Quelle  resArtin.gi   Sprache: Shell

#(C) Graham Ellis, 2005-2006

#####################################################################
InstallGlobalFunction(ResolutionArtinGroup,
function(D,K)
local
 Dimension,
 Boundary,       
 Contraction, #not yet used
 EltsG, EltsG1,SSEltsG, SSPairs, 
 Vertices,
 G, gensG, Glist, G1, #G is the Artin group of D. We treat G as a
  GhomG1, gensG1,  #free group. However, we output a copy G1 of
    #G with relators. 
 W, Wgens, GhomW, #W is the Coxeter group of D
 ResGens,
 BoundaryCoeff,
 PseudoBoundary,
 BoundaryRecord,
 m, n, i, S, SD,R,pos;

###############In the spherical case we'll use a permutation representation
###############of Coxeter group elements. 
if CoxeterDiagramIsSpherical(D) then
return ResolutionArtinGroup_spherical(D,K);
fi;
###############
###############

Vertices:=CoxeterDiagramVertices(D);
Glist:=CoxeterDiagramFpArtinGroup(D);
G1:=Glist[1]/Glist[2];         #Take care for this not to cause Knuth-Bendix 
gensG1:=GeneratorsOfGroup(G1); #to start up later on!
G:=Glist[1];
gensG:=GeneratorsOfGroup(G);
GhomG1:=GroupHomomorphismByImagesNC(G,G1,gensG,gensG1);
EltsG:=[];
EltsG1:=[];
SSEltsG:=[];
SSPairs:=[];

ResGens:=[];
ResGens[1]:=[[]];
for n in [1..K] do
ResGens[n+1]:=[];
for S in Combinations(Vertices,n) do
SD:=CoxeterSubDiagram(D,S);
if CoxeterDiagramIsSpherical(SD) then AddSet(ResGens[n+1],S); fi;
od;
od;

#####################################################################
Dimension:=function(n);

if n=0 then return 1;
else return Length(ResGens[n+1]); fi;

end;
#####################################################################

BoundaryRecord:=[];
for n in [1..K] do
BoundaryRecord[n]:=[];
for m in [1..Dimension(n)] do
BoundaryRecord[n][m]:=true;
od;
od;

#####################################################################
BoundaryCoeff:=function(S,T) #S is a set of vertices generating a
    #finite Coxeter group WS. T is a
    #subset of S, and WT is the corresponding
    #subgroup of WS.
local  SD, WS, gensWS, 
 WT, gensWT,
 Trans, 
 WShomG, Ggens,
 x,y,tmp;

SD:=CoxeterSubDiagram(D,S);
WS:=CoxeterDiagramFpCoxeterGroup(SD);
WS:=WS[1]/WS[2];
Ggens:=List(S,x->gensG[Position(Vertices,x)]);
gensWS:=GeneratorsOfGroup(WS);
WShomG:=GroupHomomorphismByImagesNC(WS,G,gensWS,Ggens);
gensWT:=List(T,x->gensWS[Position(S,x)]);
if Length(T)>0 then WT:=Group(gensWT);
else WT:=Group(Identity(WS)); fi;

Trans:=List(Elements(RightTransversal(WS,WT)),x->x^-1);
#Here we use the fact that every coset rep begings with fi
#where fi is the generator of S omitted from T. If I don't 
#want to trust this then I could include a check and return fail
#if the check fails. But I don't think it is difficult to deduce
#from how the coset enumeration algorithm works.

tmp:=[];
for x in Trans do
y:=Image(WShomG,x);
if not y in SSEltsG then 
if not y in tmp then
Add(EltsG,y); 
Add(SSPairs,[y,Length(EltsG)]);
Add(tmp,y);
y:=Image(GhomG1,y); 
Add(EltsG1,y);
fi;
fi;
od;
SSPairs:=SSortedList(SSPairs);
SSEltsG:=List(SSPairs,x->x[1]);

return List(Trans,x->Image(WShomG,x));
end;
#####################################################################

#####################################################################
PseudoBoundary:=function(S) #S is a subset of vertices with finite
    #Coxeter group WS.
local T, bndry, a;

bndry:=[];
for T in Combinations(S,Length(S)-1) do
a:=Difference(S,T)[1];
Append(bndry,[  [T,BoundaryCoeff(S,T),Position(S,a)]  ]);
od;

return bndry;
end;
#####################################################################

#####################################################################
Boundary:=function(n,kk)
local B, B1, FreeGWord, x, y, k;

#n:=AbsoluteValue(m);
if n<1 then return 0; fi;

k:=AbsoluteValue(kk);

if not BoundaryRecord[n][k]=true then 
if kk>0 then return BoundaryRecord[n][k]; 
else return NegateWord(BoundaryRecord[n][k]);fi;
fi;

B:=PseudoBoundary(ResGens[n+1][k]);
B1:=List(B,x->[Position(ResGens[n],x[1]),
 #List(x[2],y->(-1)^(Length(y)+x[3])*Position(EltsG,y))  ]);
 List(x[2],y->(-1)^(Length(y)+x[3])*SSPairs[PositionSorted(SSEltsG,y)][2])  ]);
FreeGWord:=[];
for x in B1 do
for y in x[2] do
Append(FreeGWord,[ [SignInt(y)*x[1],AbsoluteValue(y)] ]);
od;
od;

BoundaryRecord[n][k]:=FreeGWord; 
if kk>0 then return FreeGWord;
else return NegateWord(FreeGWord); fi; 
end;
#####################################################################


R:=         Objectify(HapResolution,
     rec(
     dimension:=Dimension,
     boundary:=Boundary,
     homotopy:=fail,
     elts:=EltsG1,
     group:=G1,
     resGens:=ResGens,
     properties:=
     [["length",n],
      ["characteristic",0],
      ["type","resolution"],
      ["reduced",true]]  ));
for n in [1..Length(R)] do
for i in [1..R!.dimension(n)] do
R!.boundary(n,i);
od;od;

return R;

end);
#####################################################################