Quelle  aboutTwistedCoefficients.html   Sprache: HTML

<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01 Transitional//EN">
<html>
<head>
  <meta http-equiv="content-type"
 content="text/html; charset=ISO-8859-1">
  <title>AboutHap</title>
</head>
<body
 style="color: rgb(0, 0, 153); background-color: rgb(204, 255, 255);"
 alink="#000066" link="#000066" vlink="#000066">
<br>
<table
 style="text-align: left; margin-left: auto; margin-right: auto; color: rgb(0, 0, 102);"
 border="0" cellpadding="20" cellspacing="10">
  <tbody>
    <tr align="center">
      <th style="vertical-align: top;">
      <table style="width: 100%; text-align: left;" cellpadding="2"
 cellspacing="2">
        <tbody>
          <tr>
            <td style="vertical-align: top;"><a
 href="aboutTorAndExt.html"><small style="color: rgb(0, 0, 102);">Previous</small></a><br>
            </td>
            <td
 style="text-align: center; vertical-align: top; color: rgb(0, 0, 102);"><big><span
 style="font-weight: bold;">About HAP: Cohomology With Twisted
Coefficients<br>
            </span></big></td>
            <td style="text-align: right; vertical-align: top;"><a
 href="aboutGraphsOfGroups.html"><small style="color: rgb(0, 0, 102);">next</small></a><br>
            </td>
          </tr>
        </tbody>
      </table>
      <big><span style="font-weight: bold;"></span></big><br>
      </th>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="vertical-align: top; background-color: rgb(255, 255, 255); text-align: left;">The
cohomology of a group G with coefficients in a ZG-module A is defined
as:<br>
      <br>
      <table
 style="text-align: left; margin-left: auto; margin-right: auto; width: 539px; height: 110px;"
 border="0" cellpadding="8" cellspacing="0">
        <tbody>
          <tr>
            <td
 style="background-color: rgb(204, 255, 255); text-align: center; vertical-align: top;"><br>
            <br>
            <span style="color: rgb(0, 0, 102);">H</span><sup
 style="color: rgb(0, 0, 102);">n</sup><span
 style="color: rgb(0, 0, 102);">(G,A) =</span><br>
            </td>
            <td
 style="text-align: center; vertical-align: top; background-color: rgb(204, 255, 255);">
            <div style="text-align: center;"><span
 style="color: rgb(0, 0, 102);"></span><span
 style="color: rgb(0, 0, 102);"><br>
Ker( Hom_ZG(R_n,A) &#8594; </span><span
 style="color: rgb(0, 0, 102);">Hom_ZG(R_n+1,A) )</span><span
 style="color: rgb(0, 0, 102);"></span><br>
            <hr style="width: 100%; height: 2px;"> <span
 style="color: rgb(0, 0, 102);"></span></div>
            <div style="text-align: center;"><span
 style="color: rgb(0, 0, 102);">Image( </span><span
 style="color: rgb(0, 0, 102);">Hom_ZG(R_n-1,A) &#8594; </span><span
 style="color: rgb(0, 0, 102);">Hom_ZG(R_n,A)<br>
            <br>
            </span></div>
            </td>
          </tr>
        </tbody>
      </table>
      <br>
When the abelian group underlying A is free of rank n we can encode A
as a group homomorphism A:G &#8594; GL_n(Z).<br>
      <br>
When G is a permutation group of degree n the free abelian group Zⁿ
admits a canonical G-action defined by <br>
      <br>
      <div style="text-align: center;">g·(x₁, x₂,
... , x_n) = (x_g'(1) , x_g'(2) , ... , x_g'(n))
      <br>
      </div>
      <br>
where g'=g^-1, for g in G and x_i in Z. This <span
 style="font-style: italic;">canonical permutation module</span> A can
be constructed for any permutation group G using the HAP command <span
 style="font-family: helvetica,arial,sans-serif;">PermToMatrixGroup()</span>.
