Quelle  chap1.html   Sprache: HTML

<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>

<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN"
         "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd">

<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="en">
<head>
<title>GAP (SOTGrps) - Chapter 1: The SOTGrps package</title>
<meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<meta name="generator" content="GAPDoc2HTML" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="manual.css" />
<script src="manual.js" type="text/javascript"></script>
<script type="text/javascript">overwriteStyle();</script>
</head>
<body class="chap1"  onload="jscontent()">


<div class="chlinktop"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0.html">Top</a>  <a href="chap1.html">1</a>  <a href="chapBib.html">Bib</a>  <a href="chapInd.html">Ind</a>  </div>

<div class="chlinkprevnexttop"> <a href="chap0.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap0.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chapBib.html">[Next Chapter]</a>   </div>

<p id="mathjaxlink" class="pcenter"><a href="chap1_mj.html">[MathJax on]</a></p>
<p><a id="X7F9BCE2183A4960C" name="X7F9BCE2183A4960C"></a></p>
<div class="ChapSects"><a href="chap1.html#X7F9BCE2183A4960C">1 <span class="Heading">The <strong class="pkg">SOTGrps</strong> package</span></a>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap1.html#X8240F18D7AFA30F4">1.1 <span class="Heading">Main functions</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap1.html#X7EAEC49578F20AA1">1.1-1 AllSOTGroups</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap1.html#X7C103E0E7ABCACF0">1.1-2 NumberOfSOTGroups</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap1.html#X7DE0B81880CABEF1">1.1-3 SOTGroup</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap1.html#X789746217C0FF100">1.1-4 IdSOTGroup</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap1.html#X800E5220831C8057">1.1-5 IsIsomorphicSOTGroups</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap1.html#X79885F1B83A7EC27">1.1-6 IsSOTAvailable</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap1.html#X8780252E7A06E2A4">1.1-7 SOTGroupsInformation</a></span>
</div></div>
</div>

<h3>1 <span class="Heading">The <strong class="pkg">SOTGrps</strong> package</span></h3>

<p>With some overlaps, the <strong class="pkg">SOTGrps</strong> package extends the Small Group Library to give access to some more <q>small</q> orders. For example, it constructs a complete and irredundant list of isomorphism type representatives of the groups of order</p>


<ul>
<li><p>that factorises into at most four primes;</p>

</li>
<li><p><span class="SimpleMath">p^4q</span>, for distinct primes <span class="SimpleMath">p</span> and <span class="SimpleMath">q</span>.</p>

</li>
</ul>
<p>The mathematical background for this package is described in <a href="chapBib.html#biBDEP22">[DEP22]</a>.</p>

<p><a id="X8240F18D7AFA30F4" name="X8240F18D7AFA30F4"></a></p>

<h4>1.1 <span class="Heading">Main functions</span></h4>

<p>In addition to the functions described below, the <strong class="pkg">SOTGrps</strong> package also extends the the Small Groups Library as provided by the <strong class="pkg">SmallGrp</strong> package: with <strong class="pkg">SOTGrps</strong> loaded, functions such as <code class="code">NumberSmallGroups</code>, <code class="code">SmallGroup</code> or <code class="code">IdGroup</code> will work for orders support by <strong class="pkg">SOTGrps</strong> but not by <strong class="pkg">SmallGrp</strong>.</p>

<p>Note: for orders support by <strong class="pkg">SOTGrps</strong> *and* by <strong class="pkg">SmallGrp</strong>, the respective ids as produced by <code class="code">IdGroup</code> versus <code class="code">IdSOTGroup</code> in general do not agree. In a future version we may provided functions to convert between them.</p>

