Quelle  AboutTorsionSubcomplexes.html   Sprache: HTML

<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01 Transitional//EN">
<html class="gr__math_uni_lu">
<head>
<!-- saved from url=(0050)http://math.uni.lu/~rahm/subpackage-documentation/ -->
  <meta http-equiv="Content-Type"
 content="text/html; charset=utf-8">
  <title>Torsion Subcomplexes Subpackage in HAP</title>
</head>
<body
 style="color: rgb(0, 0, 153); background-color: rgb(204, 255, 255);"
 data-gr-c-s-loaded="true" link="#000066" vlink="#000066"
 alink="#000066">
<span class="viber-share-selection" id="viber2"
 style="position: absolute; top: 0px; left: 0px; width: 24px; height: 23px; display: none; z-index: 2147483647; background-image: url(chrome-extension://dafalpmmoljglecaoelijmbkhpdoobmm/images/text-button@2x.png); cursor: pointer; background-repeat: no-repeat;"></span><br>
<table
 style="text-align: left; margin-left: auto; margin-right: auto; color: rgb(0, 0, 102); width: 1009px; height: 2603px;"
 border="0" cellpadding="20" cellspacing="10">
  <tbody>
    <tr align="center">
      <th style="vertical-align: top;">
      <table style="width: 100%; text-align: left;" cellpadding="2"
 cellspacing="2">
        <tbody>
          <tr>
            <td style="vertical-align: top;"><a
 href="aboutLieCovers.html"><small style="color: rgb(0, 0, 102);">Previous</small></a><br>
            </td>
            <td
 style="text-align: center; vertical-align: top; color: rgb(0, 0, 102);"><big><span
 style="font-weight: bold;">About HAP: Torsion Subcomplexes<br>
            </span></big></td>
            <td style="text-align: right; vertical-align: top;"><a
 href="aboutCubical.html"><small style="color: rgb(0, 0, 102);">next</small></a><br>
            </td>
          </tr>
        </tbody>
      </table>
      <big><span style="font-weight: bold;"></span></big><br>
      </th>
    </tr>
    <tr align="center">
      <td
 style="vertical-align: top; background-color: rgb(255, 255, 255);"><big
 style="font-weight: bold;">Torsion Subcomplexes <br>
      </big> Sub-package by Alexander D. Rahm and Bui Anh Tuan, version
2.1 </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="vertical-align: top; background-color: rgb(255, 255, 255); text-align: left;">Consider
a cell complex with a cellular action of a discrete group G on it, and
consider a prime number p. The goal for the usage of this subpackage is
to compute the homological p-torsion of G, by which we mean the modulo
p homology of G (i.e with non-twisted Z/pZ coefficients) in degrees
above the virtual cohomological dimension, or the modulo p Farrell-Tate
cohomology of G.
      <br>
For the computation of the homological p-torsion of G, only the p-<i>torsion
subcomplex</i> is relevant, consisting of all the cells the stabilizers
in G of which contain elements of order p.
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="vertical-align: top; background-color: rgb(255, 255, 255); text-align: left;">For
instance, let us input Soulé's cell complex for SL_3(Z). <br>
      <div style="text-align: center;"><img style="height: 323px;"
 alt="" src="AboutTorsionSubcomplexes_files/truncatedCube.jpg"><br>
      </div>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="background-color: rgb(255, 255, 204); vertical-align: top;">gap>
S:= ContractibleGcomplex("SL3Z"); <br>
Non-free resolution in characteristic 0 for matrix group with
65 generators. No contracting homotopy available.
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="vertical-align: top; background-color: rgb(255, 255, 255); text-align: left;">Rigid
Facets Subdivision allows us to recover (essentially) Soulé's
subdivision of the above truncated cube, which is a fundamental domain
for a cell complex for SL_3(Z) such that each cell stabilizer fixes its
cell pointwise. <br>
      <div style="text-align: center;"><img style="height: 323px;"
 alt="" src="AboutTorsionSubcomplexes_files/subdividedCube.jpg"><br>
      </div>
[The above two pictures are shown here with the kind permission of
Ruben Sanchez-Garcia, who has reconstructed them from Soulé's paper.]
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="background-color: rgb(255, 255, 204); vertical-align: top;">gap>
R := RigidFacetsSubdivision(S); <br>
Non-free resolution in characteristic 0 for matrix group with
65 generators.
