Quellcodebibliothek Statistik Leitseite products/Sources/formale Sprachen/GAP/pkg/qpa/doc/   (Algebra von RWTH Aachen Version 4.15.1©)  Datei vom 4.0.2024 mit Größe 12 kB image not shown  

Quelle  chap9.html   Sprache: HTML

 
 products/Sources/formale Sprachen/GAP/pkg/qpa/doc/chap9.html


<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>

<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN"
         "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd">

<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="en">
<head>
<title>GAP (QPA) - Chapter 9: Auslander-Reiten theory</title>
<meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<meta name="generator" content="GAPDoc2HTML" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="manual.css" />
<script src="manual.js" type="text/javascript"></script>
<script type="text/javascript">overwriteStyle();</script>
</head>
<body class="chap9"  onload="jscontent()">


<div class="chlinktop"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0.html">Top</a>  <a href="chap1.html">1</a>  <a href="chap2.html">2</a>  <a href="chap3.html">3</a>  <a href="chap4.html">4</a>  <a href="chap5.html">5</a>  <a href="chap6.html">6</a>  <a href="chap7.html">7</a>  <a href="chap8.html">8</a>  <a href="chap9.html">9</a>  <a href="chap10.html">10</a>  <a href="chap11.html">11</a>  <a href="chap12.html">12</a>  <a href="chap13.html">13</a>  <a href="chapBib.html">Bib</a>  <a href="chapInd.html">Ind</a>  </div>

<div class="chlinkprevnexttop"> <a href="chap0.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap8.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap10.html">[Next Chapter]</a>   </div>

<p id="mathjaxlink" class="pcenter"><a href="chap9_mj.html">[MathJax on]</a></p>
<p><a id="X855427278501E7FB" name="X855427278501E7FB"></a></p>
<div class="ChapSects"><a href="chap9.html#X855427278501E7FB">9 <span class="Heading">Auslander-Reiten theory</span></a>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap9.html#X79B0EA987E050C6D">9.1 <span class="Heading">Almost split sequences and AR-quivers</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap9.html#X87BADA287BD9972C">9.1-1 AlmostSplitSequence</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap9.html#X7E8DBA647B3EC71B">9.1-2 AlmostSplitSequenceInPerpT</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap9.html#X8774261F862EC761">9.1-3 IrreducibleMorphismsEndingIn</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap9.html#X873085DD8534F600">9.1-4 IsTauPeriodic</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap9.html#X81A363848166449D">9.1-5 PredecessorOfModule</a></span>
</div></div>
</div>

<h3>9 <span class="Heading">Auslander-Reiten theory</span></h3>

<p>This chapter describes the functions implemented for almost split sequences and Auslander-Reiten theory in QPA.</p>

<p><a id="X79B0EA987E050C6D" name="X79B0EA987E050C6D"></a></p>

<h4>9.1 <span class="Heading">Almost split sequences and AR-quivers</span></h4>

<p><a id="X87BADA287BD9972C" name="X87BADA287BD9972C"></a></p>

<h5>9.1-1 AlmostSplitSequence</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ AlmostSplitSequence</code>( <var class="Arg">M</var> )</td><td class="tdright">( attribute )</td></tr></table></div>
<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ AlmostSplitSequence</code>( <var class="Arg">M</var>, <var class="Arg">e</var> )</td><td class="tdright">( attribute )</td></tr></table></div>
<p>Arguments: <var class="Arg">M</var> - an indecomposable non-projective module, <var class="Arg">e</var> - either l = left or r = right<br /></p>

<p>Returns: the almost split sequence ending in the module <var class="Arg">M</var> if it is indecomposable and not projective, for the first variant. The second variant finds the almost split sequence starting or ending in the module <var class="Arg">M</var> depending on whether the second argument <var class="Arg">e</var> is l or r (l = almost split sequence starting with <var class="Arg">M</var>, or r = almost split sequence ending in <var class="Arg">M</var>), if the module is indecomposable and not injective or not projective, respectively. It returns fail if the module is injective (l) or projective (r).</p>

<p>The almost split sequence is returned as a pair of maps, the monomorphism and the epimorphism. The function assumes that the module <var class="Arg">M</var> is indecomposable, and the source of the monomorphism (l) or the range of the epimorphism (r) is a module that is isomorphic to <var class="Arg">M</var>, not necessarily identical.</p>

