Quellcodebibliothek Statistik Leitseite products/Sources/formale Sprachen/GAP/pkg/guarana/doc/   (Algebra von RWTH Aachen Version 4.15.1©)  Datei vom 11.1.2022 mit Größe 15 kB image not shown  

Quelle  chap2_mj.html

  Sprache: HTML 		 

 products/Sources/formale Sprachen/GAP/pkg/guarana/doc/chap2_mj.html


<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>

<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN"
         "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd">

<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="en">
<head>
<script type="text/javascript"
  src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.0/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML">
</script>
<title>GAP (Guarana) - Chapter 2: Computing the Mal'cev correspondence</title>
<meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<meta name="generator" content="GAPDoc2HTML" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="manual.css" />
<script src="manual.js" type="text/javascript"></script>
<script type="text/javascript">overwriteStyle();</script>
</head>
<body class="chap2"  onload="jscontent()">


<div class="chlinktop"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0_mj.html">Top</a>  <a href="chap1_mj.html">1</a>  <a href="chap2_mj.html">2</a>  <a href="chap3_mj.html">3</a>  <a href="chap4_mj.html">4</a>  <a href="chapBib_mj.html">Bib</a>  <a href="chapInd_mj.html">Ind</a>  </div>

<div class="chlinkprevnexttop"> <a href="chap0_mj.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0_mj.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap1_mj.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap3_mj.html">[Next Chapter]</a>   </div>

<p id="mathjaxlink" class="pcenter"><a href="chap2.html">[MathJax off]</a></p>
<p><a id="X781C0216819C09A8" name="X781C0216819C09A8"></a></p>
<div class="ChapSects"><a href="chap2_mj.html#X781C0216819C09A8">2 <span class="Heading">Computing the Mal'cev correspondence</span></a>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap2_mj.html#X7D3DC4ED855DC13C">2.1 <span class="Heading">The main functions</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap2_mj.html#X7A3976DA834C0E90">2.1-1 MalcevObjectByTGroup</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap2_mj.html#X7A6720DD7B4AF466">2.1-2 UnderlyingGroup</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap2_mj.html#X7CA021E28527763E">2.1-3 UnderlyingLieAlgebra</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap2_mj.html#X7E6926C6850E7C4E">2.1-4 Dimension</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap2_mj.html#X860138DA82C4F56D">2.1-5 MalcevGrpElementByExponents</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap2_mj.html#X849FCF377F5E29C2">2.1-6 MalcevLieElementByCoefficients</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap2_mj.html#X86CC8994841B1193">2.1-7 RandomGrpElm</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap2_mj.html#X876F868B78430678">2.1-8 RandomLieElm</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap2_mj.html#X7E7C986487C4EB02">2.1-9 Log</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap2_mj.html#X86E48BC98197839E">2.1-10 Exp</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap2_mj.html#X7857704878577048">2.1-11 *</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap2_mj.html#X80761843831B468E">2.1-12 Comm</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap2_mj.html#X86C4910279A45173">2.1-13 MalcevSymbolicGrpElementByExponents</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap2_mj.html#X849FCF377F5E29C2">2.1-14 MalcevLieElementByCoefficients</a></span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap2_mj.html#X81CAD2F27B2066C4">2.2 <span class="Heading">An example application</span></a>
</span>
</div>
</div>