For example:<br>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="background-color: rgb(255, 255, 204); vertical-align: top;">gap>
G:=AlternatingGroup(5);;<br>
      <br>
gap> A:=PermToMatrixGroup(G,5);<br>
[ (1,2,3,4,5), (3,4,5) ] -><br>
[ [ [ 0, 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1, 0 ],<br>
      [ 0, 0, 0, 0, 1 ], [ 1, 0, 0, 0, 0 ] ],<br>
  [ [ 1, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1, 0 ],<br>
      [ 0, 0, 0, 0, 1 ], [ 0, 0, 1, 0, 0 ] ] ]<br>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="background-color: rgb(255, 255, 255); vertical-align: top;">The
following commands show that:<br>
      <ul>
        <li>the 6th cohomology of the
alternating group G=A₅ with coefficients in its
5-dimensional canonical permutation module A is  H⁶(G,A)
= Z₂+Z₆.</li>
        <li>The 3rd cohomology of the even subgroup B⁺of
the 5-string Braid group, again with coefficients in the permutation
module A (considered as a B⁺-module via the quotient
homomorphism B⁺ &#8594; A₅) is H³(B⁺,A)
= Z₂+Z₆+Z³.</li>
      </ul>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="background-color: rgb(255, 255, 204); vertical-align: top;">gap>
Alt5:=AlternatingGroup(5);;<br>
gap> A:=PermToMatrixGroup(SymmetricGroup(5),5);;<br>
gap> R:=ResolutionFiniteGroup(Alt5,7);;<br>
gap> TR:=HomToIntegralModule(R,A);;<br>
gap> Cohomology(TR,6);<br>
[ 2, 6 ]<br>
      <br>
      <br>
gap> D:=[[1,[2,3]],[2,[3,3]],[3,[4,3]]];;<br>
gap> R:=ResolutionArtinGroup(D,10);;<br>
gap> Brd5:=R!.group;; Brd5Gens:=GeneratorsOfGroup(Brd5);;<br>
gap>
ImGens:=[Image(A,(1,2)),Image(A,(2,3)),Image(A,(3,4)),Image(A,(4,5))];;<br>
gap> B:=GroupHomomorphismByImages(Brd5,Image(A),Brd5Gens,ImGens);;<br>
gap> EvBrd5:=EvenSubgroup(Brd5);;<br>
gap> S:=ResolutionSubgroup(R,EvBrd5);;<br>
gap> TS:=HomToIntegralModule(S,B);;<br>
gap> Cohomology(TS,3);<br>
[ 2, 6, 0, 0, 0 ]<br>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="text-align: left; background-color: rgb(255, 255, 255); vertical-align: top;">A
group G can act non-trivially on the integers Z. For example, a
permutation group G can act on Z according to the formula <br>
      <div style="text-align: center;">g.n= -n    if g
is an odd permutation,<br>
      </div>
      <div style="text-align: center;"> g.n=  n   
if g is an even permutation.<br>
      <div style="text-align: left;"><br>
The following commands show that, with this twisted action of S₆
on Z, we have third twisted integral homology  H₃(S₆,Z)=Z₂+Z₁₀
.<br>
      </div>
      </div>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="vertical-align: top; background-color: rgb(255, 255, 204);">gap> 
G:=SymmetricGroup(6);;<br>
gap>  R:=ResolutionFiniteGroup(G,4);;<br>
gap>  C:=TensorWithTwistedIntegers(R,SignPerm);;<br>
gap>  Homology(C,3);<br>
[ 2, 10 ]<br>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="vertical-align: top; background-color: rgb(255, 255, 255);">With
the analogous twisted action of S₆ on Z₅, the
following commands show that the twelvth homology  is H₁₂(S₆,Z₅)=Z₅
. (The calculation relies on the fact that H_n(G,Z_p) 
is equal to its p-primary part H_n(G,Z_p)_(p) 
.) <br>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td
 style="vertical-align: top; background-color: rgb(255, 255, 204);">gap> 
G:=SymmetricGroup(6);;<br>
gap> 
P:=SylowSubgroup(G,5);;<br>
gap>  R:=ResolutionFiniteGroup(P,15);;<br>
gap>  F:=function(R);return
TensorWithTwistedIntegersModP(R,5,SignPerm);end;;<br>
gap>  PrimePartDerivedFunctor(G,R,F,12);<br>
[ 5 ]<br>
      </td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="vertical-align: top;">
      <table
 style="margin-left: auto; margin-right: auto; width: 100%; text-align: left;"
 border="0" cellpadding="2" cellspacing="2">
        <tbody>
          <tr>
            <td style="vertical-align: top;"><a
 style="color: rgb(0, 0, 102);" href="aboutTorAndExt.html">Previous
Page</a><br>
            </td>
            <td style="text-align: center; vertical-align: top;"><a
 href="aboutContents.html"><span style="color: rgb(0, 0, 102);">Contents</span></a><br>
            </td>
            <td style="text-align: right; vertical-align: top;"><a
 href="aboutGraphsOfGroups.html"><span style="color: rgb(0, 0, 102);">Next
page</span><br>
            </a> </td>
          </tr>
        </tbody>
      </table>
      <a href="aboutTopology.html"><br>
      </a> </td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<br>
<br>
</body>
</html>