Quellcodebibliothek Statistik Leitseite products/Sources/formale Sprachen/GAP/pkg/polenta/doc/   (Algebra von RWTH Aachen Version 4.15.1©)  Datei vom 10.3.2025 mit Größe 5 kB image not shown  

Quelle  chap1_mj.html   Sprache: HTML

 
 products/Sources/formale Sprachen/GAP/pkg/polenta/doc/chap1_mj.html


<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>

<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN"
         "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd">

<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="en">
<head>
<script type="text/javascript"
  src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@2/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML">
</script>
<title>GAP (Polenta) - Chapter 1: Introduction</title>
<meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<meta name="generator" content="GAPDoc2HTML" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="manual.css" />
<script src="manual.js" type="text/javascript"></script>
<script type="text/javascript">overwriteStyle();</script>
</head>
<body class="chap1"  onload="jscontent()">


<div class="chlinktop"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0_mj.html">Top</a>  <a href="chap1_mj.html">1</a>  <a href="chap2_mj.html">2</a>  <a href="chap3_mj.html">3</a>  <a href="chap4_mj.html">4</a>  <a href="chap5_mj.html">5</a>  <a href="chapBib_mj.html">Bib</a>  <a href="chapInd_mj.html">Ind</a>  </div>

<div class="chlinkprevnexttop"> <a href="chap0_mj.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0_mj.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap0_mj.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap2_mj.html">[Next Chapter]</a>   </div>

<p id="mathjaxlink" class="pcenter"><a href="chap1.html">[MathJax off]</a></p>
<p><a id="X7DFB63A97E67C0A1" name="X7DFB63A97E67C0A1"></a></p>
<div class="ChapSects"><a href="chap1_mj.html#X7DFB63A97E67C0A1">1 <span class="Heading">Introduction</span></a>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap1_mj.html#X79DE59997FDCF767">1.1 <span class="Heading">The package</span></a>
</span>
</div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap1_mj.html#X86007B0083F60470">1.2 <span class="Heading">Polycyclic groups</span></a>
</span>
</div>
</div>

<h3>1 <span class="Heading">Introduction</span></h3>

<p><a id="X79DE59997FDCF767" name="X79DE59997FDCF767"></a></p>

<h4>1.1 <span class="Heading">The package</span></h4>

<p>This package provides functions for computation with matrix groups. Let <span class="SimpleMath">\(G\)</span> be a subgroup of <span class="SimpleMath">\(GL(d,R)\)</span> where the ring <span class="SimpleMath">\(R\)</span> is either equal to <span class="SimpleMath">\(ℚ,ℤ\)</span> or a finite field <span class="SimpleMath">\(\mathbb{F}_q\)</span>. Then:</p>


<ul>
<li><p>We can test whether <span class="SimpleMath">\(G\)</span> is solvable.</p>

</li>
<li><p>We can test whether <span class="SimpleMath">\(G\)</span> is polycyclic.</p>

</li>
<li><p>If <span class="SimpleMath">\(G\)</span> is polycyclic, then we can determine a polycyclic presentation for <span class="SimpleMath">\(G\)</span>.</p>

</li>
</ul>
<p>A group <span class="SimpleMath">\(G\)</span> which is given by a polycyclic presentation can be largely investigated by algorithms implemented in the <strong class="pkg">GAP</strong>-package <strong class="pkg">Polycyclic</strong> <a href="chapBib_mj.html#biBPolycyclic">[EN00]</a>. For example we can determine if <span class="SimpleMath">\(G\)</span> is torsion-free and calculate the torsion subgroup. Further we can compute the derived series and the Hirsch length of the group <span class="SimpleMath">\(G\)</span>. Also various methods for computations with subgroups, factor groups and extensions are available.</p>

<p>As a by-product, the <strong class="pkg">Polenta</strong> package provides some functionality to compute certain module series for modules of solvable groups. For example, if <span class="SimpleMath">\(G\)</span> is a rational polycyclic matrix group, then we can compute the radical series of the natural <span class="SimpleMath">\(ℚ[G]\)</span>-module <span class="SimpleMath">\(ℚ^d\)</span>.</p>

<p><a id="X86007B0083F60470" name="X86007B0083F60470"></a></p>

<h4>1.2 <span class="Heading">Polycyclic groups</span></h4>

<p>A group <span class="SimpleMath">\(G\)</span> is called polycyclic if it has a finite subnormal series with cyclic factors. It is a well-known fact that every polycyclic group is finitely presented by a so-called polycyclic presentation (see for example Chapter 9 in <a href="chapBib_mj.html#biBSims">[Sim94]</a> or Chapter 2 in <a href="chapBib_mj.html#biBPolycyclic">[EN00]</a> ). In <strong class="pkg">GAP</strong>, groups which are defined by polycyclic presentations are called polycyclically presented groups, abbreviated PcpGroups.</p>

<p>The overall idea of the algorithm implemented in this package was first introduced by Ostheimer in 1996 <a href="chapBib_mj.html#biBOstheimer">[Ost96]</a>. In 2001 Eick presented a more detailed version <a href="chapBib_mj.html#biBEick">[Eic01]</a>. This package contains an implementation of Eick's algorithm. A description of this implementation together with some refinements and extensions can be found in [AE05] and [Ass03].




<div class="chlinkprevnextbot"> <a href="chap0_mj.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0_mj.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap0_mj.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap2_mj.html">[Next Chapter]</a>   </div>


<div class="chlinkbot"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0_mj.html">Top</a>  <a href="chap1_mj.html">1</a>  <a href="chap2_mj.html">2</a>  <a href="chap3_mj.html">3</a>  <a href="chap4_mj.html">4</a>  <a href="chap5_mj.html">5</a>  <a href="chapBib_mj.html">Bib</a>  <a href="chapInd_mj.html">Ind</a>  </div>

<hr />
<p class="foot">generated by <a href="https://www.math.rwth-aachen.de/~Frank.Luebeck/GAPDoc">GAPDoc2HTML</a></p>
</body>
</html>

99%


¤ Dauer der Verarbeitung: 0.6 Sekunden  ¤

*© Formatika GbR, Deutschland




Wurzel

Suchen

Beweissystem der NASA

Beweissystem Isabelle

NIST Cobol Testsuite

Cephes Mathematical Library

Wiener Entwicklungsmethode

Haftungshinweis

Die Informationen auf dieser Webseite wurden nach bestem Wissen sorgfältig zusammengestellt. Es wird jedoch weder Vollständigkeit, noch Richtigkeit, noch Qualität der bereit gestellten Informationen zugesichert.

Bemerkung:

Die farbliche Syntaxdarstellung ist noch experimentell.