Quellcodebibliothek Statistik Leitseite products/Sources/formale Sprachen/GAP/pkg/help/doc/   (Algebra von RWTH Aachen Version 4.15.1©)  Datei vom 15.2.2024 mit Größe 31 kB image not shown  

SSL chap5_mj.html   Sprache: HTML

 
 products/Sources/formale Sprachen/GAP/pkg/help/doc/chap5_mj.html


<?xml versionjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 9 out of bounds for length 9

<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN"
         "http:/ /pan>

<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="en>/>
<head>
<script type="text/javascript"
  src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.0/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML">
</script>
<title>GAP (HeLP) - Chapter 5: Background</title>
<meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<meta name="generator" content="GAPDoc2HTML" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="manual.css" />
<script src="manual.js" type="text/javascript"></script>
<script type="text/javascript">overwriteStyle();</script>
</head>
<body class="chap5"  onload="jscontent()">


<div class="chlinktop"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0_mj.html">Top</a>  <a href="chap1_mj.html">1</a>  <a href="chap2_mj.html">2</a>  <a href="chap3_mj.html">3</a>  <a href="chap4_mj.html">4</a>  <a href="chap5_mj.html">5</a>  <a href="chap6_mj.html">6</a>  <a href="chapBib_mj.html">Bib</a>  <a href="chapInd_mj.html">Ind</a>  </div>

<  chapter of  Conjecture the  Questions the  in . For  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 239 out of bounds for length 239

<p id="mathjaxlink" class="pcenter"><a href="chap5.html">[MathJax off]</a></p>
<p><a id="X84AF2F1D7D4E7284" name="X84AF2F1D7D4E7284"></a></p>
<div class="ChapSects"><a href="chap5_mj.html#X84AF2F1D7D4E7284">5 <span
< classContSect< class"< class"">nbsp;/>5.1 span ="">he Conjecture and questions<>
<java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 1) out of bounds for length 0
/>
<div class="ContSect"
</span
</<><emTheorem<em exponents <span="">(\{V}\{Z}G\<span>  <span="">\G)/> coincide.Moreover  <span="">(\<span,   in">(mathrmV(mathbb}G)\) has the same order some element in< class=""\(.)/pan<>
< class"< class=tocline"> class">nbsp;/span>.html">5.3 span class="HeadingHeLP>a
</span>
</div>
<div class="ContSect"><span class
<span>
</div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap5_mj.html#X85810FF37EB3F4B4">5.5 <span class
</span>
</div>
<div class="ContSect"><span
</span>
</div>
</div>

<h3>5 <span class="Heading"> ="">\xin<s> let class"">\xG\<span theclass span="\(\\G)/pan>.The partialaugmentation respect to< class=""\(\/>orrather class of< =""> )/span sending an element tothesumofthecoefficients elements java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [642, 587) out of bounds for length 658

<="">[ varepsilon_x \{Z}G \ \mathbb \ \\limits_inG z_g \ \sum{ \ x^}. \<p

<p><p>et class>u)<span a  element < class"\\{}\{}))/span>.By results of G Higman . andM.Hertweckthefollowingis partial augmentations ofof >\u\<span<p

<h4>5.1 <span java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0

<p>Let <span class="SimpleMath">\(G\)</span> be a finite group and let <span class="SimpleMath">\(\mathbb{Z}G\)</span> denote its integral group ring. Let <span class="SimpleMath">\(\mathrm{V}(\mathbb{Z}G)\)</span> be the group of units of augmentation one, aka. normalized units. An element of the unit group of <span class="SimpleMath">\(\mathbb{Z}G\)</span> is called a torsion element, if it has finite order.</p>

<p>A conjecture of H.J. Zassenhaus asserted that every normalized torsion unit of <span class="SimpleMath">\(\mathbb{Z}G\)<

<p>Negative solutions to the conjecture were finally found in <a href="chapBib_mj.html#biBEiMa18">[EM18]</a>.</p>

