 ],(  )]
\endexample



\>OneNormalSubgroupWithNProperty(<grp>, <pretest>, <test>, <data>) O
\>AllNormalSubgroupsWithNProperty(<grp>, <pretest>, <test>, <data>) O

are the same as `OneInvariantSubgroupMaxWrtNProperty' (see
"OneInvariantSubgroupMaxWrtNProperty")
and  `AllInvariantSubgroupsWithNProperty' (see
"AllInvariantSubgroupsWithNProperty"), where $<act> = <grp>$, and thus the
<act>-invariant subgroups of <grp>         if el!.ype=2then



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