Quellcodebibliothek Statistik Leitseite products/Sources/formale Sprachen/GAP/pkg/sotgrps/doc/   (Algebra von RWTH Aachen Version 4.15.1©)  Datei vom 29.7.2024 mit Größe 13 kB image not shown  

Quelle  chap1.html   Sprache: HTML

 
 products/Sources/formale Sprachen/GAP/pkg/sotgrps/doc/chap1.html


<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>

<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN"
         "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd">

<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="en">
<head>
<title>GAP (SOTGrps) - Chapter 1: The SOTGrps package</title>
<meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<meta name="generator" content="GAPDoc2HTML" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="manual.css" />
<script src="manual.js" type="text/javascript"></script>
<script type="text/javascript">overwriteStyle();</script>
</head>
<body class="chap1"  onload="jscontent()">


<div class="chlinktop"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0.html">Top</a>  <a href="chap1.html">1</a>  <a href="chapBib.html">Bib</a>  <a href="chapInd.html">Ind</a>  </div>

<div class="chlinkprevnexttop"> <a href="chap0.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap0.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chapBib.html">[Next Chapter]</a>   </div>

<p id="mathjaxlink" class="pcenter"><a href="chap1_mj.html">[MathJax on]</a></p>
<p><a id="X7F9BCE2183A4960C" name="X7F9BCE2183A4960C"></a></p>
<div class="ChapSects"><a href="chap1.html#X7F9BCE2183A4960C">1 <span class="Heading">The <strong class="pkg">SOTGrps</strong> package</span></a>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap1.html#X8240F18D7AFA30F4">1.1 <span class="Heading">Main functions</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap1.html#X7EAEC49578F20AA1">1.1-1 AllSOTGroups</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap1.html#X7C103E0E7ABCACF0">1.1-2 NumberOfSOTGroups</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap1.html#X7DE0B81880CABEF1">1.1-3 SOTGroup</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap1.html#X789746217C0FF100">1.1-4 IdSOTGroup</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap1.html#X800E5220831C8057">1.1-5 IsIsomorphicSOTGroups</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap1.html#X79885F1B83A7EC27">1.1-6 IsSOTAvailable</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap1.html#X8780252E7A06E2A4">1.1-7 SOTGroupsInformation</a></span>
</div></div>
</div>

<h3>1 <span class="Heading">The <strong class="pkg">SOTGrps</strong> package</span></h3>

<p>With some overlaps, the <strong class="pkg">SOTGrps</strong> package extends the Small Group Library to give access to some more <q>small</q> orders. For example, it constructs a complete and irredundant list of isomorphism type representatives of the groups of order</p>


<ul>
<li><p>that factorises into at most four primes;</p>

</li>
<li><p><span class="SimpleMath">p^4q</span>, for distinct primes <span class="SimpleMath">p</span> and <span class="SimpleMath">q</span>.</p>

</li>
</ul>
<p>The mathematical background for this package is described in <a href="chapBib.html#biBDEP22">[DEP22]</a>.</p>

<p><a id="X8240F18D7AFA30F4" name="X8240F18D7AFA30F4"></a></p>

<h4>1.1 <span class="Heading">Main functions</span></h4>

<p>In addition to the functions described below, the <strong class="pkg">SOTGrps</strong> package also extends the the Small Groups Library as provided by the <strong class="pkg">SmallGrp</strong> package: with <strong class="pkg">SOTGrps</strong> loaded, functions such as <code class="code">NumberSmallGroups</code>, <code class="code">SmallGroup</code> or <code class="code">IdGroup</code> will work for orders support by <strong class="pkg">SOTGrps</strong> but not by <strong class="pkg">SmallGrp</strong>.</p>

<p>Note: for orders support by <strong class="pkg">SOTGrps</strong> *and* by <strong class="pkg">SmallGrp</strong>, the respective ids as produced by <code class="code">IdGroup</code> versus <code class="code">IdSOTGroup</code> in general do not agree. In a future version we may provided functions to convert between them.</p>