<p><p>The last also  the of variablecode class=keyw<> In class">HeLP_solk]<> thepossiblepartial foran element of order \k\<span   <span"impleMath>\u^d\)for< class=SimpleMath"\d)/panjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [465, 346) out of bounds for length 682

<p>A question which lies between the Zassenhaus Conjecture and the Prime Graph Question is the Spectrum Problem. It asks, if the orders of elements in <span class="SimpleMath">\(G\)</span> and <span class="SimpleMath">\(\mathrm{V}(\mathbb{Z}G)\)</span> coincide. In general, by a result of J. A. Cohn and D. Livingstone <a href="chapBib_mj.html#biBCohnLivingstone">[CL65]</a>, Corollary 4.1, and a result of M. Hertweck <a href="chapBib_mj.html#biBHertweckSolvable">[Her08a]</a>, the following is known about the possible orders of torsion units in integral group rings:</p>

<p><em>Theorem:</em> The exponents of <span class="SimpleMath">\(\mathrm{V}(\mathbb{Z}G)\)</span> and <span class="SimpleMath">\(G\)</span> coincide. Moreover, if <span class="SimpleMath">\(G\)</span> is solvable, any torsion java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 230) out of bounds for length 0

<p>Finally, a question raised by W. Kimmerle in <a href="chapBib_mj.html#biBAri">[Kim07]</a> asks if any unit of finite order in <span class="SimpleMath">\(\mathrm{V}(\mathbb{Z}G)\)</span> is conjugate in the rational group algebra <span class="SimpleMath">\(\mathbb{Q}H\)</span> to a trivial unit, where <span class="SimpleMath">\(H\)</span> is a finite group containing <span class="SimpleMath">\(G\)</span>. We call this the Kimmerle Problem. This question did not receive much attention while the Zassenhaus Conjecture was still open. It can be shown however that the methods used in <a href

<p><a id="X7E2BFEC182B09895" name="X7E2BFEC182B09895"></a></p>

<h4>5.2 <span class="Heading">Partial augmentations and the structure of HeLP sol</span></h4>

<p>For a finite group <span class="SimpleMath">\(G\)</span> and an element <span class="SimpleMath">\(x \in G\)</span> let <span class="SimpleMath">\(x^G\)</span> denote the conjugacy class of <span class="SimpleMath">\(x\)</span> in <span class="SimpleMath">\(G\)</span>. The partial augmentation with respect to <span class="SimpleMath">\(x\)</span> or rather the conjugacy class of <span class="SimpleMath">\(x\)</span> is the map <span class="SimpleMath">\(\varepsilon_x \)</span> sending an element <span class="SimpleMath">\(u\)</span> to the sum of the coefficients at elements of the conjugacy class of <span class="SimpleMath">\(x\)</span>, i.e.</p>

<p class="center">\[ \varepsilon_x \colon \mathbb{Z}G \to \mathbb{Z}, \ \ \sum\limits_{g \in G} z_g g \mapsto \sum\limits_{g \in x^G} z_g. \]</p>

<p>Let <span class="SimpleMath">\(u\)</span> be a torsion element in <span class="SimpleMath">\(\mathrm{V}(\mathbb{Z}G)\)</span>. By results of G. Higman, S.D. Berman and M. Hertweck the following is known for the partial augmentations of <span class="SimpleMath">\(u\)</span>:</p>

<p><em>Theorem:</em> (<a href="chapBib_mj.html#biBSehgalBook2">[Seh93]</a>, Proposition (1.4); <a href="chapBib_mj.html#biBHertweckBrauer">[Her07]</a>, Theorem 2.3) <span class="SimpleMath">\(\varepsilon_1(u) = 0\)</span> if <span class="SimpleMath">\(u \not= 1\)</span> and <span class="SimpleMath">\(\varepsilon_x(u) = java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0

<p>Partial augmentations are connected to (ZC) and (PQ) via the following result, which is due to Z. Marciniak, J. Ritter, S. Sehgal and A. Weiss <a href="chapBib_mj.html#biBMRSW">[MRSW87]</a>, Theorem 2.5:</p>

