Quelle  chap4.html   Sprache: HTML

<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>

<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN"
         "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd">

<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="en">
<head>
<title>GAP (GaussForHomalg) - Chapter 4: Example</title>
<meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<meta name="generator" content="GAPDoc2HTML" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="manual.css" />
<script src="manual.js" type="text/javascript"></script>
<script type="text/javascript">overwriteStyle();</script>
</head>
<body class="chap4"  onload="jscontent()">


<div class="chlinktop"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0.html">Top</a>  <a href="chap1.html">1</a>  <a href="chap2.html">2</a>  <a href="chap3.html">3</a>  <a href="chap4.html">4</a>  <a href="chapA.html">A</a>  <a href="chapBib.html">Bib</a>  <a href="chapInd.html">Ind</a>  </div>

<div class="chlinkprevnexttop"> <a href="chap0.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap3.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chapA.html">[Next Chapter]</a>   </div>

<p id="mathjaxlink" class="pcenter"><a href="chap4_mj.html">[MathJax on]</a></p>
<p><a id="X85861B017AEEC50B" name="X85861B017AEEC50B"></a></p>
<div class="ChapSects"><a href="chap4.html#X85861B017AEEC50B">4 <span class="Heading">Example</span></a>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap4.html#X791E21F47805048A">4.1 <span class="Heading">HomHom</span></a>
</span>
</div>
</div>

<h3>4 <span class="Heading">Example</span></h3>

<p><a id="X791E21F47805048A" name="X791E21F47805048A"></a></p>

<h4>4.1 <span class="Heading">HomHom</span></h4>

<p>The following example is taken from Section 2 of <a href="chapBib.html#biBBREACA">[BR06]</a>. <br /> <br /> The computation takes place over the ring <span class="SimpleMath">R=ℤ/2^8ℤ</span>, which is directly supported by the package <strong class="pkg">Gauss</strong>.</p>

<p>Here we compute the (infinite) long exact homology sequence of the covariant functor <span class="SimpleMath">Hom(Hom(-,ℤ/2^7ℤ),ℤ/2^4ℤ)</span> (and its left derived functors) applied to the short exact sequence<br /> <br /> <span class="SimpleMath">0 -> M_=ℤ/2^2ℤ --alpha_1--> M=ℤ/2^5ℤ --alpha_2--> _M=ℤ/2^3ℤ -> 0</span>.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">LoadPackage( "Modules", ">= 2023.10-01" );</span>
true
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">R := HomalgRingOfIntegers( 2^8 );</span>
Z/256Z
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Display( R );</span>
<An internal ring>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">M := LeftPresentation( [ 2^5 ], R );</span>
<A cyclic left module presented by 1 relation for a cyclic generator>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Display( M );</span>
Z/256Z/< ZmodnZObj(32,256) >
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">M;</span>
<A cyclic left module presented by 1 relation for a cyclic generator>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">_M := LeftPresentation( [ 2^3 ], R );</span>
<A cyclic left module presented by 1 relation for a cyclic generator>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Display( _M );</span>
Z/256Z/< ZmodnZObj(8,256) >
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">_M;</span>
<A cyclic left module presented by 1 relation for a cyclic generator>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">alpha2 := HomalgMap( [ 1 ], M, _M );</span>
<A "homomorphism" of left modules>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsMorphism( alpha2 );</span>
true
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">alpha2;</span>
<A homomorphism of left modules>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Display( alpha2 );</span>
   1

the map is currently represented by the above 1 x 1 matrix
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">M_ := Kernel( alpha2 );</span>
<A cyclic left module presented by yet unknown relations for a cyclic generato\
r>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">alpha1 := KernelEmb( alpha2 );</span>
<A monomorphism of left modules>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">seq := HomalgComplex( alpha2 );</span>
<An acyclic complex containing a single morphism of left modules at degrees 
[ 0 .. 1 ]>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Add( seq, alpha1 );</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">seq;</span>
<A sequence containing 2 morphisms of left modules at degrees [ 0 .. 2 ]>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsShortExactSequence( seq );</span>
true
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">seq;</span>
<A short exact sequence containing 2 morphisms of left modules at degrees 
[ 0 .. 2 ]>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Display( seq );</span>
-------------------------
at homology degree: 2
Z/256Z/< ZmodnZObj(4,256) > 
-------------------------
   8

the map is currently represented by the above 1 x 1 matrix
------------v------------
at homology degree: 1
Z/256Z/< ZmodnZObj(32,256) > 
-------------------------
   1

