Quelle  chap1_mj.html   Sprache: HTML

<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>

<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN"
         "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd">

<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="en">
<head>
<script type="text/javascript"
  src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@2/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML">
</script>
<title>GAP (RepnDecomp) - Chapter 1: Introduction</title>
<meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<meta name="generator" content="GAPDoc2HTML" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="manual.css" />
<script src="manual.js" type="text/javascript"></script>
<script type="text/javascript">overwriteStyle();</script>
</head>
<body class="chap1"  onload="jscontent()">


<div class="chlinktop"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0_mj.html">Top</a>  <a href="chap1_mj.html">1</a>  <a href="chap2_mj.html">2</a>  <a href="chap3_mj.html">3</a>  <a href="chap4_mj.html">4</a>  <a href="chap5_mj.html">5</a>  <a href="chap6_mj.html">6</a>  <a href="chapInd_mj.html">Ind</a>  </div>

<div class="chlinkprevnexttop"> <a href="chap0_mj.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0_mj.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap0_mj.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap2_mj.html">[Next Chapter]</a>   </div>

<p id="mathjaxlink" class="pcenter"><a href="chap1.html">[MathJax off]</a></p>
<p><a id="X7DFB63A97E67C0A1" name="X7DFB63A97E67C0A1"></a></p>
<div class="ChapSects"><a href="chap1_mj.html#X7DFB63A97E67C0A1">1 <span class="Heading">Introduction</span></a>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap1_mj.html#X789233A47A277072">1.1 <span class="Heading">Getting started with RepnDecomp</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap1_mj.html#X8360C04082558A12">1.1-1 <span class="Heading">Installation</span></a>
</span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap1_mj.html#X792C0F507B4A3B89">1.1-2 <span class="Heading">Note on what is meant by a representation</span></a>
</span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap1_mj.html#X8315479878D25E37">1.1-3 <span class="Heading">API Overview</span></a>
</span>
</div></div>
</div>

<h3>1 <span class="Heading">Introduction</span></h3>

<p><a id="X789233A47A277072" name="X789233A47A277072"></a></p>

<h4>1.1 <span class="Heading">Getting started with RepnDecomp</span></h4>

<p>This package allows computations of various decompositions of a representation <span class="SimpleMath">\(\rho : G \to GL(V)\)</span> where <span class="SimpleMath">\(G\)</span> is finite and <span class="SimpleMath">\(V\)</span> is a finite-dimensional <span class="SimpleMath">\(\mathbb{C}\)</span>-vector space.</p>

<p><a id="X8360C04082558A12" name="X8360C04082558A12"></a></p>

<h5>1.1-1 <span class="Heading">Installation</span></h5>

<p>To install this package, refer to the installation instructions in the README file in the source code. It is located here: <span class="URL"><a href="https://github.com/gap-packages/RepnDecomp/blob/master/README.md">https://github.com/gap-packages/RepnDecomp/blob/master/README.md</a></span>.</p>

<p><a id="X792C0F507B4A3B89" name="X792C0F507B4A3B89"></a></p>

<h5>1.1-2 <span class="Heading">Note on what is meant by a representation</span></h5>

<p>Throughout this documentation, mathematical terminology is used e.g. representation. It is clear what is meant mathematically, but it is not entirely clear what is meant in terms of GAP types - what are you supposed to pass in when I say "pass in a representation". Occasionally I will not even mention what we are passing in and assume the reader knows that <var class="Arg">rho</var> or <span class="SimpleMath">\(\rho\)</span> refers to a representation. A representation we can use is, in GAP, a homomorphism from a finite group to a matrix group where all matrices have coefficients in a cyclotomic field (<code class="code">Cyclotomics</code> is the union of all such fields in GAP). You can check whether something you want to pass is suitable with the function <code class="func">IsFiniteGroupLinearRepresentation</code> (<a href="chap4_mj.html#X8631A1417C3C1D88"><span class="RefLink">4.1-1</span></a>).</p>

<p>Here's an example of a representation <var class="Arg">rho</var> in GAP:</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">G := SymmetricGroup(3);</span>
Sym( [ 1 .. 3 ] )
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">images := List(GeneratorsOfGroup(G), g -> PermutationMat(g, 3));</span>
[ [ [ 0, 1, 0 ], [ 0, 0, 1 ], [ 1, 0, 0 ] ],
  [ [ 0, 1, 0 ], [ 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 1 ] ] ]
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">rho := GroupHomomorphismByImages(G, Group(images));</span>
[ (1,2,3), (1,2) ] -> [ [ [ 0, 1, 0 ], [ 0, 0, 1 ], [ 1, 0, 0 ] ],
  [ [ 0, 1, 0 ], [ 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 1 ] ] ]
</pre></div>

