Quelle  involutive-np.xml   Sprache: XML

<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?> 

<Chapter Label="chap-ibases-np">

<Heading>Noncommutative Involutive Bases</Heading>

When applying a noncommutative rewriting system we conventionally
apply a rule <M>\ell \to r</M> to a word <M>w</M> if and only if
<M>w</M> has the form <M>w = u \ell v</M>,
where <M>u</M> or <M>v</M> may be the empty word <M>\epsilon</M>.
Then <M>w</M> reduces to <M>urv</M>.
<P/>
An <E>involutive monoid rewriting system</E> <M>I</M> will restrict these
conventional reductions by imposing a limitation on the letters allowed
in <M>u</M> and <M>v</M>.
Sets <M>M^L_I(w)</M>, the <E>left multiplicative variables</E>
for <M>w</M>, 
and <M>M^R_I(w)</M>, the <E>right multiplicative variables</E>
for <M>w</M>, are defined by <M>I</M>.

<Section Label="sec-invdivn">
<Heading>Noncommutative Involutive Divisions</Heading>

An <E>involutive division</E> <M>\mathbb{I}</M> is a procedure for
determining, given an arbitrary set of monomials <M>W</M>, 
sets of left and right multiplicative letters <M>M^L_I(\ell,W)</M>
and <M>M^R_I(\ell,W)</M> for any <M>\ell \in W</M>.
Then set 
<M>M^L_I(W) = \{M^L_I(\ell,W) \mid \ell \in W\}</M>
and <M>M^R_I(W) = \{M^R_I(\ell,W) \mid \ell \in W\}</M>.
<P/>
An <E>involutive rewriting system</E> <M>I</M> is
<E>based on <M>\mathbb{I}</M></E> if <M>M^L_I(W)</M> 
and <M>M^R_I(W)</M> are determined using <M>\mathbb{I}</M>, 
in which case we may write <M>M^L_{\mathbb{I}}(W)</M>
and <M>M^R_{\mathbb{I}}(W)</M> for these sets of letters.
<P/>
A word <M>\ell</M> is an <E>involutive divisor</E> of <M>w</M>,
written <M>\ell \mid_I w</M>, if
<List>
<Item>
<M>w = u \ell v</M>;
</Item>
<Item>
either <M>u = \epsilon</M>, or the <E>last</E> letter of <M>u</M>
is <E>left</E> multiplicative for <M>\ell</M>;
</Item>
<Item>
and either <M>v = \epsilon</M>, or the <E>first</E> letter of <M>v</M>
is <E>right</E> multiplicative for <M>\ell</M>.
</Item>
</List>
When this is the case, <M>w</M> <E>involutively reduces</E>
to <M>urv</M> by the rule <M>\ell \to r</M>.
<P/>
For example, let <M>S = rws(\{x,y,z\},~ \{xy \to z,~ yz \to x\})</M>,
so that <M>W = \{xy,yz\}</M>.
Choose left and right multiplicative variables as shown in the following
table:
<Table Align="|c|c|c|">
<HorLine/>
<Row>
   <Item><M>\ell</M></Item>
   <Item><M>M^L_I(\ell,W)</M></Item>
   <Item><M>M^R_I(\ell,W)</M></Item>
</Row>
<HorLine/>
<Row>
  <Item><M>xy</M></Item>
  <Item><M>\{x,y,z\}</M></Item>
  <Item><M>\{y,z\}</M></Item>
</Row>
<Row>
   <Item><M>yz</M></Item>
   <Item><M>\{y,z\}</M></Item>
   <Item><M>\{x\}</M></Item>
</Row>
<HorLine/>
</Table>
We consider reductions of <M>w = xyzx</M>.
Conventionally, both rules may be used,
giving reductions <M>z^2x</M> and <M>x^3</M> respectively.
Involutively, we see that <M>xy \mid_I xyzx</M>
because <M>z</M> is right multiplicative for <M>xy</M>,
but <M>yz \not{\mid}_I~ xyzx</M>
because <M>x</M> is left nonmultiplicative for <M>yz</M>.
Thus the only involutive reduction is <M>xyzx \to_I z^2x</M>.
<P/>

If an involutive division <M>\mathbb{I}</M> determines the
left and right multiplicative variables for a word <M>\ell \in W</M>
<E>independently</E> of the set <M>W</M>, then the division is known as a
<E>global involutive division</E>.
Otherwise <M>\mathbb{I}</M> is a <E>local involutive division</E>.