<p><em

<> last explains  of variable class=keyw<code. In< class"eyw>[k possible augmentationsfor element of order>\()/> dividing classSimpleMathk)/> (except for ="SimpleMath>(dk)/> stored sorted ascendingwrt orderoftheelement spanclass=">\u^d)/>. For ,  <span="SimpleMath">\(k =1\<span an of ="keyw">[2]/> ight of  formp

<p><code class="keyw">[ [ 1 ],[ 0, 1 ],[ -2, 2, 1 ],[ 1, -1, 1 ],[ 0, 0, 0, 1, -1, 0, 1, 0, 0 ] ]</code>.</p>

<p>The first sublist <code class=

<p>From version 4 onwards this package incorporates more theoretical restrictions on partial augmentations. More precisely, it uses more results about vanishing partial augmentations of normalized torsion units. One is < class>(x^G\<span  class an < classSimpleMath\(\)/="">(\</>.  < classSimpleMath(\<span be a torsion in classSimpleMath\\{V(mathbbG)\)</span>of order span=""\k\<span span">(\)/pan ordinary representationof< class=SimpleMath>\\)/> overafield contained < class"SimpleMath>\\{})/> character<panSimpleMath(\\<span spanSimpleMath(())/pan  matrix order diagonalizablespan=SimpleMath\\{C})<span Let class">\\\)/> beaprimitive < class=SimpleMath>\k)/>- root unity then themultiplicity < class=SimpleMath\mu_l(u\)\) of of spanclass=SimpleMath>\Du\ computedviaFourier inversion

<p><em>Theorem:<

<p>To="center">\[ \u_l(u\) = \rac{}k {1\not\ k} \{Tr{mathbb(zeta)/\{Q}}(chid\^{-l)+ frack \sum_x^G} \varepsilon_xu \{Tr_\{Q}(zetamathbb(chizeta-}.]/>

<p

<Formoreonthe<codeclass">HeLP_sol modified or reseta how toinfluence thisbehavior see chap4_mjhtml"RefLink">4.2</span></a> and

<p><a id="X8663389F87B9CE62" name="X8663389F87B9CE62"></a></p>

<h4>5.3 <span class="Heading">The HeLP equations</span></h4>

p> by <span class="SimpleMath">\(x^G\) <span class=SimpleMath"(^\)/span>theconjugacy class of an element \\{V}(\mathbb}G\)/>  orderspan=SimpleMath>\k)/span> and < class=SimpleMath>\(D\)</span> an ordinaryrepresentationofspanclass"impleMath">\(\</span> over a field in<panclass"impleMath>\\{C}\) withcharacterimpleMath>\(\\)<span. Thenspanclass"SimpleMath">\D()\)</pan> is a matrix finiteorderand diagonalizable over span class"SimpleMath">\(mathbb})</span>. Let <span class"SimpleMath>\\\) beaprimitivespanclass"">\()span=SimpleMath\\^l\<span an ofspan=SimpleMath\Du\<span be via inversionandequals>

<p class="center">\[ \mu_l(u,\chi) = \frac{1}{k} \sum_{1 \not= d \mid k} {\rm{Tr}}_{\mathbb{Q}(\zeta^d)/\mathbb{Q}}(\chi(u^d)\zeta^{-dl}) + \frac

<p>As this multiplicity is a non-negative integer, we have

<p class="center">\[\mu_l

<for allordinarycharactersspan="SimpleMath">(\chi)<span  < classSimpleMath\(\</pan Thisformulawas  S LutharIB.  < =chapBib_mj#biBLP>LP89<a><p>

<p>Later M. Hertweck showed that it may also be used for a representation over a field of characteristic <span class="SimpleMath">\(p > 0\)</span> with Brauer character <span class="SimpleMath">\(

<p class="center">\[ \mu_l(u,\varphi) = \frac{1}{k} \sum_{1 \not= d \mid k} {\rm{Trjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0