<p><a id="X8315479878D25E37" name="X8315479878D25E37"></a></p>

<h5>1.1-3 <span class="Heading">API Overview</span></h5>

<p>The algorithms implemented can be divided into two groups: methods due to Serre from his book Linear Representations of Finite Groups, and original methods due to the authors of this package.</p>

<p>The default is to use the algorithms due to Serre. If you pass the option <code class="code">method := "alternate"</code> to a function, it will use the alternate method. Passing the option <code class="code">parallel</code> will try to compute in parallel as much as possible. See the individual functions for options you can pass.</p>

<p>The main functions implemented in this package are:</p>

<p>For decomposing representations into canonical and irreducible direct summands:</p>


<ul>
<li><p><code class="func">CanonicalDecomposition</code> (<a href="chap5_mj.html#X7E95B0367992BEC4"><span class="RefLink">5.3-1</span></a>)</p>

</li>
<li><p><code class="func">IrreducibleDecomposition</code> (<a href="chap5_mj.html#X795C63F386C45308"><span class="RefLink">5.3-2</span></a>)</p>

</li>
<li><p><code class="func">IrreducibleDecompositionCollected</code> (<a href="chap5_mj.html#X87E91CBE7992D126"><span class="RefLink">5.3-3</span></a>)</p>

</li>
</ul>
<p>For block diagonalising representations:</p>


<ul>
<li><p><code class="func">BlockDiagonalBasisOfRepresentation</code> (<a href="chap5_mj.html#X8361AD057AD282AC"><span class="RefLink">5.1-1</span></a>)</p>

</li>
<li><p><code class="func">BlockDiagonalRepresentation</code> (<a href="chap5_mj.html#X86EB837579C1416D"><span class="RefLink">5.1-2</span></a>)</p>

</li>
</ul>
<p>For computing centraliser rings:</p>


<ul>
<li><p><code class="func">CentralizerBlocksOfRepresentation</code> (<a href="chap6_mj.html#X7901B6A7860D35C3"><span class="RefLink">6.1-1</span></a>)</p>

</li>
<li><p><code class="func">CentralizerOfRepresentation</code> (<a href="chap6_mj.html#X86B19E2B877121E9"><span class="RefLink">6.1-2</span></a>)</p>

</li>
</ul>
<p>For testing isomorphism and computing isomorphisms (intertwining operators) between representations:</p>


<ul>
<li><p><code class="func">LinearRepresentationIsomorphism</code> (<a href="chap2_mj.html#X7F0D3CFB7800149A"><span class="RefLink">2.1-1</span></a>)</p>

</li>
<li><p><code class="func">AreRepsIsomorphic</code> (<a href="chap2_mj.html#X86EB9DD586958473"><span class="RefLink">2.2-1</span></a>)</p>

</li>
<li><p><code class="func">IsLinearRepresentationIsomorphism</code> (<a href="chap2_mj.html#X81080E1B7917B361"><span class="RefLink">2.2-2</span></a>)</p>

</li>
</ul>
<p>For testing unitarity of representations and the unitarisation of representations:</p>


<ul>
<li><p><code class="func">UnitaryRepresentation</code> (<a href="chap3_mj.html#X86B2367A79BE5B9F"><span class="RefLink">3.1-1</span></a>)</p>

</li>
<li><p><code class="func">IsUnitaryRepresentation</code> (<a href="chap3_mj.html#X87D121227C027253"><span class="RefLink">3.1-2</span></a>)</p>

</li>
</ul>

<div class="chlinkprevnextbot"> <a href="chap0_mj.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0_mj.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap0_mj.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap2_mj.html">[Next Chapter]</a>   </div>


<div class="chlinkbot"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0_mj.html">Top</a>  <a href="chap1_mj.html">1</a>  <a href="chap2_mj.html">2</a>  <a href="chap3_mj.html">3</a>  <a href="chap4_mj.html">4</a>  <a href="chap5_mj.html">5</a>  <a href="chap6_mj.html">6</a>  <a href="chapInd_mj.html">Ind</a>  </div>

<hr />
<p class="foot">generated by <a href="https://www.math.rwth-aachen.de/~Frank.Luebeck/GAPDoc">GAPDoc2HTML</a></p>
</body>
</html>