<p><a id="X7EAEC49578F20AA1" name="X7EAEC49578F20AA1"></a></p>

<h5>1.1-1 AllSOTGroups</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ AllSOTGroups</code>( <var class="Arg">n</var>[, <var class="Arg">filter</var>] )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>takes in a number <var class="Arg">n</var> that factorises into at most four primes or is of the form <span class="SimpleMath">p^4q</span> (<span class="SimpleMath">p</span>, <span class="SimpleMath">q</span> are distinct primes), and returns a complete and duplicate-free list of isomorphism class representatives of the groups of order <var class="Arg">n</var>. Solvable groups are using refined polycyclic presentations. By default, solvable groups are constructed in the filter <code class="code">IsPcGroup</code>, but if the optional argument <var class="Arg">filter</var> is set to <code class="code">IsPcpGroup</code> then the groups are constructed in that filter instead. Nonsolvable groups are always returned as permutation groups.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">AllSOTGroups(60);</span>
[ <pc group of size 60 with 4 generators>, <pc group of size 60 with 4 generators>,
  <pc group of size 60 with 4 generators>, <pc group of size 60 with 4 generators>,
  <pc group of size 60 with 4 generators>, <pc group of size 60 with 4 generators>,
  <pc group of size 60 with 4 generators>, <pc group of size 60 with 4 generators>,
  <pc group of size 60 with 4 generators>, <pc group of size 60 with 4 generators>,
  <pc group of size 60 with 4 generators>, <pc group of size 60 with 4 generators>,
 Alt( [ 1 .. 5 ] ) ]
</pre></div>

<p><a id="X7C103E0E7ABCACF0" name="X7C103E0E7ABCACF0"></a></p>

<h5>1.1-2 NumberOfSOTGroups</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ NumberOfSOTGroups</code>( <var class="Arg">n</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>takes in a number <var class="Arg">n</var> that factorises into at most four primes or of the form <span class="SimpleMath">p^4q</span> (<span class="SimpleMath">p</span>, <span class="SimpleMath">q</span> are distinct primes), and returns the number of isomorphism types of groups of order <var class="Arg">n</var>.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">NumberOfSOTGroups(2*3*5*7);</span>
12
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">NumberOfSOTGroups(2*3*5*7*11);</span>
Error, Order 2310 is not supported by SOTGrps.
Please refer to the SOTGrps documentation for the list of supported orders.
</pre></div>

<p><a id="X7DE0B81880CABEF1" name="X7DE0B81880CABEF1"></a></p>

<h5>1.1-3 SOTGroup</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ SOTGroup</code>( <var class="Arg">n</var>, <var class="Arg">i</var>[, <var class="Arg">arg</var>] )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>takes in a pair of numbers <var class="Arg">n, i</var>, where <var class="Arg">n</var> factorises into at most four primes or of the form <span class="SimpleMath">p^4q</span> (<span class="SimpleMath">p</span>, <span class="SimpleMath">q</span> are distinct primes), and returns the <var class="Arg">i</var>-th group with respect to the ordering of the list <code class="code">AllSOTGroups(<var class="Arg">n</var>)</code> without constructing all groups in the list. The option of constructing a PcpGroup is available for solvable groups.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">SOTGroup(2*3*5*7, 1);</span>
<pc group of size 210 with 4 generators>
</pre></div>

<p>If the input <var class="Arg">i</var> exceeds the number of groups of order <var class="Arg">n</var>, an error message is returned.</p>

<p><a id="X789746217C0FF100" name="X789746217C0FF100"></a></p>

<h5>1.1-4 IdSOTGroup</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ IdSOTGroup</code>( <var class="Arg">G</var> )</td><td class="tdright">( attribute )</td></tr></table></div>
<p>takes in a group of order determines the SOT library number of <var class="Arg">G</var>; that is, the function returns a pair [<var class="Arg">n</var>, <var class="Arg">i</var>] where <var class="Arg">G</var> is isomorphic to <code class="code">SOTGroup(<var class="Arg">n</var>,<var class="Arg">i</var>)</code>. Note that if the input group is a PcpGroup, this may result in slow runtime, as <code class="code">IdSOTGroup</code> may compute the <code class="code">Centre</code> and/or the <code class="code">FittingSubgroup</code>, which is slow for PcpGroups.</p>

