Quelle  nrconstr.gi   Sprache: Shell

## N!.multiplication ersetzt PM


#############################################################################
##
#M  DirectProductNearRing
##

InstallMethod(
 DirectProductNearRing,
 "ExpMulNR*ExpMulNR",
 true,
 [IsExplicitMultiplicationNearRing, IsExplicitMultiplicationNearRing],
 0,
  function ( N, M )
  local NM, pr1, pr2, e1, e2, mul, D;
    NM := DirectProduct(GroupReduct(N),GroupReduct(M));
    e1 := Embedding( NM, 1 );
    e2 := Embedding( NM, 2 );
    pr1 := Projection( NM, 1 );
    pr2 := Projection( NM, 2 );
    mul := function( x, y ) 
      return Image(e1,NRMultiplication(N)(Image(pr1,x),Image(pr1,y)))
            *Image(e2,NRMultiplication(M)(Image(pr2,x),Image(pr2,y)));
    end;

    D := ExplicitMultiplicationNearRingNC( NM, mul );
    SetDirectProductNearRingFlag( D, true );
    # remember the factors
    D!.factors := [ N, M ];

    return D;
end );

#############################################################################
##
#M  DirectProductNearRing for 2 transformation nearrings
##

InstallMethod(
 DirectProductNearRing,
 "TfmNRs",
 true,
 [IsTransformationNearRing, IsTransformationNearRing],
 0,
  function ( nr1, nr2 )
  local gamma1, gamma2, newGamma,
 elms, fam,
 pr1, pr2, emb1, emb2,
 embedTransformation,
 zero1, zero2,
 addGens1, addGens2, addGens,
 D;

    gamma1 := Gamma( nr1 ); gamma2 := Gamma( nr2 );

    newGamma := DirectProduct( gamma1, gamma2 );
    elms := AsSSortedList( newGamma );
    fam := EndoMappingFamily( newGamma );

    pr1 := Projection( newGamma, 1 );
    pr2 := Projection( newGamma, 2 );

    emb1 := Embedding( newGamma, 1 );
    emb2 := Embedding( newGamma, 2 );

    embedTransformation := function ( f, g )
    local vec, elm;
      vec := [];
      for elm in elms do
 Add( vec, Position( elms, 
  Image( emb1, Image( f, Image( pr1, elm ) ) ) *
  Image( emb2, Image( g, Image( pr2, elm ) ) )
    )              );
      od;
      return EndoMappingByTransformation( newGamma, fam, Transformation(vec) );
    end;

    zero1 := ConstantEndoMapping( gamma1, Identity( gamma1 ) );
    zero2 := ConstantEndoMapping( gamma2, Identity( gamma2 ) );

    addGens1 := List( GeneratorsOfGroup( GroupReduct( nr1 ) ),
   gen -> GroupGeneralMappingByGroupElement( GroupReduct(nr1), gen ) );
    addGens2 := List( GeneratorsOfGroup( GroupReduct( nr2 ) ),
   gen -> GroupGeneralMappingByGroupElement( GroupReduct(nr2), gen ) );

    addGens := Concatenation(
  List( addGens1, gen -> embedTransformation( gen, zero2 ) ),
  List( addGens2, gen -> embedTransformation( zero1, gen ) ) );

    D := TransformationNearRingByAdditiveGenerators( newGamma, addGens );

    SetDirectProductNearRingFlag( D, true );
    # remember the factors
    D!.factors := [ nr1, nr2 ];

    return D;
  end );

#############################################################################
##
#M  ViewObj for direct products of nearrings
##

InstallMethod(
 ViewObj,
 "direct products of nearrings",
 true,
 [IsNearRing and IsDirectProductNearRing],
 10,   # overwrite all methods for ExpMulNRs
  function ( nr )
    Print("DirectProductNearRing( ",nr!.factors[1],", ",nr!.factors[2]," )");
  end );

#############################################################################
##
#M  NearRingIdeals for direct products of nearrings
##

InstallMethod(
 NearRingIdeals,
 "direct products",
 true,
 [IsNearRingWithOne and IsDirectProductNearRing],
 10,
  function ( nr )
  local addGroup, 
 idealsOf1stFactor, idealsOf2ndFactor, 
 embedding1, embedding2, 
 ideals, I, J;

    addGroup := GroupReduct(nr);

    idealsOf1stFactor := NearRingIdeals(nr!.factors[1]);
    idealsOf2ndFactor := NearRingIdeals(nr!.factors[2]);

    embedding1 := Embedding( addGroup, 1 );
    embedding2 := Embedding( addGroup, 2 );

    idealsOf1stFactor := List( idealsOf1stFactor,
 id -> Image( embedding1, GroupReduct( id ) ) );
    idealsOf2ndFactor := List( idealsOf2ndFactor,
 id -> Image( embedding2, GroupReduct( id ) ) );

    ideals := [];
    for I in idealsOf1stFactor do
      for J in idealsOf2ndFactor do
        Add( ideals, ClosureGroup( I, J ) );
      od;
    od;

    return List( ideals, I -> NearRingIdealBySubgroupNC( nr, I ) );
  end );

#############################################################################
##
#M  NearRingLeftIdeals for direct products of nearrings
##

