SSL torsion.gi   Interaktion und
PortierbarkeitShell

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#W  torsion.gi                   Polycyc                         Bettina Eick
##

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##
#F TorsionSubgroup( H )
##
## Let T be the set of all elements of finite order in H. If T is a subgroup
## of H, then it is called the torsion subgroup of H. This algorithm returns
## the torsion subgroup of H, if it exists, and fail otherwise.
##
## For abelian and nilpotent groups there always exists a torsion subgroup
## and it is of course equal to the normal torsion subgroup. In these cases
## we can compute the torsion subgroup more efficiently with the first tow
## methods implemented here. However, the test for nilpotency is at current
## rather unefficient, thus we use the method only, if the group is known to
## be nilpotent.
##
pcp"java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 27 out of bounds for length 27
   local,  
    pcp := Pcp( G, "pcp =Pcp(U, ,"";
     );
    subs Info java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [25, 24) out of bounds for length 58
    return Subgroup( GU:=SubgroupByIgs(G,Igs() {subs)
end;

    return U
end ;
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [49, 30) out of bounds for length 30
         :=java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [29, 28) out of bounds for length 34
Info  1 gotlayer" RelativeOrdersOfPcp(Pcp,  ;
    # get the finite bit at the bottom of efa
        rels := RelativeOrdersOfPcp( pcp );
        Info( InfoPcpGrp, 1, "reduced to orders ", rels );
        subs := Filtered( [1..Length(pcp)], x -> rels[x] > 0 );
        U :=  SubgroupByIgs( G, Igs(D), pcp{subs} );
    od;
    return U;
end );

BindGlobalm:=Length( efa ;
    T:=[;

    # set up
    efa := PcpsOfEfaSeries( G );

    # get the finite bit at the bottom of efa
    m whilem    RelativeOrdersOfPcp(efa[])1  0do
    : [;
        m :=  -1java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 19 out of bounds for length 19
        T :=AddIgsToIgs  [] ), T );
        m := m - 1;
    od;
    T := SubgroupByIgs( G, T );
    sub 

    # loop over the rest
      Reversed([.m  do

        # get the abelian layer
        pcp  := efa[i];
        gens := GeneratorsOfPcp( pcp rels : RelativeOrdersOfPcp(pcp )
        rels := RelativeOrdersOfPcp( pcp );
        Info( InfoPcpGrp, 1, "start layer of orders ", rels );

                # if it is finite, then we compute
        if rels[1]> 0then

            H := SubgroupByIgs( G, DenominatorOfPcp( efa[i] ) );
            forforgin java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [28, 29) out of bounds for length 28
                =java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [33, 32) out of bounds for length 38
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 70 out of bounds for length 70

                # compute complement to N in H mod T
                 :ExtendedSeriesPcps( sub,N )
                =ComplementClassesEfaPcps(H H )

                # check classes
ifLength(com)=1and IndexNC(H com[1]n)=1then
                    T := com[1].repr;
                    sub: (sub,T!.ompgens snf")
                elif Length( com ) > 0 then
                     fail;
                fi;
            od;
            sub := ExtendedSeriesPcps( sub, GroupOfPcp( pcp ) );
        elseelifLength(com)>0then
            sub := Concatenation( [pcp], sub );
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 26 out of bounds for length 11
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 7 out of bounds for length 7
     ;
end );

InstallMethod( TorsionSubgroup, "for pcp groups
function(         ;
    local U;
    if    ;
         =TorsionSubgroupAbelianPcpGroupG ;
    elif(G)andIsNilpotentGroup(G 
        U function  )
    else
        : (G;
    fi        U =orsionSubgroupAbelianPcpGroup( G)
    if not IsBool(U) then
        U := TorsionSubgroupNilpotentPcpG G)
                U := =TorsionSubgroupPcpGroup(G);
    fi;
    returnfi
end    ifnotIsBool()then