<ManSection>
   <Oper Name="LeftDivision"
         Arg="alg mons order" />
<Description>
Given a word <M>w</M>, the <E>left division</E> <M>\triangleleft</M>
assigns all letters to be left multiplicative for <M>w</M>,
and all letters to be right nonmultiplicative for <M>w</M>.
The example is taken from Example 5.5.12 in the thesis 
<Cite Key='gareth-thesis'/>.
</Description>
</ManSection>
<Example>
<![CDATA[
gap> A3 := Algebra3IBNP;;
gap> a:=A3.1;;  b:=A3.2;; c:=A3.3;;
gap> ord := NCMonomialLeftLengthLexicographicOrdering( A3 );;
gap> M6 := [ a*b, a, b*c, a*c, c*b, c^2 ];;           
gap> U6 := GM2NMList( M6 );
[ [ 1, 2 ], [ 1 ], [ 2, 3 ], [ 1, 3 ], [ 3, 2 ], [ 3, 3 ] ]
gap> LeftDivision( A3, U6, ord );   
[ [ [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ] ], 
  [ [  ], [  ], [  ], [  ], [  ], [  ] ] ]
]]>
</Example>

<ManSection>
   <Oper Name="RightDivision"
         Arg="alg mons order" />
<Description>
Given a word <M>w</M>, the <E>right division</E> <M>\triangleright</M>
assigns all letters to be left nonmultiplicative for <M>w</M>,
and all letters to be right multiplicative for <M>w</M>.
</Description>
</ManSection>
<Example>
<![CDATA[
gap> RightDivision( A3, U6, ord );
[ [ [  ], [  ], [  ], [  ], [  ], [  ] ], 
  [ [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ] ] ]
]]>
</Example>

<ManSection>
   <Oper Name="LeftOverlapDivision"
         Arg="alg mons order" />
<Description>
Let <M>W = \{w_1, \ldots, w_m\}</M>.
The <E>left overlap division</E> <M>\mathbb{L}</M> assumes, to begin with,
that all letters are left and right multiplicative for every <M>w_i</M>.
It then assigns some letters to be right nonmultiplicative as follows.
<List>
<Item>
Suppose <M>w_j \in W</M> is a <E>subword</E>, but not a suffix,
of a (different) word <M>w_i \in W</M>.
Then, for some <M>k</M>, we have
<M>w_j =</M> Subword(<M>w_i,k,k+deg(w_j)-1</M>).
Assign the letter in position <M>k+deg(w_j) \in w_i</M>
to be right nonmultiplicative for <M>w_j</M>.
</Item>
<Item>
Suppose a proper <E>prefix</E> of <M>w_i</M> is equal to a proper
<E>suffix</E> of a (not neccessarily different) <M>w_j</M>,
and that <M>w_i</M> is not a proper subword of <M>w_j</M>, or vice versa.
Then, for some <M>k</M>, we have Prefix(<M>w_i,k</M>) = Suffix(<M>w_j,k</M>).
Assign the letter in position <M>k+1</M> in <M>w_i</M>
to be right nonmultiplicative for <M>w_j</M>.
</Item>
</List>