<p><a id="X7EAEC49578F20AA1" name="X7EAEC49578F20AA1"></a></p>

<h5>1.1-1 AllSOTGroups</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">&#an style='color: green'>8227; AllSOTGroups</code>( <var class="Arg">n</var>[, <var class="Arg">filter</var>] )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>takes in a number <var class="Arg">n</var> that factorises into at most four primes or is of the form <span class="SimpleMath">p^4q</span> (<span class="SimpleMath">p</span>, <span class="SimpleMath">q</span> are distinct primes), and returns a complete and duplicate-free list of isomorphism class representatives of the groups of order <var class="Arg">n</var>. Solvable groups are using refined polycyclic presentations. By default, solvable groups are constructed in the filter <code class="code">IsPcGroup</code>, but if the optional argument <var class="Arg">filter</var> is set to <code class="code">IsPcpGroup</code> then the groups are constructed in that filter instead. Nonsolvable groups are always returned as permutation groups.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">AllSOTGroups(60);</span>
[ <pc group of size 60 with 4 generators>, <pc group of size 60 with 4 generators>,
  <pc group of size 60 with 4 generators>, <pc group of size 60 with 4 generators>,
  <pc group of size 60 with 4 generators>, <pc group of size 60 with 4 generators>,
  <pc group of size 60 with 4 generators>, <pc group of size 60 with 4 generators>,
  <pc group of size 60 with 4 generators>, <pc group of size 60 with 4 generators>,
  <pc group of size 60 with 4 generators>, <pc group of size 60 with 4 generators>,
 Alt( [ 1 .. 5 ] ) ]
</pre></div>

<p><a id="X7C103E0E7ABCACF0" name="X7C103E0E7ABCACF0"></a></p>

<h5>1.1-2 NumberOfSOTGroups</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">&#an style='color: green'>8227; NumberOfSOTGroups</code>( <var class="Arg">n</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>takes in a number <var class="Arg">n</var> that factorises into at most four primes or of the form <span class="SimpleMath">p^4q</span> (<span class="SimpleMath">p</span>, <span class="SimpleMath">q</span> are distinct primes), and returns the number of isomorphism types of groups of order <var class="Arg">n</var>.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">NumberOfSOTGroups(2*3*5*7);</span>
12
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">NumberOfSOTGroups(2*3*5*7*11);</span>
Error, Order 2310 is not supported by SOTGrps.
Please refer to the SOTGrps documentation for the list of supported orders.
</pre></div>

<p><a id="X7DE0B81880CABEF1" name="X7DE0B81880CABEF1"></a></p>

<h5>1.1-3 SOTGroup</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">&#an style='color: green'>8227; SOTGroup</code>( <var class="Arg">n</var>, <var class="Arg">i</var>[, <var class="Arg">arg</var>] )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>takes in a pair of numbers <var class="Arg">n, i</var>, where <var class="Arg">n</var> factorises into at most four primes or of the form <span class="SimpleMath">p^4q</span> (<span class="SimpleMath">p</span>, <span class="SimpleMath">q</span> are distinct primes), and returns the <var class="Arg">i</var>-th group with respect to the ordering of the list <code class="code">AllSOTGroups(<var class="Arg">n</var>)</code> without constructing all groups in the list. The option of constructing a PcpGroup is available for solvable groups.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">SOTGroup(2*3*5*7, 1);</span>
<pc group of size 210 with 4 generators>
</pre></div>

<p>If the input <var class="Arg">i</var> exceeds the number of groups of order <var class="Arg">n</var>, an error message is returned.</p>

<p><a id="X789746217C0FF100" name="X789746217C0FF100"></a></p>

<h5>1.1-4 IdSOTGroup</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">&#an style='color: green'>8227; IdSOTGroup</code>( <var class="Arg">G</var> )</td><td class="tdright">( attribute )</td></tr></table></div>
<p>takes in a group of order determines the SOT library number of <var class="Arg">G</var>; that is, the function returns a pair [<var class="Arg">n</var>, <var class="Arg">i</var>] where <var class="Arg">G</var> is isomorphic to <code class="code">SOTGroup(<var class="Arg">n</var>,<var class="Arg">i</var>)</code>. Note that if the input group is a PcpGroup, this may result in slow runtime, as <code class="code">IdSOTGroup</code> may compute the <code class="code">Centre</code> and/or the <code class="code">FittingSubgroup</code>, which is slow for PcpGroups.</p>

