Quelle  chap1_mj.html   Sprache: HTML

<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>

<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN"
         "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd">

<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="en">
<head>
<script type="text/javascript"
  src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.0/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML">
</script>
<title>GAP (Guarana) - Chapter 1: Introduction</title>
<meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<meta name="generator" content="GAPDoc2HTML" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="manual.css" />
<script src="manual.js" type="text/javascript"></script>
<script type="text/javascript">overwriteStyle();</script>
</head>
<body class="chap1"  onload="jscontent()">


<div class="chlinktop"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0_mj.html">Top</a>  <a href="chap1_mj.html">1</a>  <a href="chap2_mj.html">2</a>  <a href="chap3_mj.html">3</a>  <a href="chap4_mj.html">4</a>  <a href="chapBib_mj.html">Bib</a>  <a href="chapInd_mj.html">Ind</a>  </div>

<div class="chlinkprevnexttop"> <a href="chap0_mj.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0_mj.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap0_mj.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap2_mj.html">[Next Chapter]</a>   </div>

<p id="mathjaxlink" class="pcenter"><a href="chap1.html">[MathJax off]</a></p>
<p><a id="X7DFB63A97E67C0A1" name="X7DFB63A97E67C0A1"></a></p>
<div class="ChapSects"><a href="chap1_mj.html#X7DFB63A97E67C0A1">1 <span class="Heading">Introduction</span></a>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap1_mj.html#X7E0647AA861EA26C">1.1 <span class="Heading">About Guarana</span></a>
</span>
</div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap1_mj.html#X7E6EB42287311C08">1.2 <span class="Heading">Setup for computing the correspondence</span></a>
</span>
</div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap1_mj.html#X80AD720B85736A05">1.3 <span class="Heading">Collection</span></a>
</span>
</div>
</div>

<h3>1 <span class="Heading">Introduction</span></h3>

<p><a id="X7E0647AA861EA26C" name="X7E0647AA861EA26C"></a></p>

<h4>1.1 <span class="Heading">About Guarana</span></h4>

<p>In this package we demonstrate the algorithmic usefulness of the so-called Mal'cev correspondence for computations with infinite polycyclic groups; it is a correspondence that associates to every <span class="SimpleMath">\(\Q\)</span>-powered nilpotent group <span class="SimpleMath">\(H\)</span> a unique rational nilpotent Lie algebra <span class="SimpleMath">\(L_H\)</span> and vice-versa. The Mal'cev correspondence was discovered by Anatoly Mal'cev in 1951 <a href="chapBib_mj.html#biBMal51">[Mal51]</a>.</p>

<p><a id="X7E6EB42287311C08" name="X7E6EB42287311C08"></a></p>

<h4>1.2 <span class="Heading">Setup for computing the correspondence</span></h4>

<p>Let <span class="SimpleMath">\(G\)</span> be a finitely generated torsion-free nilpotent group, i.e.\ a <span class="SimpleMath">\(T\)</span>-group. Then <span class="SimpleMath">\(G\)</span> can be embedded in a <span class="SimpleMath">\(\Q\)</span>-powered hull <span class="SimpleMath">\(G^\)</span>. The group <span class="SimpleMath">\(G^\)</span> is a <span class="SimpleMath">\(\Q\)</span>-powered nilpotent group and is unique up to isomorphism. We denote the Lie algebra which corresponds to <span class="SimpleMath">\(G^\)</span> under the Mal'cev correspondence by <span class="SimpleMath">\(L(G)= L_{G^}\)</span>. We provide an algorithm for setting up the Mal'cev correspondence between <span class="SimpleMath">\(G^\)</span> and the Lie algebra <span class="SimpleMath">\(L(G)\)</span>. That is, if <span class="SimpleMath">\(G\)</span> is given by a polycyclic presentation with respect to a Mal'cev basis, then we can compute a structure constants table of <span class="SimpleMath">\(L(G)\)</span>. Furthermore for a given <span class="SimpleMath">\(g\in G\)</span> we can compute the corresponding element in <span class="SimpleMath">\(L(G)\)</span> and vice versa.</p>

<p><a id="X80AD720B85736A05" name="X80AD720B85736A05"></a></p>

<h4>1.3 <span class="Heading">Collection</span></h4>

<p>Every element of a polycyclically presented group has a unique normal form. An algorithm for computing this normal form is called a collection algorithm. Such an algorithm lies at the heart of most methods dealing with polycyclically presented groups. The current state of the art is collection from the left <a href="chapBib_mj.html#biBGeb02">[Geb02]</a><a href="chapBib_mj.html#biBLGS90">[LGS90]</a><a href="chapBib_mj.html#biBVLe90">[VL90]</a> }. This package contains a new collection algorithm for polycyclically presented groups, which we call Mal'cev collection <a href="chapBib_mj.html#biBALi07">[AL07]</a>. Mal'cev collection is in some cases dramatically faster than collection from the left, while using less memory.</p>


<div class="chlinkprevnextbot"> <a href="chap0_mj.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0_mj.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap0_mj.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap2_mj.html">[Next Chapter]</a>   </div>


<div class="chlinkbot"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0_mj.html">Top</a>  <a href="chap1_mj.html">1</a>  <a href="chap2_mj.html">2</a>  <a href="chap3_mj.html">3</a>  <a href="chap4_mj.html">4</a>  <a href="chapBib_mj.html">Bib</a>  <a href="chapInd_mj.html">Ind</a>  </div>

<hr />
<p class="foot">generated by <a href="http://www.math.rwth-aachen.de/~Frank.Luebeck/GAPDoc">GAPDoc2HTML</a></p>
</body>
</html>