Fox example, consider the rewriting system with rules
<M>\{ab^2 \to b,~ ba^2 \to a\}</M>,
so that the leading monomials are <M>\{u=ab^2, v=ba^2\}</M>.
Neither monomial is a subword of the other,
so the first rule above does not apply.
Since Prefix(<M>v,1) = b =</M> Suffix(<M>u,1</M>),
then <M>v[2]=a</M> is assigned to be right nonmulitplicative for <M>u</M>.
By symmetry, <M>u[2]=b</M> is assigned to be right nonmulitplicative for
<M>v</M>.
The resulting sets are shown in the following table.
<Table Align="|c|c|c|">
<HorLine/>
<Row>
   <Item><M>w</M></Item>
   <Item><M>M^L_{\mathbb{L}}(w,W)</M></Item>
   <Item><M>M^R_{\mathbb{L}}(w,W)</M></Item>
</Row>
<HorLine/>
<Row>
  <Item><M>u = ab^2</M></Item>
  <Item><M>\{a,b\}</M></Item>
  <Item><M>\{b\}</M></Item>
</Row>
<Row>
   <Item><M>v = ba^2</M></Item>
   <Item><M>\{a,b\}</M></Item>
   <Item><M>\{a\}</M></Item>
</Row>
<HorLine/>
</Table>
</Description>
</ManSection>
<P/>
The following example takes <M>W</M> to be the list <C>U6</C>,
continuing Example 5.5.12 in the thesis <Cite Key='gareth-thesis'/>.
As <M>a</M> is a subword of <M>ab</M> and <M>ac</M>,
so <M>b</M> and <M>c</M> are right nonmultiplicative for <M>a</M>.
Secondly, <M>ab</M> and <M>cb</M> have suffix <M>b</M> 
which is a prefix of <M>bc</M>, 
so <M>c</M> is right nonmultiplicative for <M>ab</M> and <M>cb</M>.
Thirdly, <M>ac, bc, c^2</M> all have suffix <M>c</M>,
which is a prefix of <M>cb</M> and <M>c^2</M>,
so <M>b</M> and <M>c</M> are both right nonmultiplicative for
<M>ac, bc, c^2</M>.
<Example>
<![CDATA[
gap> M6;
[ (1)*a*b, (1)*a, (1)*b*c, (1)*a*c, (1)*c*b, (1)*c^2 ]
gap> LeftOverlapDivision( A3, U6, ord );               
[ [ [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ] ], 
  [ [ 1, 2 ], [ 1 ], [ 1 ], [ 1 ], [ 1, 2 ], [ 1 ] ] ]
]]>
</Example>

<ManSection>
   <Oper Name="RightOverlapDivision"
         Arg="alg mons order" />
<Description>
This division is the mirror image of <C>LeftOverlapDivision</C>.
<P/>
In the example, <M>a</M> is a prefix of <M>ab</M> and <M>ac</M>
but is not a proper suffix of any monomial.
However, <M>bc</M> has prefix <M>b</M>
which is a suffix of <M>ab</M> and <M>cb</M>,
so <M>a</M> and <M>c</M> and left nonmultiplicative for <M>bc</M>.
Also <M>cb</M> and <M>c^2</M> have prefix <M>c</M>
which is a suffix of <M>ac, bc, c^2</M>, so all of <M>a,b,c</M> 
are left nonmultiplicative for <M>cb</M> and <M>c^2</M>.
</Description>
</ManSection>
<P/>
<Example>
<![CDATA[
gap> RightOverlapDivision( A3, U6, ord );               
[ [ [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 2 ], [ 1 .. 3 ], [  ], [  ] ], 
  [ [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ] ] ]
]]>
</Example>


<Subsection Label="subs-select-divnp"> 
<Heading>Selecting a Division</Heading>
<Index>NoncommutativeDivision</Index>
The global variable <C>NoncommutativeDivision</C> can take values
"Left", "Right", "LeftOverlap", "RightOverlap", "StrongLeftOverlop"
or "StrongRightOverlap".  The default is "LeftOverlap".
The example shows how to select the left overlap division.
</Subsection>
<Example>
<![CDATA[
gap> NoncommutativeDivision := "LeftOverlap";
"LeftOverlap"
]]>
</Example>
Other divisions may be added in due course.

<ManSection>
   <Oper Name="DivisionRecordNP"
         Arg="alg mons order" />
<Description>
This operation is called by the global function <C>DivisionRecord</C>
when the algebra is noncommutative.
This operation finds the sets of multiplicative variables for a set of polynomials using one of the involutive divisions listed above. 
As in the commutative case, a three-field record <C>drec</C> is returned:
<C>drec.div</C> is the division string;
<C>drec.mvars</C> is a two-element list,
the first listing the sets of left multiplicative variables, 
and the second listing the sets of right multiplicative variables;
<C>drec.polys</C> is the list of polynomials in NP-format.
<P/>
</Description>
</ManSection>
<Example>
<![CDATA[
gap> L3 := [ [ [ [1,2,2], [3] ], [1,-1] ],
>            [ [ [2,3,3], [1] ], [1,-1] ],
>            [ [ [3,1,1], [2] ], [1,-1] ] ];;
gap> PrintNPList( L3 );
 ab^2 - c 
 bc^2 - a 
 ca^2 - b 
gap> drec := DivisionRecord( A3, L3, ord );
rec( div := "LeftOverlap", 
  mvars := [ [ [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ] ], 
      [ [ 1, 2 ], [ 2, 3 ], [ 1, 3 ] ] ], 
  polys := [ [ [ [ 1, 2, 2 ], [ 3 ] ], [ 1, -1 ] ], 
      [ [ [ 2, 3, 3 ], [ 1 ] ], [ 1, -1 ] ], 
      [ [ [ 3, 1, 1 ], [ 2 ] ], [ 1, -1 ] ] ] )
]]>
</Example>

