Quelle  aboutLie.html   Sprache: HTML

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<html>
<head>
  <meta http-equiv="content-type"
 content="text/html; charset=ISO-8859-1">
  <title>AboutHap</title>
</head>
<body
 style="color: rgb(0, 0, 153); background-color: rgb(204, 255, 255);"
 alink="#000066" link="#000066" vlink="#000066">
<br>
<table
 style="text-align: left; margin-left: auto; margin-right: auto; color: rgb(0, 0, 102);"
 border="0" cellpadding="20" cellspacing="10">
  <tbody>
    <tr align="center">
      <th style="vertical-align: top;">
      <table style="width: 100%; text-align: left;" cellpadding="2"
 cellspacing="2">
        <tbody>
          <tr>
            <td style="vertical-align: top;"><a
 href="3dflatmanifolds.html"><small style="color: rgb(0, 0, 102);">Previous</small></a><br>
            </td>
            <td
 style="text-align: center; vertical-align: top; color: rgb(0, 0, 102);"><big><span
 style="font-weight: bold;">About HAP:  On a relationship between
group homology and Lie algebra homology <br>
            </span></big></td>
            <td style="text-align: right; vertical-align: top;"><a
 href="aboutLieCovers.html"><small style="color: rgb(0, 0, 102);">next</small></a><br>
            </td>
          </tr>
        </tbody>
      </table>
      <big><span style="font-weight: bold;"></span></big><br>
      </th>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="vertical-align: top; background-color: rgb(255, 255, 255); text-align: left;">The
lower central series of a group G is defined by setting G₁=G
and G_n+1=[G_n,G] .  Each  quotient L_n(G)=G_n/G_n+1
is an abelian group. We can form the direct sum L(G) = L₁(G)
+ L₂(G) + ... of all the quotients L_n(G).
Commutation in G induces bilinear functions L_m(G)×L_n(G)
&#8594; L_m+n(G) which provide L(G) with a bilinear bracket
operation [ , ]:L(G)×L(G) &#8594; L(G). This operation satisfies the
Jacobi identity, and L(G) can thus be considered as a Lie algebra. If
each quotient L_n(G) is free abelian then we take the ground
ring of L(G) to be the ring of integers. If each quotient L_n(G)
is an elementary abelian p-group then we take the ground ring of L(G)
to be the field of p-elements. We shall not consider groups for which
L(G) is neither free nor elementary abelian.<br>
      <br>
The following command creates L(G) for G equal to the free nilpotent
group of class 2 on four generators.<br>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="background-color: rgb(255, 255, 204); vertical-align: top;">gap>
F:=FreeGroup(4);; G:=NilpotentQuotient(F,2);;<br>
gap> LG:=LowerCentralSeriesLieAlgebra(G);<br>
<Lie algebra of dimension 10 over Integers><br>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="background-color: rgb(255, 255, 255); vertical-align: top;">The
following additional commands calculate the integral group homology H₄(G,Z)
and the integral Lie homology H₄(L(G),Z) .<br>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="background-color: rgb(255, 255, 204); vertical-align: top;">gap>
GroupHomology(G,4);<br>
[ 3, 3, 3, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0,<br>
  0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0,<br>
  0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0,<br>
  0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]<br>
      <br>
gap> LieAlgebraHomology(LG,4);<br>
[ 3, 3, 3, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0,<br>
  0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0,<br>
  0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0,<br>
  0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]<br>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="text-align: left; background-color: rgb(255, 255, 255); vertical-align: top;">We
see that the group homology and Lie homology are equal. This
illustrates the following theorem in [Yu. V. Kuz'min and Yu. S.
Semenov, "On the homology of a free nilpotent group of class 2", Mat.
Sb. 189, no. 4 (1998), 49-82].<br>
      <br>
      <table
 style="margin-left: auto; margin-right: auto; width: 80%; text-align: left;"
 border="0" cellpadding="10" cellspacing="0">
        <tbody>
          <tr>
            <td
 style="vertical-align: top; background-color: rgb(204, 255, 255);"><span
 style="font-weight: bold;">Theorem</span><br style="font-weight: bold;">
            <br>
Let G be the free nilpotent group of class 2 on a finite number of
generators. Then the integral group homology H_i(G,Z) is
isomorphic to the integral Lie algebra homology H_i(L(G),Z)
in each dimension i.<br>
            </td>
          </tr>
        </tbody>
      </table>
      <br>
The following commands exhibit a torsion free nilpotent group G of
class 2 for which each quotient L_n(G) is free abelian and
for which H₃(G,Z) is not isomorphic to H₃(L(G),Z).
This suggests that the "free nilpotent" hypothesis in the theorem can
not be weakened.<br>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="vertical-align: top; background-color: rgb(255, 255, 204);">gap>
G:=HeisenbergPcpGroup(3);; LG:=LowerCentralSeriesLieAlgebra(G);;<br>
      <br>
gap> GroupHomology(G,3);<br>
[ 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]<br>
      <br>
gap> LieAlgebraHomology(LG,3);<br>
[ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]<br>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="vertical-align: top; background-color: rgb(255, 255, 255);">However,
extensive experimentation on free nilpotent groups of class >2
suggest that it might be possible to drop the "class 2" hypothesis of
the theorem.  For example: <br>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="vertical-align: top; background-color: rgb(255, 255, 204);">gap>
F:=FreeGroup(3);; G:=NilpotentQuotient(F,3);;<br>
gap> LG:=LowerCentralSeriesLieAlgebra(G);<br>
gap> GroupHomology(G,4);  #This command takes <a
 href="aboutExtensions.html#time">several hours</a>!!<br>
[ 2, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0,<br>
  0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0,<br>
  0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0,<br>
  0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0,<br>
  0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0,<br>
  0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0,<br>
  0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0 ]<br>
      <br>
gap> LieAlgebraHomology(LG,4);<br>
[ 2, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0,<br>
  0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0,<br>
  0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0,<br>
  0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0,<br>
  0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0,<br>
  0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0,<br>
  0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0 ]<br>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="vertical-align: top;">
      <table
 style="margin-left: auto; margin-right: auto; width: 100%; text-align: left;"
 border="0" cellpadding="2" cellspacing="2">
        <tbody>
          <tr>
            <td style="vertical-align: top;"><a
 style="color: rgb(0, 0, 102);" href="3dflatmanifolds.html">Previous
Page</a><br>
            </td>
            <td style="text-align: center; vertical-align: top;"><a
 href="aboutContents.html"><span style="color: rgb(0, 0, 102);">Contents</span></a><br>
            </td>
            <td style="text-align: right; vertical-align: top;"><a
 href="aboutLieCovers.html"><span style="color: rgb(0, 0, 102);">Next
page</span><br>
            </a> </td>
          </tr>
        </tbody>
      </table>
      <a href="aboutTopology.html"><br>
      </a> </td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<br>
<br>
</body>
</html>