<p><a id="X7E8DBA647B3EC71B" name="X7E8DBA647B3EC71B"></a></p>

<h5>9.1-2 AlmostSplitSequenceInPerpT</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ AlmostSplitSequenceInPerpT</code>( <var class="Arg">T</var>, <var class="Arg">M</var> )</td><td class="tdright">( operation )</td></tr></table></div>
<p>Arguments: <var class="Arg">T</var> - a cotilting module, <var class="Arg">M</var> - an indecomposable non-projective module<br /></p>

<p>Returns: the almost split sequence in <span class="Math">^\perp T</span> ending in the module <var class="Arg">M</var>, if the module is indecomposable and not projective (that is, not projective object in <span class="Math">^\perp T</span>). It returns fail if the module <var class="Arg">M</var> is in <span class="Math">\add T</span> projective. The almost split sequence is returned as a pair of maps, the monomorphism and the epimorphism, and the range of the epimorphism is a module that is isomorphic to the input, not necessarily identical.</p>

<p>The function assumes that the module <var class="Arg">M</var> is indecomposable and in <span class="Math">^\perp T</span>, and the range of the epimorphism is a module that is isomorphic to the input, not necessarily identical.</p>

<p><a id="X8774261F862EC761" name="X8774261F862EC761"></a></p>

<h5>9.1-3 IrreducibleMorphismsEndingIn</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ IrreducibleMorphismsEndingIn</code>( <var class="Arg">M</var> )</td><td class="tdright">( attribute )</td></tr></table></div>
<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ IrreducibleMorphismsStartingIn</code>( <var class="Arg">M</var> )</td><td class="tdright">( attribute )</td></tr></table></div>
<p>Arguments: <var class="Arg">M</var> - an indecomposable module<br /></p>

<p>Returns: the collection of irreducible morphisms ending and starting in the module <var class="Arg">M</var>, respectively. The argument is assumed to be an indecomposable module.</p>

<p>The irreducible morphisms are returned as a list of maps. Even in the case of only one irreducible morphism, it is returned as a list. The function assumes that the module <var class="Arg">M</var> is indecomposable over a quiver algebra with a finite field as the ground ring.</p>

<p><a id="X873085DD8534F600" name="X873085DD8534F600"></a></p>

<h5>9.1-4 IsTauPeriodic</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ IsTauPeriodic</code>( <var class="Arg">M</var>, <var class="Arg">n</var> )</td><td class="tdright">( operation )</td></tr></table></div>
<p>Arguments: <var class="Arg">M</var> -- a path algebra module (<code class="code">PathAlgebraMatModule</code>), <var class="Arg">n</var> -- be a positive integer. <br /></p>

<p>Returns: <code class="code">i</code>, where <code class="code">i</code> is the smallest positive integer less or equal <code class="code">n</code> such that the representation <var class="Arg">M</var> is isomorphic to the <span class="SimpleMath">τ^i(M)</span>, and false otherwise.</p>

<p><a id="X81A363848166449D" name="X81A363848166449D"></a></p>

<h5>9.1-5 PredecessorOfModule</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ PredecessorOfModule</code>( <var class="Arg">M</var>, <var class="Arg">n</var> )</td><td class="tdright">( operation )</td></tr></table></div>
<p>Arguments: <var class="Arg">M</var> - an indecomposable non-projective module and <var class="Arg">n</var> - a positive integer.<br /></p>

<p>Returns: the predecessors of the module <var class="Arg">M</var> in the AR-quiver of the algebra <var class="Arg">M</var> is given over of distance less or equal to <var class="Arg">n</var>.</p>