<ManSection>
   <Oper Name="IPolyReduceNP"
         Arg="algebra polynomial DivisionRecord order" />
<Description>
This operation is called by the global function <C>IPolyReduce</C>
when the algebra is noncommutative.
This function reduces a polynomial <M>p</M> using the current
overlap record for a basis, and an ordering.
<P/>
In the example <M>p = 5c^2a^2b^2 + 6b^2c^2a^2 + 7a^2b^2c^2</M>.
The monomial <M>c^2a^2b^2</M> reduces to <M>c^2ac</M> by <M>ab^2 \to c</M>,
since there are no letters to the right, but not by <M>ca^2 \to b</M>
since <M>b</M> is not right multiplicative for <M>ca^2</M>. 
The other terms are similar, and <M>p</M> reduces to 
<M>5c^2ac + 6b^2cb + 7a^2ba</M>.
</Description>
</ManSection>
<Example>
<![CDATA[
gap> ## choose a polynomial to reduce
gap> p := 5*c^2*a^2*b^2 + 6*b^2*c^2*a^2 + 7*a^2*b^2*c^2;;
gap> ## convert to NP format and reduce
gap> Lp := GP2NP( p );
[ [ [ 3, 3, 1, 1, 2, 2 ], [ 2, 2, 3, 3, 1, 1 ], [ 1, 1, 2, 2, 3, 3 ] ], 
  [ 5, 6, 7 ] ]
gap> Lrp := IPolyReduce( A3, Lp, drec, ord );;
gap> ## convert back to a polynomial
gap> rp := NP2GP( Lrp, A3 );
(5)*c^2*a*c+(6)*b^2*c*b+(7)*a^2*b*a
gap> ## p-rp should now belong to the ideal and reduce to 0
gap> q := p - rp;;
gap> Lq := GP2NP( q );;
gap> Lrq := IPolyReduce( A3, Lq, drec, ord );;
[ [  ], [  ] ]
]]>
</Example>

<ManSection>
   <Oper Name="LoggedIPolyReduceNP"
         Arg="algebra polynomial DivisionRecord order" />
<Description>
This operation is called by the global function <C>LoggedIPolyReduce</C>
when the algebra is noncommutative.
This function is similar to <C>IPolyReduceNP</C>, 
reducing a polynomial <M>p</M> using the current
overlap record for a basis, and an ordering.
It's output, however, is a record containing, as well as the reduced
polynomial <M>r</M>, logging information <M>L</M> which shows how the
reduction has been obtained:
<Display>
p ~=~ r + \sum_{i,j} L[i][j][1] * L[i][j][2] * polys[i] * L[i][j][3].
</Display>
<P/>
In the example <C>r = logr.result</C> is equal to <M>Lrp</M>,
and the equation above is then verified:
<Display>
p ~=~ r + 5c^2a(ab^2-c) + 7a^2b(bc^2-a) + 6b^2c(ca^2-b).
</Display>
</Description>
</ManSection>
<Example>
<![CDATA[
gap> logr := LoggedIPolyReduce( A3, Lp, drec, ord );  
rec( logs := [ [ [ 5, [ 3, 3, 1 ], [  ] ] ], [ [ 7, [ 1, 1, 2 ], [  ] ] ], 
      [ [ 6, [ 2, 2, 3 ], [  ] ] ] ], 
  polys := [ [ [ [ 1, 2, 2 ], [ 3 ] ], [ 1, -1 ] ], 
      [ [ [ 2, 3, 3 ], [ 1 ] ], [ 1, -1 ] ], 
      [ [ [ 3, 1, 1 ], [ 2 ] ], [ 1, -1 ] ] ], 
  result := [ [ [ 3, 3, 1, 3 ], [ 2, 2, 3, 2 ], [ 1, 1, 2, 1 ] ], [ 5, 6, 7 ] 
     ] )
gap> logr.result = Lrp;
true
gap> L := logr.logs;;
gap> p1 := ScalarMulNP( BimulNP( L[1][1][2], L3[1], L[1][1][3] ), L[1][1][1] );;
gap> p2 := ScalarMulNP( BimulNP( L[2][1][2], L3[2], L[2][1][3] ), L[2][1][1] );;
gap> q := AddNP( p1, p2, 1, 1 );;
gap> p3 := ScalarMulNP( BimulNP( L[3][1][2], L3[3], L[3][1][3] ), L[3][1][1] );;
gap> q := AddNP( q, p3, 1, 1 );;
gap> Lp = AddNP( q, Lrp, 1, 1 );
true
]]>
</Example>