<p><a id="X800E5220831C8057" name="X800E5220831C8057"></a></p>

<h5>1.1-5 IsIsomorphicSOTGroups</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">&#an style='color: green'>8227; IsIsomorphicSOTGroups</code>( <var class="Arg">G</var>, <var class="Arg">H</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>determines whether two groups <var class="Arg">G</var>, <var class="Arg">H</var> are isomorphic. It is assumed that the input groups are available in the <strong class="pkg">SOTGrps</strong> library.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">G:=Image(IsomorphismPermGroup(SmallGroup(690,1)));;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">H:=Image(IsomorphismPcGroup(SmallGroup(690,1)));;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsIsomorphicSOTGroups(G,H);</span>
true
</pre></div>

<p><a id="X79885F1B83A7EC27" name="X79885F1B83A7EC27"></a></p>

<h5>1.1-6 IsSOTAvailable</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">&#an style='color: green'>8227; IsSOTAvailable</code>( <var class="Arg">n</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>returns <code class="keyw">true</code> if the order <var class="Arg">n</var> is available in the <strong class="pkg">SOTGrps</strong> library, and <code class="keyw">false</code> otherwise.</p>

<p><a id="X8780252E7A06E2A4" name="X8780252E7A06E2A4"></a></p>

<h5>1.1-7 SOTGroupsInformation</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">&#an style='color: green'>8227; SOTGroupsInformation</code>( <var class="Arg">n</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>prints information on the groups of the specified order. Since there are some overlaps between the existing SmallGrps library and the <strong class="pkg">SOTGrps</strong> library. In particular, <strong class="pkg">SOTGrps</strong> may construct the groups in a different order and so generate a different group ID; we denote such IDs by <code class="keyw">SOT</code>. If the order covered in <strong class="pkg">SOTGrps</strong> library has no conflicts with the existing library, then such a flag is removed.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">SOTGroupsInformation(2^2*3*19);</span>

  There are 15 groups of order 228.

  The groups of order p^2qr are either solvable or isomorphic to Alt(5).
  The solvable groups are sorted by their Fitting subgroup.
     SOT 1 - 2 are the nilpotent groups.
     SOT 3 has Fitting subgroup of order 57.
     SOT 4 - 7 have Fitting subgroup of order 76.
     SOT 8 - 9 have Fitting subgroup of order 38.
     SOT 10 - 15 have Fitting subgroup of order 114.

<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">SOTGroupsInformation(2662);</span>

 There are 15 groups of order 2662.

 The groups of order p^3q are solvable by Burnside's pq-Theorem.
 These groups are sorted by their Sylow subgroups.
   1 - 3 are abelian.
   4 - 5 are nonabelian nilpotent and have a normal Sylow 11-subgroup and a
       normal Sylow 2-subgroup.
   6 is non-nilpotent and has a normal Sylow 2-subgroup with Sylow
      11-subgroup [ 1331, 1 ].
   7 - 9 are non-nilpotent and have a normal Sylow 2-subgroup with Sylow
      11-subgroup [ 1331, 2 ].
   10 - 12 are non-nilpotent and have a normal Sylow 2-subgroup with Sylow
      11-subgroup [ 1331, 5 ].
   13 - 14 are non-nilpotent and have a normal Sylow 2-subgroup with Sylow
      11-subgroup [ 1331, 3 ].
   15 is non-nilpotent and has a normal Sylow 2-subgroup with Sylow
     11-subgroup [ 1331, 4 ].
</pre></div>


<div class="chlinkprevnextbot"> <a href="chap0.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap0.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chapBib.html">[Next Chapter]</a>   </div>


<div class="chlinkbot"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0.html">Top</a>  <a href="chap1.html">1</a>  <a href="chapBib.html">Bib</a>  <a href="chapInd.html">Ind</a>  </div>

<hr />
<p class="foot">generated by <a href="https://www.math.rwth-aachen.de/~Frank.Luebeck/GAPDoc">GAPDoc2HTML</a></p>
</body>
</html>