<h3>2 <span class="Heading">Computing the Mal'cev correspondence</span></h3>

<p><a id="X7D3DC4ED855DC13C" name="X7D3DC4ED855DC13C"></a></p>

<h4>2.1 <span class="Heading">The main functions</span></h4>

<p>Let <span class="SimpleMath">\(G\)</span> be a <span class="SimpleMath">\(T\)</span>-group and <span class="SimpleMath">\(G^\)</span> its <span class="SimpleMath">\(\Q\)</span>-powered hull. In this chapter we describe functionality for setting up the Mal'cev correspondence between <span class="SimpleMath">\(G^\)</span> and the Lie algebra <span class="SimpleMath">\(L(G)\)</span>. The data structures needed for computations with <span class="SimpleMath">\(G^\)</span> and <span class="SimpleMath">\(L(G)\)</span> are stored in a so-called Mal'cev object. Computational representations of elements of <span class="SimpleMath">\(G^\)</span>, respectively <span class="SimpleMath">\(L(G)\)</span>, will be called Mal'cev group elements, respectively Mal'cev Lie elements.</p>

<p><a id="X7A3976DA834C0E90" name="X7A3976DA834C0E90"></a></p>

<h5>2.1-1 MalcevObjectByTGroup</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ MalcevObjectByTGroup</code>( <var class="Arg">N</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>If <var class="Arg">N</var> is a a <var class="Arg">T</var>-group (i.e. a finitely generated torsion-free nilpotent group), given by a polycyclic presentation with respect to a Mal'cev basis, then this function computes the Mal'cev correspondence for <var class="Arg">N</var> and stores the result in a so-called Mal'cev object. Otherwise this function returns `fail'. In the moment this function is restricted to groups <var class="Arg">N</var> of nilpotency class at most 9.</p>

<p><a id="X7A6720DD7B4AF466" name="X7A6720DD7B4AF466"></a></p>

<h5>2.1-2 UnderlyingGroup</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ UnderlyingGroup</code>( <var class="Arg">mo</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>For a Mal'cev object <var class="Arg">mo</var> this function returns the <var class="Arg">T</var>-group, which was used to build <var class="Arg">mo</var>.</p>

<p><a id="X7CA021E28527763E" name="X7CA021E28527763E"></a></p>

<h5>2.1-3 UnderlyingLieAlgebra</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ UnderlyingLieAlgebra</code>( <var class="Arg">mo</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>For a Mal'cev object <var class="Arg">mo</var> this function returns the Lie algebra, which underlies the correspondence described by <var class="Arg">mo</var>.</p>

<p><a id="X7E6926C6850E7C4E" name="X7E6926C6850E7C4E"></a></p>

<h5>2.1-4 Dimension</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ Dimension</code>( <var class="Arg">mo</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns the dimension of the Lie algebra that underlies the Mal'cev object <var class="Arg">mo</var>.</p>

<p><a id="X860138DA82C4F56D" name="X860138DA82C4F56D"></a></p>

<h5>2.1-5 MalcevGrpElementByExponents</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ MalcevGrpElementByExponents</code>( <var class="Arg">mo</var>, <var class="Arg">exps</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>For a Mal'cev object <var class="Arg">mo</var> and an exponent vector <var class="Arg">exps</var> with rational entries, this functions returns the Mal'cev group element, which has exponents <var class="Arg">exps</var> with respect to the Mal'cev basis of the underlying group of <var class="Arg">mo</var>.</p>

<p><a id="X849FCF377F5E29C2" name="X849FCF377F5E29C2"></a></p>

<h5>2.1-6 MalcevLieElementByCoefficients</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ MalcevLieElementByCoefficients</code>( <var class="Arg">mo</var>, <var class="Arg">coeffs</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>For a Mal'cev object <var class="Arg">mo</var> and a coefficient vector <var class="Arg">coeffs</var> with rational entries, this functions returns the Mal'cev Lie element, which has coefficients <var class="Arg">coeffs</var> with respect to the basis of the underlying Lie algebra of <var class="Arg">mo</var>.</p>

<p><a id="X86CC8994841B1193" name="X86CC8994841B1193"></a></p>

<h5>2.1-7 RandomGrpElm</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ RandomGrpElm</code>( <var class="Arg">mo</var>, <var class="Arg">range</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>For a Mal'cev object <var class="Arg">mo</var> this function returns the output of MalcevGrpElementByExponents( <var class="Arg">mo</var>, <var class="Arg">exps</var> ), where <var class="Arg">exps</var> is an exponent vector whose entries are randomly chosen integers between -<var class="Arg">range</var> and <var class="Arg">range</var>.</p>