<ManSection>
   <Oper Name="VerifyLoggedRecordNP"
         Arg="polynomial LogRecord" />
<Description>
This operation checks the identity in the equation displayed above.
<P/>
For a more complicated example, 
see file <File>ibnp/tst/extras/reduce.tst</File>.
<P/>
</Description>
</ManSection>
<Example>
<![CDATA[
gap> VerifyLoggedRecordNP( Lp, logr );
true
]]>
</Example>

<ManSection>
   <Oper Name="IAutoreduceNP"
         Arg="alg polys order" />
<Description>
This operation is called by the global function <C>IAutoreduce</C>
when the algebra is noncommutative.
This function applies <C>IPolyReduceNP</C> to a list of polynomials
recursively until no more reductions are possible.
More specifically, this function involutively reduces each member of a
list of polynomials with respect to all the other members of the list, 
removing the polynomial from the list if it is involutively reduced to 0.
This process is iterated until no more reductions are possible. 
<P/>
If the set of polynomials is already reduced, then <C>true</C> is returned.
<P/>
In the example we form <C>L4</C> by adding <C>Lp</C> to <C>L3</C>.
Applying <C>IAutoreduceNP</C>, only <M>p</M> reduces,
and the concatenation of <C>L3</C> with <M>Lrp</M> is returned.
<P/>
</Description>
</ManSection>
<Example>
<![CDATA[
gap> L4 := Concatenation( L3, [Lp] );;
gap> R4 := IAutoreduceNP( A3, L4, ord );;
gap> PrintNPList( R4 );
 5c^2ac + 6b^2cb + 7a^2ba 
 ca^2 - b 
 bc^2 - a 
 ab^2 - c 
gap> IAutoreduceNP( A3, R4, ord );
true
]]>
</Example>

</Section>

<Section Label="sec-compibn"> 
<Heading>Computing a Noncommutative Involutive Basis</Heading>

The involutive algorithm for constructing an involutive basis 
in the noncommutative case also uses <E>prolongations</E> and
<E>autoreduction</E>.

<ManSection>
   <Oper Name="InvolutiveBasisNP"
         Arg="alg polys order" />
<Description>
This operation is called by the global function <C>InvolutiveBasis</C>
when the algebra is noncommutative.
This function finds an involutive basis for the ideal generated
by a set of polynomials, using a chosen ordering.
<P/>
In the example we find that a &Grob; basis starting from <C>L3</C>
is rather large, so add a fourth polynomial <M>a^2b-c</M> defining the ideal.
The resulting &Grob; basis then has just three terms.
We then calculate an involutive basis, which has just seven terms.
We also find the reduced form of <M>p</M> to be <M>18a^2</M>.
</Description>
</ManSection>
<Example>
<![CDATA[
gap> gbas := SGrobner( L3 );;
gap> Length( gbas );         
64
gap> ## that's too large an example for this manual, so add a fourth poly
gap> K4 := Concatenation( L3, [ [ [ [1,1,2], [3] ], [1,-1] ] ] );;
gap> PrintNPList( K4 );             
 ab^2 - c 
 bc^2 - a 
 ca^2 - b 
 a^2b - c 
gap> gbas := SGrobner( K4 );;
gap> PrintNPList( gbas );
 b - a 
 c - a 
 a^3 - a 
gap> ## so the only reduced elements are {1,a,a^2} with a^3=a
gap> ibasK := InvolutiveBasis( A3, K4, ord );
rec( div := "LeftOverlap", 
  mvars := 
    [ 
      [ [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], 
          [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ] ], 
      [ [ 2, 3 ], [ 2, 3 ], [ 2, 3 ], [ 2, 3 ], [ 2, 3 ], [ 2, 3 ], [ 2, 3 ] 
         ] ], 
  polys := [ [ [ [ 3, 1, 1 ], [ 1 ] ], [ 1, -1 ] ], 
      [ [ [ 2, 1, 1 ], [ 1 ] ], [ 1, -1 ] ], 
      [ [ [ 1, 1, 1 ], [ 1 ] ], [ 1, -1 ] ], 
      [ [ [ 3, 1 ], [ 1, 1 ] ], [ 1, -1 ] ], 
      [ [ [ 2, 1 ], [ 1, 1 ] ], [ 1, -1 ] ], [ [ [ 3 ], [ 1 ] ], [ 1, -1 ] ], 
      [ [ [ 2 ], [ 1 ] ], [ 1, -1 ] ] ] )
gap> PrintNPList( ibasK.polys );             
 ca^2 - a 
 ba^2 - a 
 a^3 - a 
 ca - a^2 
 ba - a^2 
 c - a 
 b - a 
gap> Lr := IPolyReduce( A3, p, ibasK, ord );;
gap> PrintNP( Lr );
 18a^2 
]]>
</Example>