No contracting homotopy available. <br>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="vertical-align: top; background-color: rgb(255, 255, 255); text-align: left;">Now
that the cell stabilizers are "small" enough, it becomes useful to
extract the 2-torsion subcomplex. <br>
      <div style="text-align: center;"><img style="width: 523px;" alt=""
 src="AboutTorsionSubcomplexes_files/SL3Z.jpg"><br>
      </div>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="background-color: rgb(255, 255, 204); vertical-align: top;">gap>
TorsionSubcomplex(R,2); <br>
      <br>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="vertical-align: top; background-color: rgb(255, 255, 255); text-align: left;">To
this 2-torsion subcomplex, we can apply the torsion subcomplexes
reduction technique.
      <br>
In fact, every time that two adjacent edges and their joining vertex
satisfy the following conditions on their stabilizers, we can merge
them without changing the equivariant modulo p Farrell homology of the
p-torsion subcomplex [see the paper <a
 href="http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00618167">"Accessing the
Farrell-Tate cohomology of discrete groups"</a> on how torsion
subcomplex reduction works in detail].
      <br>
One of the sufficient conditions reads as follows.
Let G_1 and G_2 be the stabilizers of the two adjacent edges,
and let S be the stabilizer of their joining vertex.
Then we require G_1 and G_2 to be isomorphic and <br>
either G_1 to be isomorphic to S <br>
or S to be p-normal and G_1 to be isomorphic to the normaliser in S of
the center of a Sylow-p-subgroup of S.
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="background-color: rgb(255, 255, 204); vertical-align: top;">gap>
ReduceTorsionSubcomplex(R,2); <br>
      <br>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="vertical-align: top; background-color: rgb(255, 255, 255); text-align: left;">Then
we obtain the reduced system of stabilizer inclusion displayed in
Soulé's paper. <br>
      <div style="text-align: center;"><img style="width: 523px;" alt=""
 src="AboutTorsionSubcomplexes_files/reduced2torsionsubcomplex.jpg"><br>
      </div>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="background-color: rgb(255, 255, 204); vertical-align: top;">Download
of the Torsion Subcomplexes Subpackage at:
      <a
 href="http://math.uni.lu/%7Erahm/subpackage-documentation/TorsionSubcomplexesSubpackage.tar.gz">http://math.uni.lu/~rahm/subpackage-documentation/
TorsionSubcomplexesSubpackage.tar.gz</a> <br>
or
      <br>
      <a
 href="http://math.uni.lu/%7Erahm/subpackage-documentation/TorsionSubcomplexesSubpackage.zip">http://math.uni.lu/~rahm/subpackage-documentation/
TorsionSubcomplexesSubpackage.zip</a> <br>
      <br>
Documentation of the functions in the Torsion Subcomplexes Subpackage
at:
      <a href="http://hamilton.nuigalway.ie/Hap/doc/chap27.html">http://hamilton.nuigalway.ie/Hap/doc/chap27.html</a>
      <br>
      <br>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="vertical-align: top;">
      <table
 style="margin-left: auto; margin-right: auto; width: 100%; text-align: left;"
 border="0" cellpadding="2" cellspacing="2">
        <tbody>
          <tr>
            <td style="vertical-align: top;"><a
 style="color: rgb(0, 0, 102);" href="aboutLieCovers.html">Previous
Page</a><br>
            </td>
            <td style="text-align: center; vertical-align: top;"><a
 href="http://hamilton.nuigalway.ie/Hap/www/SideLinks/About/aboutContents.html"><span
 style="color: rgb(0, 0, 102);">Contents</span></a><br>
            </td>
            <td style="text-align: right; vertical-align: top;"><a
 href="aboutCubical.html"><span style="color: rgb(0, 0, 102);">Next
page</span><br>
            </a> </td>
          </tr>
        </tbody>
      </table>
      <a
 href="http://math.uni.lu/%7Erahm/subpackage-documentation/aboutTopology.html"><br>
      </a> </td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<br>
<br>
<span class="viber-share" id="viber1"
 style="position: absolute; top: 2292px; left: 379px; width: 52px; height: 21px; display: none; z-index: 2147483646; background-image: url(chrome-extension://dafalpmmoljglecaoelijmbkhpdoobmm/images/button@2x.png); cursor: pointer; background-repeat: no-repeat;"></span><span
 class="gr__tooltip"><span class="gr__tooltip-content"></span><i
 class="gr__tooltip-logo"></i><span class="gr__triangle"></span></span>
</body>
</html>