<p><a id="X876F868B78430678" name="X876F868B78430678"></a></p>

<h5>2.1-8 RandomLieElm</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ RandomLieElm</code>( <var class="Arg">mo</var>, <var class="Arg">range</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>For a Mal'cev object <var class="Arg">mo</var> this function returns the output of MalcevLieElementByExponents( <var class="Arg">mo</var>, <var class="Arg">coeffs</var> ), where <var class="Arg">coeffs</var> is a coefficient vector whose entries are randomly chosen integers between -<var class="Arg">range</var> and <var class="Arg">range</var>.</p>

<p><a id="X7E7C986487C4EB02" name="X7E7C986487C4EB02"></a></p>

<h5>2.1-9 Log</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ Log</code>( <var class="Arg">g</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>For Mal'cev group element <var class="Arg">g</var> this function returns the corresponding Mal'cev Lie element.</p>

<p><a id="X86E48BC98197839E" name="X86E48BC98197839E"></a></p>

<h5>2.1-10 Exp</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ Exp</code>( <var class="Arg">x</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>For Mal'cev Lie element <var class="Arg">x</var> this function returns the corresponding Mal'cev group element.</p>

<p><a id="X7857704878577048" name="X7857704878577048"></a></p>

<h5>2.1-11 *</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ *</code>( <var class="Arg">g</var>, <var class="Arg">h</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns the product of Mal'cev group elements.</p>

<p><a id="X80761843831B468E" name="X80761843831B468E"></a></p>

<h5>2.1-12 Comm</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ Comm</code>( <var class="Arg">x</var>, <var class="Arg">y</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>If <var class="Arg">x</var>,<var class="Arg">y</var> are Mal'cev group elements, then this function returns the group theoretic commutator of <var class="Arg">x</var> and <var class="Arg">y</var>. If <var class="Arg">x</var>,<var class="Arg">y</var> are Mal'cev Lie elements, then this function returns the Lie commutator of <var class="Arg">x</var> and <var class="Arg">y</var>.</p>

<p><a id="X86C4910279A45173" name="X86C4910279A45173"></a></p>

<h5>2.1-13 MalcevSymbolicGrpElementByExponents</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ MalcevSymbolicGrpElementByExponents</code>( <var class="Arg">mo</var>, <var class="Arg">exps</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>For a Mal'cev object <var class="Arg">mo</var> and an exponent vector <var class="Arg">exps</var> with rational indeterminates as entries, this functions returns the Mal'cev group element, which has exponents <var class="Arg">exps</var> with respect to the Mal'cev basis of the underlying group of <var class="Arg">mo</var>.</p>

<p><a id="X849FCF377F5E29C2" name="X849FCF377F5E29C2"></a></p>

<h5>2.1-14 MalcevLieElementByCoefficients</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ MalcevLieElementByCoefficients</code>( <var class="Arg">mo</var>, <var class="Arg">coeffs</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>For a Mal'cev object <var class="Arg">mo</var> and a coefficient vector <var class="Arg">coeffs</var> with rational indeterminates as entries, this functions returns the Mal'cev Lie element, which has coefficients <var class="Arg">coeffs</var> with respect to the basis of the underlying Lie algebra of <var class="Arg">mo</var>.</p>