In this simple example the left division produces the same basis,
while the right and right overlap divisions <E>do not</E> produce 
(as might be expected) a mirror image basis.
<P/>
<Example>
<![CDATA[
gap> NoncommutativeDivision := "RightOverlap";;
gap> ribasK := InvolutiveBasis( A3, K4, ord );;  
gap> PrintNPList( ribasK.polys );                
 a^3 - a 
 c - a 
 b - a 
]]>
</Example>

</Section>

<Section Label="sec-disjoint-cones"> 
<Heading>The Disjoint Cones Conditions</Heading>
The <E>disjoint right cones condition</E> <Index>disjoint cones</Index>
for a set of monomials <M>W</M> requires that, 
for each monomial <M>w_i \in W</M>, at least one variable in every 
monomial <M>w_j \in W</M> is right nonmultiplicative for <M>w_i</M>.
The <E>disjoint left cones condition</E> is the mirror image of this.

<ManSection>
   <Oper Name="StrongLeftOverlapDivision"
         Arg="alg mons order" />
<Description>
The strong left overlap division is the extension of the left overlap
division obtained by enforcing the disjoint right cones condition.
This is achieved by considering all pairs <M>[w_i,w_j]</M> and,
if no variable in <M>w_j</M> is right nonmultiplicative for <M>w_i</M>,
then <M>w_j[1]</M> is removed from the list of right multiplicative
variables for <M>w_i</M>.
<P/>
In the example, the involutive basis using the left overlap division
contains six polynomials with leading monomials <M>[c^2,cb,ca,ba,ac,ab]</M>
and with corresponding right non-multiplicative variables
<M>[[a,b,c],[a],[b,c],[b,c],[a,b,c],[a]]</M>.
Every monomial contains either <M>b</M> or <M>c</M>.
When using the strong left overlap division, the first change is in the case
<M>i=j=2</M> when neither <M>b</M> nor <M>c</M> is non-multiplicative for
<M>cb</M>. So <M>c</M> is made non-multiplicative for <M>w_2</M>.
Similarly <M>c</M> is made non-multiplicative for <M>w_6 = ab</M>.
The right multiplicative variables are now <M>[[~],[b],[a],[a],[~],[b]]</M>,
and <C>InvolutiveBasisNP</C> continues with this information.
<P/>
</Description>
</ManSection>
<Example>
<![CDATA[
gap> P4 := [ [ [ [1,2], [3] ], [1,-2] ],
>            [ [ [2,1], [3] ], [1,-2] ],
>            [ [ [1,3], [2] ], [1,-2] ],
>            [ [ [3,1], [2] ], [1,-2] ] ];;
gap> PrintNPList( P4 );
 ab - 2c 
 ba - 2c 
 ac - 2b 
 ca - 2b 
gap> NoncommutativeDivision := "LeftOverlap";;
gap> ibasP := InvolutiveBasisNP( A3, P4, ord );
rec( div := "LeftOverlap", 
  mvars := 
    [ 
      [ [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ]\
 
