Quellcodebibliothek Statistik Leitseite products/sources/formale Sprachen/GAP/pkg/polenta/doc/   (Algebra von RWTH Aachen Version 4.15.1©)  Datei vom 10.3.2025 mit Größe 12 kB image not shown  

Quellcode-Bibliothek methods.xml   Sprache: XML

 
<Chapter Label="Methods for matrix groups">
<Heading>Methods for matrix groups</Heading>

<!-- %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -->
<Section Label="Polycyclic presentations of matrix groups">
<Heading>Polycyclic presentations of matrix groups</Heading>

Groups defined by polycyclic presentations are called PcpGroups in
&GAP;.
We refer to the Polycyclic manual <Cite Key="Polycyclic"/> for further
background.
<P/>

Suppose that a collection <M>X</M> of
matrices of <M>GL(d,R)</M> is given, where the ring <M>R</M>
is either <M>&QQ;,&ZZ;</M> or a finite field.  Let <M>G= \langle X \rangle</M>.
If the group <M>G</M> is polycyclic, then the
following functions determine a PcpGroup isomorphic to <M>G</M>.

<ManSection>
<Oper Name="PcpGroupByMatGroup" Arg="G"/>
<Description>
<A>G</A> is  a subgroup of <M>GL(d,R)</M> where <M>R=&QQ;,&ZZ; </M> or <M>\mathbb{F}_q</M>.
If <A>G</A> is polycyclic, then
this function determines a PcpGroup isomorphic to <A>G</A>.
If <A>G</A> is not polycyclic, then
this function returns <C>fail</C>.
</Description>
</ManSection>

<ManSection>
<Meth Name="IsomorphismPcpGroup" Arg="G"/>
<Description>
<A>G</A> is  a subgroup of <M>GL(d,R)</M> where <M>R=&QQ;,&ZZ; </M> or <M>\mathbb{F}_q</M>.
If <A>G</A> is polycyclic, then
this function determines  an isomorphism
onto a PcpGroup.
If <A>G</A> is not polycyclic, then
this function returns <C>fail</C>.
<P/>

Note that the method <C>IsomorphismPcpGroup</C>,
installed in this package, cannot be
applied directly to a group given by the function <C>AlmostCrystallographicGroup</C>.
Please use  <C>POL_AlmostCrystallographicGroup</C> (with the same
parameters as <C>AlmostCrystallographicGroup</C>) instead.
</Description>
</ManSection>

<ManSection>
<Meth Name="ImagesRepresentative" Arg="map, elm"/>
<Meth Name="ImageElm" Arg="map, elm"/>
<Meth Name="ImagesSet" Arg="map, elms"/>
<Description>
Here <A>map</A> is an isomorphism from a polycyclic matrix group <A>G</A>
onto a PcpGroup <A>H</A> calculated
by <Ref Attr="IsomorphismPcpGroup"/>.
These methods can be used to compute with such an isomorphism.
If the input <A>elm</A>  is an element of <A>G</A>, then the function <C>ImageElm</C>
 can be used to compute the image of <A>elm</A> under <A>map</A>.
If <A>elm</A> is not contained in <A>G</A>
then the function <C>ImageElm</C> returns <C>fail</C>.
The input <A>pcpelm</A> is an element
of <A>H</A>.
</Description>
</ManSection>

<ManSection>
<Meth Name="IsSolvableGroup" Arg="G"/>
<Description>
<A>G</A> is  a subgroup of <M>GL(d,R)</M> where <M>R=&QQ;,&ZZ; </M> or <M>\mathbb{F}_q</M>.
This function tests if <A>G</A> is
solvable and returns <C>true</C> or <C>false</C>.
</Description>
</ManSection>

<ManSection>
<Prop Name="IsTriangularizableMatGroup" Arg="G"/>
<Description>
<A>G</A> is  a subgroup of <M>GL(d,&QQ;)</M>.
 This function tests if <A>G</A> is triangularizable
(possibly over a finite field extension)
and returns <C>true</C> or <C>false</C>.
</Description>
</ManSection>

<ManSection>
<Meth Name="IsPolycyclicGroup" Arg="G"/>
<Description>
<A>G</A> is  a subgroup of <M>GL(d,R)</M> where <M>R=&QQ;,&ZZ; </M> or <M>\mathbb{F}_q</M>.
This function tests if <A>G</A> is
polycyclic and returns <C>true</C> or <C>false</C>.
</Description>
</ManSection>

</Section>


<!-- %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -->
<Section Label="Module series">
<Heading>Module series</Heading>

Let <M>G</M> be a finitely generated solvable subgroup of <M>GL(d,&QQ;)</M>. The vector
space <M>&QQ;^d</M> is a module for the algebra <M>&QQ;[G]</M>. The following
functions provide the possibility to compute certain module series of
<M>&QQ;^d</M>. Recall that the radical <M>Rad_G(&QQ;^d)</M> is defined to be the
intersection of maximal <M>&QQ;[G]</M>-submodules of <M>&QQ;^d</M>. Also recall that the
radical series
<Display>
0=R_n < R_{n-1} < \dots < R_1 < R_0=&QQ;^d
</Display>
is defined by <M>R_{i+1}:= Rad_G(R_i)</M>.