<p>Again, as this multiplicity is a non-negative integer, we have the constraints</p>

<p class="center">\[\mu_l(u,\varphi) \in \mathbb{Z}_{\geq 0}\]</p>

<p>for all Brauer characters <span class="SimpleMath">\(\varphi\)</span> and all <span class="SimpleMath">\(l

<p>These equationsjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0

<p>For <span class="SimpleMath">\(p\)</span>-solvable groups

<p><a id="X7BA77C9F86ADD546" name="X7BA77C9F86ADD546"></a></p>

<h4>5.4 <span class="Heading">

<p>We

<:<em> Fora orsion <span classSimpleMath>(u \inmathrmV}\mathbb{ZG\)/span,  element< class=SimpleMath>(\</>, a prime <span ="SimpleMath"\p)</>and naturalnumber< class=SimpleMath>j)/span  havepjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 278 out of bounds for length 278

<p class="center">\[ \sum\limits_{x^{p^

<p>Combining the Theorem with

<p< id"X85810FF37EB3F4B4" name=X85810FF37EB3F4B4">



<h4>5.5 <span class="Heading">s-constant characters</span></h4>

<p>If one is interested inunitsofmixed order span class="impleMath">(*t\</span fortwo primes<span class"SimpleMath>(s\(t)/> (e.g.ifone studies the Prime Graph Question) anideato the HeLP more efficient was by V BovdiandO Konovalovin ltiplicities of theHeLPmethod does not needthe partial augmentations elementsof "\(\). Characters having the above are called >(st)/span canbe  in a  efficient  without doingcalculationsforelementsoforder<pan="SimpleMath">(\<span./p>

<p>There is also the concept of <span class="SimpleMath">\((s,t)\)</span>-constant characters, being constant on both, the conjugacy classes of elements of order <span class="SimpleMath">\(s\)</span> and on the conjugacy classes of elements of order <span class="SimpleMath">\(t\)</span>. The implementation of this is however not yet part of this package.</p>

<p><a id="X79BE759E7F35150E" name="X79BE759E7F35150E"></a></p>

<h4>5.6 <span class="Heading">Known results about the Zassenhaus

<p>At the moment as

<p>or the Conjectureonlythefollowing reductionisavailable/>

<p><em>Theorem

<p>Itis known to over to other of direct under certainconditions <ahrefchapBib_mjhtmlbiBBachleKimmerleSerranoBKS20]<a. Withthis in mind the Zassenhaus Conjectureis for:/>


<ul>
<li><p>Nilpotent groups <a href="chapBib_mj.html#biBWeiss91"<li>

</li>
<li><p>Cyclic-By-Abelian groupsli

</li
<li><>Groups a normal Sylowsubgroupwithabelian complement<a href"chapBib_mj.html#],/p>

</li>
<li>p> groups  order isdivisible  at  two different primes< href="chapBib_mj.html#biBJuriaansMilies">[JPM00]</a,</pjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 141 out of bounds for length 141

</li>
<li><p>Groups <span class="SimpleMath">\(X \rtimes A\)</span>, java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0

</li>
<li><java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0

</li>
<li><p>The non-abelian simple groups <span class="

<
<li<>For  linear <span="SimpleMath"\(SL(2,p\</> and< class"SimpleMath">\(SL(,p2))<span  <span class="SimpleMath">\p\</span> a primeahref"chapBib_mj.html#">[dRS19<a>./p>

</li>
</ul>
<p>The only known counterexamples to the conjecture are exhibited in <a href="chapBib_mj.html#biBEiMa18">[EM18]</a>.</p>

<p>For the Prime Graph Question the following strong reduction was obtained in <a href="chapBib_mj.html#biBKonovalovKimmiStAndrews">[KK15]</a>:</p>

<p><em>Theorem:</em> Assume the Prime Graph Question holds for all almost simple images of a group <span class="SimpleMath">\(G\)</span>. Then (PQ) also holds for <span class="SimpleMath">\(G.\)</span></p>