<p><a id="X81CAD2F27B2066C4" name="X81CAD2F27B2066C4"></a></p>

<h4>2.2 <span class="Heading">An example application</span></h4>


<div class="example"><pre>
 gap> n := 2;
 2
 gap> F := FreeGroup( n );
 <free group on the generators [ f1, f2 ]>
 gap> c := 3;
 3
 gap> N := NilpotentQuotient( F, c );
 Pcp-group with orders [ 0, 0, 0, 0, 0 ]
 
 gap> mo := MalcevObjectByTGroup( N );
 <<Malcev object of dimension 5>>
 gap> dim := Dimension( mo );
 5
 gap> UnderlyingGroup( mo );
 Pcp-group with orders [ 0, 0, 0, 0, 0 ]
 gap> UnderlyingLieAlgebra( mo );
 <Lie algebra of dimension 5 over Rationals>
  
 gap> g := MalcevGrpElementByExponents( mo, [1,1,0,2,-1/2] );
 [ 1, 1, 0, 2, -1/2 ]
 gap> x := MalcevLieElementByCoefficients( mo, [1/2, 2, -1, 3, 5 ] );
 [ 1/2, 2, -1, 3, 5 ]
 
 gap> h := RandomGrpElm( mo );
 [ 5, -3, 0, -2, 8 ]
 gap> y := RandomLieElm( mo );
 [ 3, 9, 5, 5, 2 ]
 
 gap> z := Log( g );
 [ 1, 1, -1/2, 7/3, -1/3 ]
 gap> Exp( z ) = g;
 true
 gap> k := Exp( y );
 [ 3, 9, 37/2, 77/4, 395/4 ]
 gap> Log( k ) = y;
 true
 
 gap> g*h;
 [ 6, -2, 5, 10, -15/2 ]
 gap> Comm(g,h);
 [ 0, 0, 8, 10, -18 ]
 gap> Comm(x,y);
 [ 0, 0, 3/2, -25/4, -79/4 ]
 
 gap> indets := List( List( [1..dim], i->Concatenation( "a_", String(i) ) ),
 >                   x->Indeterminate( Rationals, x : new ) );
 [ a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 ]
 gap> g_sym := MalcevSymbolicGrpElementByExponents( mo, indets );
 [ a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 ]
 gap> x_sym := Log( g_sym );
 [ a_1, a_2, -1/2*a_1*a_2+a_3, 1/12*a_1^2*a_2+1/4*a_1*a_2-1/2*a_1*a_3+a_4,
 -1/12*a_1*a_2^2+1/4*a_1*a_2-1/2*a_2*a_3+a_5 ]
 gap> g_sym * g;
 [ a_1+1, a_2+1, a_2+a_3, a_3+a_4+2, 1/2*a_2^2+1/2*a_2+a_3+a_5-1/2 ]
 </pre></div>


<div class="chlinkprevnextbot"> <a href="chap0_mj.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0_mj.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap1_mj.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap3_mj.html">[Next Chapter]</a>   </div>


<div class="chlinkbot"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0_mj.html">Top</a>  <a href="chap1_mj.html">1</a>  <a href="chap2_mj.html">2</a>  <a href="chap3_mj.html">3</a>  <a href="chap4_mj.html">4</a>  <a href="chapBib_mj.html">Bib</a>  <a href="chapInd_mj.html">Ind</a>  </div>

<hr />
<p class="foot">generated by <a href="http://www.math.rwth-aachen.de/~Frank.Luebeck/GAPDoc">GAPDoc2HTML</a></p>
</body>
</html>

Messung V0.5 in Prozent
C=100 H=100 G=100

¤ Dauer der Verarbeitung: 0.12 Sekunden  (vorverarbeitet am  2026-04-30) ¤

*© Formatika GbR, Deutschland




Wurzel

Suchen

Beweissystem der NASA

Beweissystem Isabelle

NIST Cobol Testsuite

Cephes Mathematical Library

Wiener Entwicklungsmethode

Haftungshinweis

Die Informationen auf dieser Webseite wurden nach bestem Wissen sorgfältig zusammengestellt. Es wird jedoch weder Vollständigkeit, noch Richtigkeit, noch Qualität der bereit gestellten Informationen zugesichert.

Bemerkung:

Die farbliche Syntaxdarstellung und die Messung sind noch experimentell.