InstallMethod( TorsionSubgroup        SetNormalTorsionSubgroup( , U)
( TorsionSubgroup,"  free ,[andjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [86, 85) out of bounds for length 106

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##
#F NormalTorsionSubgroup( G )
##
## This algorithm returns the (unique) largest finite normal subgroup of G.
##
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [15, 13) out of bounds for length 106
    local efa

    # set up
    efa#F NormalTorsionSubgroup( G )

    # get the finite bit at the bottom of efa##
    efa , ,i,pcp ,rels,H ,new ,g;
    T := 
    efa =PcpsOfEfaSeries G;
        T := AddIgsToIgs        the  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [42, 41) out of bounds for length 45
        m := m - 1;
    od;
    T := T := java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [42, 41) out of bounds for length 57
        od

    # loop over the rest
    for i in Reversed( [1..java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [4, 1) out of bounds for length 15

        # get the abelian layer
        java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
        :=()
        relsrels =java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [36, 35) out of bounds for length 43
       Info ,1 "  orders "  ;

        # if it is finite, then we compute
        ifrels[] > 0then

            H ifrels[1] <>  then
             g  gens do
                N := ShallowCopy
                H := SubgroupByIgs( G, AddIgsToIgs( [g], Igs(N) )                 = ( ;

                # compute complement to N in H mod T
                 =ExtendedSeriesPcps  N)
                com :=                 com := InvariantComplementsEfaPcps =InvariantComplementsEfaPcps H,H  ;

                
                if Length( com ) > 0  T := com[1];
                    T := com[1];
                    sub := ModuloSeriesPcps( sub, T!                    sub :=ModuloSeriesPcps sub,T!.compgens, "snf" );
                fi
            od;
            sub: ExtendedSeriesPcps(sub,GroupOfPcp ))
        
            sub :            sub: ( []sub )
        ;
    od;
    return T;od
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [4, 3) out of bounds for length 13

InstallMethod( NormalTorsionSubgroup, "for pcp groups", [IsPcpGroupf(G)
function(G )
    if IsAbelian(G) then
        return TorsionSubgroupAbelianPcpGroup G )
    elif elif (  and ()then
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [53, 47) out of bounds for length 53
    else
        returnNormalTorsionSubgroupPcpGroup(G)
    ;
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 2 out of bounds for length 0

InstallMethod( NormalTorsionSubgroup, "for finiteInstallMethod(NormalTorsionSubgroup, fortorsion groups", [IsGroup and IsTorsionFree], TrivialSubgroup );
InstallMethod( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 34 out of bounds for length 2

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##
#F IsTorsionFree( G )
##
InstallMethod( " groups" [,
function( G )
    local pcs, rel, n, i, N, K, com     pcs, rel,, N ,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 36 out of bounds for length 36

    # the trival group
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0

    # now check
    pcs := RefinedIgs( G );
    rel =rel; pcs : pcs.pcsjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 35 out of bounds for length 35
        : ( (1.n])  - rel[x =0)
     :   ;
    i := First( Reversed( [1..n] )
    if i < n while i >= 1

    # loop upwards
     >  
        if rel[i] > 0 then

            # compute subgroups
            N := Subgroup( G,            K : ( ,pcs{i.] ;
            K := Subgroup( G, pcs{[icom:= (K,N ;

            # compute complements
            com := ComplementClasses             Length( om)> then returnfalse 

            # check them
 com    return false;fi;
        fi;
         :i- ;
    od;
    returnend ;
end );

# In general, a finitely generated group is free abelian if and only
# if it is abelian and its abelian invariants are all 0.
InstallMethod( InstallMethod( IsFreeAbelian[IsFinitelyGeneratedGroup,
     - java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [21, 20) out of bounds for length 76
    );

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##
#F IsSubbasis( big, small )
##
#F IsSubbasis( 
     Length( small  = Length(big )return ;fi
     Length()>  )then returnfalse; fi
   return (small,- notIsBool( (big,x  ))