the map is currently represented by the above 1 x 1 matrix
------------v------------
at homology degree: 0
Z/256Z/< ZmodnZObj(8,256) > 
-------------------------
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">K := LeftPresentation( [ 2^7 ], R );</span>
<A cyclic left module presented by 1 relation for a cyclic generator>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">L := RightPresentation( [ 2^4 ], R );</span>
<A cyclic right module on a cyclic generator satisfying 1 relation>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">triangle := LHomHom( 4, seq, K, L, "t" );</span>
<An exact triangle containing 3 morphisms of left complexes at degrees 
[ 1, 2, 3, 1 ]>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">lehs := LongSequence( triangle );</span>
<A sequence containing 14 morphisms of left modules at degrees [ 0 .. 14 ]>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">ByASmallerPresentation( lehs );</span>
<A non-zero sequence containing 14 morphisms of left modules at degrees 
[ 0 .. 14 ]>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsExactSequence( lehs );</span>
false
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">lehs;</span>
<A non-zero left acyclic complex containing 
14 morphisms of left modules at degrees [ 0 .. 14 ]>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Assert( 0, IsLeftAcyclic( lehs ) );</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Display( lehs );</span>
-------------------------
at homology degree: 14
Z/256Z/< ZmodnZObj(4,256) > 
-------------------------
   4

the map is currently represented by the above 1 x 1 matrix
------------v------------
at homology degree: 13
Z/256Z/< ZmodnZObj(8,256) > 
-------------------------
   2

the map is currently represented by the above 1 x 1 matrix
------------v------------
at homology degree: 12
Z/256Z/< ZmodnZObj(8,256) > 
-------------------------
   2

the map is currently represented by the above 1 x 1 matrix
------------v------------
at homology degree: 11
Z/256Z/< ZmodnZObj(4,256) > 
-------------------------
   4

the map is currently represented by the above 1 x 1 matrix
------------v------------
at homology degree: 10
Z/256Z/< ZmodnZObj(8,256) > 
-------------------------
   2

the map is currently represented by the above 1 x 1 matrix
------------v------------
at homology degree: 9
Z/256Z/< ZmodnZObj(8,256) > 
-------------------------
   2

the map is currently represented by the above 1 x 1 matrix
------------v------------
at homology degree: 8
Z/256Z/< ZmodnZObj(4,256) > 
-------------------------
   4

the map is currently represented by the above 1 x 1 matrix
------------v------------
at homology degree: 7
Z/256Z/< ZmodnZObj(8,256) > 
-------------------------
   2

the map is currently represented by the above 1 x 1 matrix
------------v------------
at homology degree: 6
Z/256Z/< ZmodnZObj(8,256) > 
-------------------------
   2

the map is currently represented by the above 1 x 1 matrix
------------v------------
at homology degree: 5
Z/256Z/< ZmodnZObj(4,256) > 
-------------------------
   4

the map is currently represented by the above 1 x 1 matrix
------------v------------
at homology degree: 4
Z/256Z/< ZmodnZObj(8,256) > 
-------------------------
   2

the map is currently represented by the above 1 x 1 matrix
------------v------------
at homology degree: 3
Z/256Z/< ZmodnZObj(8,256) > 
-------------------------
   2

the map is currently represented by the above 1 x 1 matrix
------------v------------
at homology degree: 2
Z/256Z/< ZmodnZObj(4,256) > 
-------------------------
   8

the map is currently represented by the above 1 x 1 matrix
------------v------------
at homology degree: 1
Z/256Z/< ZmodnZObj(16,256) > 
-------------------------
   1

the map is currently represented by the above 1 x 1 matrix
------------v------------
at homology degree: 0
Z/256Z/< ZmodnZObj(8,256) > 
-------------------------
</pre></div>


<div class="chlinkprevnextbot"> <a href="chap0.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap3.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chapA.html">[Next Chapter]</a>   </div>


<div class="chlinkbot"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0.html">Top</a>  <a href="chap1.html">1</a>  <a href="chap2.html">2</a>  <a href="chap3.html">3</a>  <a href="chap4.html">4</a>  <a href="chapA.html">A</a>  <a href="chapBib.html">Bib</a>  <a href="chapInd.html">Ind</a>  </div>

<hr />
<p class="foot">generated by <a href="https://www.math.rwth-aachen.de/~Frank.Luebeck/GAPDoc">GAPDoc2HTML</a></p>
</body>
</html>