<p><a id="X800E5220831C8057" name="X800E5220831C8057"></a></p>

<h5>1.1-5 IsIsomorphicSOTGroups</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ IsIsomorphicSOTGroups</code>( <var class="Arg">G</var>, <var class="Arg">H</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>determines whether two groups <var class="Arg">G</var>, <var class="Arg">H</var> are isomorphic. It is assumed that the input groups are available in the <strong class="pkg">SOTGrps</strong> library.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">G:=Image(IsomorphismPermGroup(SmallGroup(690,1)));;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">H:=Image(IsomorphismPcGroup(SmallGroup(690,1)));;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsIsomorphicSOTGroups(G,H);</span>
true
</pre></div>

<p><a id="X79885F1B83A7EC27" name="X79885F1B83A7EC27"></a></p>

<h5>1.1-6 IsSOTAvailable</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ IsSOTAvailable</code>( <var class="Arg">n</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>returns <code class="keyw">true</code> if the order <var class="Arg">n</var> is available in the <strong class="pkg">SOTGrps</strong> library, and <code class="keyw">false</code> otherwise.</p>

<p><a id="X8780252E7A06E2A4" name="X8780252E7A06E2A4"></a></p>

<h5>1.1-7 SOTGroupsInformation</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ SOTGroupsInformation</code>( <var class="Arg">n</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>prints information on the groups of the specified order. Since there are some overlaps between the existing SmallGrps library and the <strong class="pkg">SOTGrps</strong> library. In particular, <strong class="pkg">SOTGrps</strong> may construct the groups in a different order and so generate a different group ID; we denote such IDs by <code class="keyw">SOT</code>. If the order covered in <strong class="pkg">SOTGrps</strong> library has no conflicts with the existing library, then such a flag is removed.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">SOTGroupsInformation(2^2*3*19);</span>

  There are 15 groups of order 228.

  The groups of order p^2qr are either solvable or isomorphic to Alt(5).
  The solvable groups are sorted by their Fitting subgroup.
     SOT 1 - 2 are the nilpotent groups.
     SOT 3 has Fitting subgroup of order 57.
     SOT 4 - 7 have Fitting subgroup of order 76.
     SOT 8 - 9 have Fitting subgroup of order 38.
     SOT 10 - 15 have Fitting subgroup of order 114.

<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">SOTGroupsInformation(2662);</span>

 There are 15 groups of order 2662.

 The groups of order p^3q are solvable by Burnside's pq-Theorem.
 These groups are sorted by their Sylow subgroups.
   1 - 3 are abelian.
   4 - 5 are nonabelian nilpotent and have a normal Sylow 11-subgroup and a
       normal Sylow 2-subgroup.
   6 is non-nilpotent and has a normal Sylow 2-subgroup with Sylow
      11-subgroup [ 1331, 1 ].
   7 - 9 are non-nilpotent and have a normal Sylow 2-subgroup with Sylow
      11-subgroup [ 1331, 2 ].
   10 - 12 are non-nilpotent and have a normal Sylow 2-subgroup with Sylow
      11-subgroup [ 1331, 5 ].
   13 - 14 are non-nilpotent and have a normal Sylow 2-subgroup with Sylow
      11-subgroup [ 1331, 3 ].
   15 is non-nilpotent and has a normal Sylow 2-subgroup with Sylow
     11-subgroup [ 1331, 4 ].
</pre></div>


<div class="chlinkprevnextbot"> <a href="chap0.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap0.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chapBib.html">[Next Chapter]</a>   </div>


<div class="chlinkbot"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0.html">Top</a>  <a href="chap1.html">1</a>  <a href="chapBib.html">Bib</a>  <a href="chapInd.html">Ind</a>  </div>

<hr />
<p class="foot">generated by <a href="https://www.math.rwth-aachen.de/~Frank.Luebeck/GAPDoc">GAPDoc2HTML</a></p>
</body>
</html>

100%


¤ Dauer der Verarbeitung: 0.1 Sekunden  (vorverarbeitet)  ¤

*© Formatika GbR, Deutschland




Wurzel

Suchen

Beweissystem der NASA

Beweissystem Isabelle

NIST Cobol Testsuite

Cephes Mathematical Library

Wiener Entwicklungsmethode

Haftungshinweis

Die Informationen auf dieser Webseite wurden nach bestem Wissen sorgfältig zusammengestellt. Es wird jedoch weder Vollständigkeit, noch Richtigkeit, noch Qualität der bereit gestellten Informationen zugesichert.

Bemerkung:

Die farbliche Syntaxdarstellung ist noch experimentell.