         ], [ [  ], [ 2, 3 ], [ 1 ], [ 1 ], [  ], [ 2, 3 ] ] ], 
  polys := [ [ [ [ 3, 3 ], [ 2, 2 ] ], [ 1, -1 ] ], 
      [ [ [ 3, 2 ], [ 2, 3 ] ], [ 1, -1 ] ], 
      [ [ [ 3, 1 ], [ 2 ] ], [ 1, -2 ] ], [ [ [ 2, 1 ], [ 3 ] ], [ 1, -2 ] ], 
      [ [ [ 1, 3 ], [ 2 ] ], [ 1, -2 ] ], [ [ [ 1, 2 ], [ 3 ] ], [ 1, -2 ] ] 
     ] )
gap> PrintNPList( ibasP.polys );
 c^2 - b^2 
 cb - bc 
 ca - 2b 
 ba - 2c 
 ac - 2b 
 ab - 2c 
gap> ## check that cbc reduces to b^3 and abc reduces to 2b^2
gap> IPolyReduce( A3, GP2NP( c*b*c ), ibasP, ord );
[ [ [ 2, 2, 2 ] ], [ 1 ] ]
gap> IPolyReduce( A3, GP2NP( a*b*c ), ibasP, ord );
[ [ [ 2, 2 ] ], [ 2 ] ]
gap> ## now apply the strong left overlap division - two polynomials are added
gap> NoncommutativeDivision := "StrongLeftOverlap";;
gap> sbasP := InvolutiveBasisNP( A3, P4, ord );
rec( div := "StrongLeftOverlap", 
  mvars := 
    [ 
      [ [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], 
          [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ] ], 
      [ [  ], [  ], [  ], [ 2 ], [ 1 ], [ 1 ], [  ], [ 2 ] ] ], 
  polys := [ [ [ [ 3, 2, 3 ], [ 2, 2, 2 ] ], [ 1, -1 ] ], 
      [ [ [ 1, 2, 3 ], [ 2, 2 ] ], [ 1, -2 ] ], 
      [ [ [ 3, 3 ], [ 2, 2 ] ], [ 1, -1 ] ], 
      [ [ [ 3, 2 ], [ 2, 3 ] ], [ 1, -1 ] ], 
      [ [ [ 3, 1 ], [ 2 ] ], [ 1, -2 ] ], [ [ [ 2, 1 ], [ 3 ] ], [ 1, -2 ] ], 
      [ [ [ 1, 3 ], [ 2 ] ], [ 1, -2 ] ], [ [ [ 1, 2 ], [ 3 ] ], [ 1, -2 ] ] 
     ] )
gap> PrintNPList( sbasP.polys );
 cbc - b^3 
 abc - 2b^2 
 c^2 - b^2 
 cb - bc 
 ca - 2b 
 ba - 2c 
 ac - 2b 
 ab - 2c 
]]>
</Example>

<ManSection>
   <Oper Name="StrongRightOverlapDivision"
         Arg="alg mons order" />
<Description>
This operation is the mirror image of <C>StrongLeftOverlapDivision</C>.
<P/>
When we compute an involutive basis <C>rbasP</C> using the right
overlap division we find that <C>rbasP.polys = ibasP.polys</C>. 
However there is just one left multiplicative variable for each of the
polynomials and the left disjoint cones condition is already satisfied.
So, when using the strong right overlap division, we get the same basis.
<P/>
</Description>
</ManSection>
<Example>
<![CDATA[
gap> NoncommutativeDivision := "RightOverlap";;
gap> rbasP := InvolutiveBasisNP( A3, P4, ord );
rec( div := "RightOverlap", 
  mvars := [ [ [ 2 ], [ 2 ], [ 2 ], [ 2 ], [ 1 ], [ 1 ] ], 
      [ [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], [ 1 .. 3 ], 
          [ 1 .. 3 ] ] ], 
  polys := [ [ [ [ 3, 3 ], [ 2, 2 ] ], [ 1, -1 ] ], 
      [ [ [ 3, 2 ], [ 2, 3 ] ], [ 1, -1 ] ], 
      [ [ [ 3, 1 ], [ 2 ] ], [ 1, -2 ] ], [ [ [ 2, 1 ], [ 3 ] ], [ 1, -2 ] ], 
      [ [ [ 1, 3 ], [ 2 ] ], [ 1, -2 ] ], [ [ [ 1, 2 ], [ 3 ] ], [ 1, -2 ] ] 
     ] )
gap> NoncommutativeDivision := "StrongRightOverlap";;
gap> srbasP := InvolutiveBasisNP( A3, P4, ord );;
gap> ( rbasP.polys = srbasP.polys ) and ( rbasP.mvars = srbasP.mvars );
true
]]>
</Example>

</Section>

</Chapter>