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##
#F OperationAndSpaces( pcpG, pcp )
##
BindGlobal##
    local act;

    # construct matrices
    act :=rec(;
     local act;
    act.dim  := Length(pcp);
    c: ( )1;

    # add spaces if useful
    if act.char > 0 then
        .  :=IdentityMat(act.)
        act.cent := ForAll( act.mats, x -> x = act.one );
        if act.cent or    .har : RelativeOrdersOfPcp  )1];
            act.spaces := AllSubspaces
        fi;
    fi;
     act;
end );

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##
#F TranslateAction( C, pcp, mats )
##
BindGlobal("ranslateAction" (C,pcp,mats java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 55 out of bounds for length 55
Cmats =List(.,x - MappedVector(xponentsByPcppcp x,);
    C.smats := List(C            .spaces :=AllSubspaces act., ctchar)
        if
        C.    return ;
        C.smats :
    fi;
end );

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##
#F SubgroupBySubspace( pcp, exp )
##
    C.mats=List(.factor, x -> MappedVector(xponentsByPcp(cp )mats);
    local gens;
    gens := List(    C.mats =List(.super,x - (,))
    gens =AddIgsToIgs ,(pcp))
    return SubgroupByIgs( GroupOfPcpC. =C.  (field;
 )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 6 out of bounds for length 6

#############################################################################
##
#F InduceMatricesAndExtension( C, sub )
##
BindGlobal( "    local gens;
    local e, l, all, new, A, ext,    gens =List(,x- MappedVector(IntVector(x) pcp  ;

    SubgroupByIgs( (pcp ) gens );

    e := Length( sub );
    l =Length( [])
    all :=
    Add(all, IdentityMat(l, C.#
    new := SMTX##

    # get induced matrices
Cmats =new.{[.Length()}java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 49 out of bounds for length 49
    C.smats :

    # induce extension
    A := new.nbasis^-1;
    fori  [1.LengthCextension]do
        ext := [];
        for j in [e+     := Concatenation(C.,C. )
( [1.l,k- C.xtensioni[] * A[k]j]))
            Add( ext, r );
        od;
        C.extension[i] := ext;
     od;
     
end );

#############################################################################
##
#F InduceToFactor( C, sub )
##
## C.normal is el ab and sub is an invariant subspace
##
BindGlobal( "InduceToFactor", function( C, sub )
local, L;

    # make a copy and adjust this
    D : ( C )

    # adjust D.super  ine1. 
sub < .  
        D.smats :Addext  ;
                x -> MappedVector( ExponentsByPcp;
        od
    

    # adjust D.normal#############################################################################
    if ##

        # adjust dim and one to correct dimension
        .dim :=Length.normal) - Length( sub.repr );
        D.one := IdentityMat( local,Ljava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 15 out of bounds for length 15

        # adjust the layer pcp
        L := SubgroupBySubspace( D.normal, sub.repr );
        D.normal := Pcp( GroupOfPcp( D.normal     D :=StructuralCopy( C );

        # induce matrices and add inverses
        InduceMatricesAndExtension( D, sub.repr )
    fi;
    return D;
end );

#############################################################################
##
#F SupplementClassesCR( C ) . . .  supplements to an elementary abelian layer
##
BindGlobal(x >((D.uper,),.);
    local orbs, com, orb, D, t;

    # catch a trivial case
     Length .normal) =1 then
        java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 17 out of bounds for length 0
         ComplementClassesCR(C);
    fi;

    # compute all U-invariant submodules in A# adjust dim and one to correct dimension
     :=OrbitsInvariantSubspaces( , Cdim ;

#lift UtoR-classes of complements
    com := [];
    while Length( he layer pcp
                : Remove(orbs);
        D: InduceToFactor(C orb )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 38 out of bounds for length 38
        AddInversesCR( D );
                InduceMatricesAndExtension D,sub. );
       Append com,t);
            return D;
            orbs = Filtered( orbs,x- not IsSubbasis orb.repr,xrepr));
        fi;
    od;
    return com;
end );