<ManSection>
<Oper Name="RadicalSeriesSolvableMatGroup" Arg="G"/>
<Description>
This function returns a
radical series for the <M>&QQ;[G]</M>-module <M>&QQ;^d</M>, where <A>G</A> is a
solvable subgroup of <M>GL(d,&QQ;)</M>.
<P/>
A radical series of <M>&QQ;^d</M> can be refined to a homogeneous series.
</Description>
</ManSection>

<ManSection>
<Func Name="HomogeneousSeriesAbelianMatGroup" Arg="G"/>
<Description>
A module is said to be homogeneous if it is the direct sum of pairwise
irreducible isomorphic submodules. A homogeneous series of a module
is a submodule series such that the factors are homogeneous.
This function returns a
homogeneous series for the <M>&QQ;[G]</M>-module <M>&QQ;^d</M>, where <A>G</A> is an
abelian subgroup of <M>GL(d,&QQ;)</M>.
</Description>
</ManSection>

<ManSection>
<Func Name="HomogeneousSeriesTriangularizableMatGroup" Arg="G"/>
<Description>
A module is said to be homogeneous if it is the direct sum of pairwise
irreducible isomorphic submodules. A homogeneous series of a module
is a submodule series such that the factors are homogeneous.
This function returns a
homogeneous series for the <M>&QQ;[G]</M>-module <M>&QQ;^d</M>, where <A>G</A> is a
triangularizable subgroup of <M>GL(d,&QQ;)</M>.
<P/>
A homogeneous series can be refined to a composition series.
</Description>
</ManSection>

<ManSection>
<Func Name="CompositionSeriesAbelianMatGroup" Arg="G"/>
<Description>
A composition series of a module is a submodule series such that
the factors are irreducible. This function returns a
composition series for the <M>&QQ;[G]</M>-module <M>&QQ;^d</M>, where <A>G</A> is an
abelian subgroup of <M>GL(d,&QQ;)</M>.
</Description>
</ManSection>

<ManSection>
<Func Name="CompositionSeriesTriangularizableMatGroup" Arg="G"/>
<Description>
A composition series of a module is a submodule series such that
the factors are irreducible. This function returns a
composition series for the <M>&QQ;[G]</M>-module <M>&QQ;^d</M>, where <A>G</A> is a
triangularizable subgroup of <M>GL(d,&QQ;)</M>.
</Description>
</ManSection>

</Section>


<!-- %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -->
<Section Label="Subgroups">
<Heading>Subgroups</Heading>

<!-- %\>TriangNormalSubgroupFiniteInd( <A>G</A> ) O -->
<!-- % -->
<!-- %<A>G</A> is  a subgroup of <M>GL(d,&QQ;)</M>. If <M>G</M> is solvable then -->
<!-- %this function computes a triangularizable normal subgroup of <A>G</A>, -->
<!-- %which is of finite index in <A>G</A>. If <M>G</M> is not solvable, then the -->
<!-- %function returns <C>fail</C>. -->

<ManSection>
<Oper Name="SubgroupsUnipotentByAbelianByFinite" Arg="G"/>
<Description>
<A>G</A> is  a subgroup of <M>GL(d,R)</M> where <M>R=&QQ;</M> or <M>&ZZ;</M>.
If <A>G</A> is polycyclic, then
this function returns a record containing two normal subgroups
<M>T</M> and <M>U</M> of <M>G</M>.
The group <M>T</M> is unipotent-by-abelian
(and thus triangularizable) and
of finite index in <A>G</A>.
The group <M>U</M> is unipotent and is such that <M>T/U</M> is abelian.
If <A>G</A> is not polycyclic,
then the algorithm returns <C>fail</C>.
</Description>
</ManSection>

</Section>


<!-- %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -->
<Section Label="Examples">
<Heading>Examples</Heading>

<ManSection>
<Func Name="PolExamples" Arg="l"/>
<Description>
Returns some examples for polycyclic rational matrix groups, where <A>l</A>
is an integer
between 1 and 24.
These can be used to test the functions in this package.
Some of the
properties of the examples are summarised in the following table.