InstallMethod(
 NearRingLeftIdeals,
 "direct products",
 true,
 [IsNearRingWithOne and IsDirectProductNearRing],
 10,
  function ( nr )
  local addGroup, 
 idealsOf1stFactor, idealsOf2ndFactor, 
 embedding1, embedding2, 
 ideals, I, J;

    addGroup := GroupReduct(nr);

    idealsOf1stFactor := NearRingLeftIdeals(nr!.factors[1]);
    idealsOf2ndFactor := NearRingLeftIdeals(nr!.factors[2]);

    embedding1 := Embedding( addGroup, 1 );
    embedding2 := Embedding( addGroup, 2 );

    idealsOf1stFactor := List( idealsOf1stFactor,
 id -> Image( embedding1, GroupReduct( id ) ) );
    idealsOf2ndFactor := List( idealsOf2ndFactor,
 id -> Image( embedding2, GroupReduct( id ) ) );

    ideals := [];
    for I in idealsOf1stFactor do
      for J in idealsOf2ndFactor do
        Add( ideals, ClosureGroup( I, J ) );
      od;
    od;

    return List( ideals, I -> NearRingLeftIdealBySubgroupNC( nr, I ) );
  end );

#############################################################################
##
#M  NearRingRightIdeals for direct products of nearrings
##

InstallMethod(
 NearRingRightIdeals,
 "direct products",
 true,
 [IsNearRingWithOne and IsDirectProductNearRing],
 10,
  function ( nr )
  local addGroup, 
 idealsOf1stFactor, idealsOf2ndFactor, 
 embedding1, embedding2, 
 ideals, I, J;

    addGroup := GroupReduct(nr);

    idealsOf1stFactor := NearRingRightIdeals(nr!.factors[1]);
    idealsOf2ndFactor := NearRingRightIdeals(nr!.factors[2]);

    embedding1 := Embedding( addGroup, 1 );
    embedding2 := Embedding( addGroup, 2 );

    idealsOf1stFactor := List( idealsOf1stFactor,
 id -> Image( embedding1, GroupReduct( id ) ) );
    idealsOf2ndFactor := List( idealsOf2ndFactor,
 id -> Image( embedding2, GroupReduct( id ) ) );

    ideals := [];
    for I in idealsOf1stFactor do
      for J in idealsOf2ndFactor do
        Add( ideals, ClosureGroup( I, J ) );
      od;
    od;

    return List( ideals, I -> NearRingRightIdealBySubgroupNC( nr, I ) );
  end );

#############################################################################
##
#M  FactorNearRing
##

InstallMethod(
 FactorNearRing,
 "really an ideal?",
 IsIdenticalObj,
 [IsExplicitMultiplicationNearRing, IsNRI],
 100,
  function ( N, I )
  if IsNearRingRightIdeal(I) and
     IsNearRingLeftIdeal(I) then
     TryNextMethod();
  else
     Error( "FactorNearRing( N, I ): I has to be a two-sided ideal in N" );
  fi;
end );

InstallMethod(
 FactorNearRing,
 "ExpMulNR",
 IsIdenticalObj,
 [IsExplicitMultiplicationNearRing, IsNRI],
 0,
  function ( N, I )
  local NfI, f, mul, addN, addI, F;
    addN := GroupReduct(N); addI := GroupReduct(I);
    f := NaturalHomomorphismByNormalSubgroupNC( addN, addI );
    NfI := Image( f, addN );

    mul := function ( x, y )
      return Image( f,
 NRMultiplication(N)(
  PreImagesRepresentative( f, x ),
  PreImagesRepresentative( f, y )
    )
    );
    end;
    F := ExplicitMultiplicationNearRingNC( NfI, mul );
    SetFactorNearRingFlag( F, true );
    F!.mother := N;   # the generators of
    F!.father := I;   # a factor nearring

    return F;
end );
  
InstallMethod(
 FactorNearRing,
 "generic",
 IsIdenticalObj,
 [IsNearRing, IsNRI],
 0,
  function ( N, I )
  local NfI, f, mul, addN, addI, fam, F;
    fam := N!.elementsInfo;
    addN := GroupReduct(N); addI := GroupReduct(I);
    f := NaturalHomomorphismByNormalSubgroupNC( addN, addI );
    NfI := Image( f, addN );

    mul := function ( x, y )
      return Image( f,
 GroupElementRepOfNearRingElement(
  NearRingElementByGroupRep( fam, PreImagesRepresentative( f, x ) ) *
  NearRingElementByGroupRep( fam, PreImagesRepresentative( f, y ) )
     )
    );
    end;
    F := ExplicitMultiplicationNearRingNC( NfI, mul );
    SetFactorNearRingFlag( F, true );
    F!.mother := N;   # the generators of
    F!.father := I;   # a factor nearring

    return F;
end );

#############################################################################
##
#M  \/ for a nearring and an ideal
##

InstallOtherMethod(
 \/,
 "nearrings",
 true,
 [IsNearRing, IsNRI],
 0,
  function ( N, I )
    return FactorNearRing( N, I );
  end );
 
#############################################################################
##
#M  ViewObj for factor NearRings
##

InstallMethod(
 ViewObj,
 "factor NearRings",
 true,
 [IsNearRing and IsFactorNearRing],
 10,   # overwrite all methods for ExpMulNRs
  function ( nr )
    Print( "FactorNearRing( ",nr!.mother,", ",nr!.father," )" );
  end );