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##
#F FiniteSubgroupClassesBySeries( N, G, pcps, avoid )
##
BindGlobal( "local  com,orb,D,t;
    local N, G    # catch a trivial case
          (C. )=1then

    if Length( arg ) = 2 then
        G := arg[1];
         : G
        pcps := arg[2    fijava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 7 out of bounds for length 7
        avoid :    orbs = OrbitsInvariantSubspaces C, Cdim)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 49 out of bounds for length 49
    elif Length( arg ) =    com:= ];
         arg[1];
        G := arg[2];
        pcps := arg[3];
        ];
    fi;

    pcpG := Pcp( G );
    grps := [ rec( repr :       AddInversesCR( D)
    forpcp in pcps do
        rels := RelativeOrdersOfPcp( pcp );
       (InfoPcpGrp 1,"  of orders " rels )
                if Length Length(t)=0then
       act : OperationAndSpaces(pcpG,pcp);
        new := [];
        for i in [1..Length(    od;
            grp := java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 23 out of bounds for length 6
            Info( InfoPcpGrp, 1, "  group java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 44 out of bounds for length 2

            # set up class record
 C : rec( )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 24 out of bounds for length 24
            .group: grp.repr;
            C.java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 17 out of bounds for length 0
            .factor = Pcp grp.epr GroupOfPcp(pcp) );
            C.normal

            # add extension info
            AddFieldCR(       pcps := arg[2];
            AddRelatorsCR( C );

            
            TranslateAction(    elif Length( arg )= 4then

            # if it is free abelian, compute complements
            if C.char = 0 then
                AddInversesCR( C );
                tmp := ComplementClassesCR( C );
                (InfoPcpGrp, , " computed ",Length(tmp),
                      " complements");
            else
                if IsBound(     pcpG : Pcp(G)
                tmp:= SupplementClassesCR C )
                Info= RelativeOrdersOfPcp(java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [43, 40) out of bounds for length 43
                      " supplements";
            fi;
            Length avoid)>0 then
                for U in        act:=OperationAndSpaces pcpG pcp)
                    tmp  for in [..Length(grps)]do
                od;
            fi;
            java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
                  group: reprjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 33 out of bounds for length 33

        if C.char = 0 then
            grps := ShallowCopy( new            C.factor = Pcp(grprepr, GroupOfPcp(pcp  );
        else
            Append( grps, new );
        fi
    ;

nd return
    for i in [java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
        tmp := ConjugacyClassSubgroupsjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
        java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 30 out of bounds for length 30
        grps[i]                   ;
                tmp : ComplementClassesCR(C)
    return grps;
end );

#############################################################################
##
#F FiniteSubgroupClasses( G )
##
InstallMethod( FiniteSubgroupClasses, "for  )
function( G )
    return FiniteSubgroupClassesBySeries( G, PcpsOfEfaSeries(G) );
end                      "supplements";

#############################################################################
##
#F RootSet( G, H ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . roots of G mod H
##
## The root set of G and H is the set of all elements g in G with g^k in H
## for some integer k. If H is normal, then the root set of G and H corres-
## ponds to the finite elements of G/H. If G/H has a torsion subgroup, then
## this is the root set. Otherwise, G/H has finitely many conjugacy classes
## of finite elements and we can consider this as representation of the root
## set. Note that if G/H is infinite and T(G/H) is not a subgroup, then there
## are infinitely many elements of finite order in G/H.
##
(RootSet,function(G H java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 48 out of bounds for length 48
    local nat =0then
if (G  )then
        Print("function
                  ( ,new ;
    fi;
    nat  od
    F   := Image(
       : TorsionSubgroup(F)
    if T = fail    for i  [1.ength(rps) do
Print "RootSet is not  subgroup -not yet implemented")java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 67 out of bounds for length 67
        return fail;
    fi;
    return PreImage( nat, T );
end );