<p>Here a group <span class="SimpleMath">\(G\)</span> is called almost simple, if it is sandwiched between the inner automorphism group and the whole automorphism group of a non-abelian simple group <span class="SimpleMath">\(S\)</span>. I.e. <span class="SimpleMath">\(Inn(S) \leq G \leq Aut(S).\)</span> Keeping this reduction in mind (PQ) is known for:</p>


<ul>
<li><p>Solvable groups <a href="chapBib_mj.html#biBKimmiPQ">[Kim06]</a>,</p>

</li>
<li><p>All but two of the sporadic simple groups and their automorphism groups <a href="chapBib_mj.html#biBCaMaBrauerTree">[CM21]</a>, the exceptions being the Monster and the O'Nan group; for an overview of early HeLP-results see [KK15],



</li>
<li><p>Groups whose socle is isomorphic to a group <span class="SimpleMath">\(PSL(2,p)\)</span> or <span class="SimpleMath">\(PSL(2,p^2)\)</span>, where <span class="SimpleMath">\(p\)</span> denotes a prime, <a href="chapBib_mj.html#biBHertweckBrauer">[Her07]</a>, <a href="chapBib_mj.html#biBBaMa4prI">[BM17a]</a>.</p>

</li>
<li><p>Groups whose socle is isomorphic to an alternating group, <a href="chapBib_mj.html#biBSalimA7A8">[Sal11]</a> <a href="chapBib_mj.html#biBSalimA9A10">[Sal13]</a><a href="chapBib_mj.html#biBBaCa">[BC17]</a><a href="chapBib_mj.html#biBBaMaAn">[BM19a]</a>,</p>

</li>
<li><p>Almost simple groups whose order is divisible by at most three different primes <a href="chapBib_mj.html#biBKonovalovKimmiStAndrews">[KK15]</a> and <a href="chapBib_mj.html#biBBaMaM10">[BM17b]</a>. (This implies that it holds for all groups with an order divisible by at most three primes, using the reduction result above.)</p>

</li>
<li><p>Many almost simple groups whose order is divisible by four different primes <a href="chapBib_mj.html#biBBaMa4prI">[BM17a]</a><a href="chapBib_mj.html#biBBaMa4prII">[BM19b]</a>,</p>

</li>
<li><p>Certain infinite series of simple groups of Lie type of small rank and other groups from the character table library <a href="chapBib_mj.html#biBCaMaBrauerTree">[CM21]</a></p>

</li>
</ul>

<div class="chlinkprevnextbot"> <a href="chap0_mj.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0_mj.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap4_mj.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap6_mj.html">[Next Chapter]</a>   </div>


<div class="chlinkbot"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0_mj.html">Top</a>  <a href="chap1_mj.html">1</a>  <a href="chap2_mj.html">2</a>  <a href="chap3_mj.html">3</a>  <a href="chap4_mj.html">4</a>  <a href="chap5_mj.html">5</a>  <a href="chap6_mj.html">6</a>  <a href="chapBib_mj.html">Bib</a>  <a href="chapInd_mj.html">Ind</a>  </div>

<hr />
<p class="foot">generated by <a href="http://www.math.rwth-aachen.de/~Frank.Luebeck/GAPDoc">GAPDoc2HTML


</body>
</html>

100%


¤ Dauer der Verarbeitung: 0.16 Sekunden  ¤

*© Formatika GbR, Deutschland




Wurzel

Suchen

Beweissystem der NASA

Beweissystem Isabelle

NIST Cobol Testsuite

Cephes Mathematical Library

Wiener Entwicklungsmethode

Haftungshinweis

Die Informationen auf dieser Webseite wurden nach bestem Wissen sorgfältig zusammengestellt. Es wird jedoch weder Vollständigkeit, noch Richtigkeit, noch Qualität der bereit gestellten Informationen zugesichert.

Bemerkung:

Die farbliche Syntaxdarstellung ist noch experimentell.