<p>It returns two lists, the first is the indecomposable modules in the different layers and the second is the valuations for the arrows in the AR-quiver. The different entries in the first list are the modules at distance zero, one, two, three, and so on, until layer <var class="Arg">n</var>. The <code class="code">m</code>-th entry in the second list is the valuations of the irreducible morphism from indecomposable module number <code class="code">i</code> in layer <code class="code">m+1</code> to indecomposable module number <code class="code">j</code> in layer <code class="code">m</code> for the values of <code class="code">i</code> and <code class="code">j</code> there is an irreducible morphism. Whenever <code class="code">false</code> occur in the output, it means that this valuation has not been computed. The function assumes that the module <var class="Arg">M</var> is indecomposable and that the quotient of the path algebra is given over a finite field.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">A := KroneckerAlgebra(GF(4),2);       </span>
<GF(2^2)[<quiver with 2 vertices and 2 arrows>]>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">S := SimpleModules(A)[1];             </span>
<[ 1, 0 ]>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">ass := AlmostSplitSequence(S);   </span>
[ <<[ 3, 2 ]> ---> <[ 4, 2 ]>>
    , <<[ 4, 2 ]> ---> <[ 1, 0 ]>>
     ]
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">DecomposeModule(Range(ass[1]));</span>
[ <[ 2, 1 ]>, <[ 2, 1 ]> ]
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">PredecessorsOfModule(S,5);   </span>
[ [ [ <[ 1, 0 ]> ], [ <[ 2, 1 ]> ], [ <[ 3, 2 ]> ], [ <[ 4, 3 ]> ], 
      [ <[ 5, 4 ]> ], [ <[ 6, 5 ]> ] ], 
  [ [ [ 1, 1, [ 2, false ] ] ], [ [ 1, 1, [ 2, 2 ] ] ], 
      [ [ 1, 1, [ 2, 2 ] ] ], [ [ 1, 1, [ 2, 2 ] ] ], 
      [ [ 1, 1, [ false, 2 ] ] ] ] ]
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">A:=NakayamaAlgebra([5,4,3,2,1],GF(4));</span>
<GF(2^2)[<quiver with 5 vertices and 4 arrows>]>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">S := SimpleModules(A)[1];             </span>
<[ 1, 0, 0, 0, 0 ]>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">PredecessorsOfModule(S,5);</span>
[ [ [ <[ 1, 0, 0, 0, 0 ]> ], [ <[ 1, 1, 0, 0, 0 ]> ], 
      [ <[ 0, 1, 0, 0, 0 ]>, <[ 1, 1, 1, 0, 0 ]> ], 
      [ <[ 0, 1, 1, 0, 0 ]>, <[ 1, 1, 1, 1, 0 ]> ], 
      [ <[ 0, 0, 1, 0, 0 ]>, <[ 0, 1, 1, 1, 0 ]>, <[ 1, 1, 1, 1, 1 ]> 
         ], [ <[ 0, 0, 1, 1, 0 ]>, <[ 0, 1, 1, 1, 1 ]> ] ], 
  [ [ [ 1, 1, [ 1, false ] ] ], 
      [ [ 1, 1, [ 1, 1 ] ], [ 2, 1, [ 1, false ] ] ], 
      [ [ 1, 1, [ 1, 1 ] ], [ 1, 2, [ 1, 1 ] ], 
          [ 2, 2, [ 1, false ] ] ], 
      [ [ 1, 1, [ 1, 1 ] ], [ 2, 1, [ 1, 1 ] ], [ 2, 2, [ 1, 1 ] ], 
          [ 3, 2, [ 1, false ] ] ], 
      [ [ 1, 1, [ false, 1 ] ], [ 1, 2, [ false, 1 ] ], 
          [ 2, 2, [ false, 1 ] ], [ 2, 3, [ false, 1 ] ] ] ] ] 
</pre></div>


<div class="chlinkprevnextbot"> <a href="chap0.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap8.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap10.html">[Next Chapter]</a>   </div>


<div class="chlinkbot"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0.html">Top</a>  <a href="chap1.html">1</a>  <a href="chap2.html">2</a>  <a href="chap3.html">3</a>  <a href="chap4.html">4</a>  <a href="chap5.html">5</a>  <a href="chap6.html">6</a>  <a href="chap7.html">7</a>  <a href="chap8.html">8</a>  <a href="chap9.html">9</a>  <a href="chap10.html">10</a>  <a href="chap11.html">11</a>  <a href="chap12.html">12</a>  <a href="chap13.html">13</a>  <a href="chapBib.html">Bib</a>  <a href="chapInd.html">Ind</a>  </div>

<hr />
<p class="foot">generated by <a href="http://www.math.rwth-aachen.de/~Frank.Luebeck/GAPDoc">GAPDoc2HTML</a></p>
</body>
</html>

100%


¤ Dauer der Verarbeitung: 0.17 Sekunden  (vorverarbeitet)  ¤

*© Formatika GbR, Deutschland




Wurzel

Suchen

Beweissystem der NASA

Beweissystem Isabelle

NIST Cobol Testsuite

Cephes Mathematical Library

Wiener Entwicklungsmethode

Haftungshinweis

Die Informationen auf dieser Webseite wurden nach bestem Wissen sorgfältig zusammengestellt. Es wird jedoch weder Vollständigkeit, noch Richtigkeit, noch Qualität der bereit gestellten Informationen zugesichert.

Bemerkung:

Die farbliche Syntaxdarstellung ist noch experimentell.