Quelle  chap1.html   Sprache: HTML

<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>

<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN"
         "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd">

<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="en">
<head>
<title>GAP (Polenta) - Chapter 1: Introduction</title>
<meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<meta name="generator" content="GAPDoc2HTML" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="manual.css" />
<script src="manual.js" type="text/javascript"></script>
<script type="text/javascript">overwriteStyle();</script>
</head>
<body class="chap1"  onload="jscontent()">


<div class="chlinktop"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0.html">Top</a>  <a href="chap1.html">1</a>  <a href="chap2.html">2</a>  <a href="chap3.html">3</a>  <a href="chap4.html">4</a>  <a href="chap5.html">5</a>  <a href="chapBib.html">Bib</a>  <a href="chapInd.html">Ind</a>  </div>

<div class="chlinkprevnexttop"> <a href="chap0.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap0.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap2.html">[Next Chapter]</a>   </div>

<p id="mathjaxlink" class="pcenter"><a href="chap1_mj.html">[MathJax on]</a></p>
<p><a id="X7DFB63A97E67C0A1" name="X7DFB63A97E67C0A1"></a></p>
<div class="ChapSects"><a href="chap1.html#X7DFB63A97E67C0A1">1 <span class="Heading">Introduction</span></a>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap1.html#X79DE59997FDCF767">1.1 <span class="Heading">The package</span></a>
</span>
</div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap1.html#X86007B0083F60470">1.2 <span class="Heading">Polycyclic groups</span></a>
</span>
</div>
</div>

<h3>1 <span class="Heading">Introduction</span></h3>

<p><a id="X79DE59997FDCF767" name="X79DE59997FDCF767"></a></p>

<h4>1.1 <span class="Heading">The package</span></h4>

<p>This package provides functions for computation with matrix groups. Let <span class="SimpleMath">G</span> be a subgroup of <span class="SimpleMath">GL(d,R)</span> where the ring <span class="SimpleMath">R</span> is either equal to <span class="SimpleMath">ℚ,ℤ</span> or a finite field <span class="SimpleMath">F_q</span>. Then:</p>


<ul>
<li><p>We can test whether <span class="SimpleMath">G</span> is solvable.</p>

</li>
<li><p>We can test whether <span class="SimpleMath">G</span> is polycyclic.</p>

</li>
<li><p>If <span class="SimpleMath">G</span> is polycyclic, then we can determine a polycyclic presentation for <span class="SimpleMath">G</span>.</p>

</li>
</ul>
<p>A group <span class="SimpleMath">G</span> which is given by a polycyclic presentation can be largely investigated by algorithms implemented in the <strong class="pkg">GAP</strong>-package <strong class="pkg">Polycyclic</strong> <a href="chapBib.html#biBPolycyclic">[EN00]</a>. For example we can determine if <span class="SimpleMath">G</span> is torsion-free and calculate the torsion subgroup. Further we can compute the derived series and the Hirsch length of the group <span class="SimpleMath">G</span>. Also various methods for computations with subgroups, factor groups and extensions are available.</p>

<p>As a by-product, the <strong class="pkg">Polenta</strong> package provides some functionality to compute certain module series for modules of solvable groups. For example, if <span class="SimpleMath">G</span> is a rational polycyclic matrix group, then we can compute the radical series of the natural <span class="SimpleMath">ℚ[G]</span>-module <span class="SimpleMath">ℚ^d</span>.</p>

<p><a id="X86007B0083F60470" name="X86007B0083F60470"></a></p>

<h4>1.2 <span class="Heading">Polycyclic groups</span></h4>

<p>A group <span class="SimpleMath">G</span> is called polycyclic if it has a finite subnormal series with cyclic factors. It is a well-known fact that every polycyclic group is finitely presented by a so-called polycyclic presentation (see for example Chapter 9 in <a href="chapBib.html#biBSims">[Sim94]</a> or Chapter 2 in <a href="chapBib.html#biBPolycyclic">[EN00]</a> ). In <strong class="pkg">GAP</strong>, groups which are defined by polycyclic presentations are called polycyclically presented groups, abbreviated PcpGroups.</p>

<p>The overall idea of the algorithm implemented in this package was first introduced by Ostheimer in 1996 <a href="chapBib.html#biBOstheimer">[Ost96]</a>. In 2001 Eick presented a more detailed version <a href="chapBib.html#biBEick">[Eic01]</a>. This package contains an implementation of Eick's algorithm. A description of this implementation together with some refinements and extensions can be found in <a href="chapBib.html#biBAEi05">[AE05]</a> and <a href="chapBib.html#biBAssmann">[Ass03]</a>.</p>


<div class="chlinkprevnextbot"> <a href="chap0.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap0.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap2.html">[Next Chapter]</a>   </div>


<div class="chlinkbot"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0.html">Top</a>  <a href="chap1.html">1</a>  <a href="chap2.html">2</a>  <a href="chap3.html">3</a>  <a href="chap4.html">4</a>  <a href="chap5.html">5</a>  <a href="chapBib.html">Bib</a>  <a href="chapInd.html">Ind</a>  </div>

<hr />
<p class="foot">generated by <a href="https://www.math.rwth-aachen.de/~Frank.Luebeck/GAPDoc">GAPDoc2HTML</a></p>
</body>
</html>