<!--
<Table Align="rrrr">
<Row><Item>PolExamples</Item><Item> number generators</Item><Item>subgroup of</Item><Item>   Hirsch length</Item></Row>
<Row><Item>          1</Item><Item>                 3</Item><Item>    GL(4,Z)</Item><Item>              6</Item></Row>
<Row><Item>          2</Item><Item>                 2</Item><Item>    GL(5,Z)</Item><Item>              6</Item></Row>
<Row><Item>          3</Item><Item>                 2</Item><Item>    GL(4,Q)</Item><Item>              4</Item></Row>
<Row><Item>          4</Item><Item>                 2</Item><Item>    GL(5,Q)</Item><Item>              6</Item></Row>
<Row><Item>          5</Item><Item>                 9</Item><Item>   GL(16,Z)</Item><Item>              3</Item></Row>
<Row><Item>          6</Item><Item>                 6</Item><Item>    GL(4,Z)</Item><Item>              3</Item></Row>
<Row><Item>          7</Item><Item>                 6</Item><Item>    GL(4,Z)</Item><Item>              3</Item></Row>
<Row><Item>          8</Item><Item>                 7</Item><Item>    GL(4,Z)</Item><Item>              3</Item></Row>
<Row><Item>          9</Item><Item>                 5</Item><Item>    GL(4,Q)</Item><Item>              3</Item></Row>
<Row><Item>         10</Item><Item>                 4</Item><Item>    GL(4,Q)</Item><Item>              3</Item></Row>
<Row><Item>         11</Item><Item>                 5</Item><Item>    GL(4,Q)</Item><Item>              3</Item></Row>
<Row><Item>         12</Item><Item>                 5</Item><Item>    GL(4,Q)</Item><Item>              3</Item></Row>
<Row><Item>         13</Item><Item>                 5</Item><Item>    GL(5,Q)</Item><Item>              4</Item></Row>
<Row><Item>         14</Item><Item>                 6</Item><Item>    GL(5,Q)</Item><Item>              4</Item></Row>
<Row><Item>         15</Item><Item>                 6</Item><Item>    GL(5,Q)</Item><Item>              4</Item></Row>
<Row><Item>         16</Item><Item>                 5</Item><Item>    GL(5,Q)</Item><Item>              4</Item></Row>
<Row><Item>         17</Item><Item>                 5</Item><Item>    GL(5,Q)</Item><Item>              4</Item></Row>
<Row><Item>         18</Item><Item>                 5</Item><Item>    GL(5,Q)</Item><Item>              4</Item></Row>
<Row><Item>         19</Item><Item>                 5</Item><Item>    GL(5,Q)</Item><Item>              4</Item></Row>
<Row><Item>         20</Item><Item>                 7</Item><Item>   GL(16,Z)</Item><Item>              3</Item></Row>
<Row><Item>         21</Item><Item>                 5</Item><Item>   GL(16,Q)</Item><Item>              3</Item></Row>
<Row><Item>         22</Item><Item>                 4</Item><Item>   GL(16,Q)</Item><Item>              3</Item></Row>
<Row><Item>         23</Item><Item>                 5</Item><Item>   GL(16,Q)</Item><Item>              3</Item></Row>
<Row><Item>         24</Item><Item>                 5</Item><Item>   GL(16,Q)</Item><Item>              3</Item></Row>
</Table>
-->

<Log><![CDATA[
PolExamples      number generators      subgroup of      Hirsch length
          1                      3           GL(4,Z)                 6
          2                      2           GL(5,Z)                 6
          3                      2           GL(4,Q)                 4
          4                      2           GL(5,Q)                 6
          5                      9          GL(16,Z)                 3
          6                      6           GL(4,Z)                 3
          7                      6           GL(4,Z)                 3
          8                      7           GL(4,Z)                 3
          9                      5           GL(4,Q)                 3
         10                      4           GL(4,Q)                 3
         11                      5           GL(4,Q)                 3
         12                      5           GL(4,Q)                 3
         13                      5           GL(5,Q)                 4
         14                      6           GL(5,Q)                 4
         15                      6           GL(5,Q)                 4
         16                      5           GL(5,Q)                 4
         17                      5           GL(5,Q)                 4
         18                      5           GL(5,Q)                 4
         19                      5           GL(5,Q)                 4
         20                      7          GL(16,Z)                 3
         21                      5          GL(16,Q)                 3
         22                      4          GL(16,Q)                 3
         23                      5          GL(16,Q)                 3
         24                      5          GL(16,Q)                 3

]]></Log>
</Description>
</ManSection>

</Section>

</Chapter>

97%


¤ Die Informationen auf dieser Webseite wurden nach bestem Wissen sorgfältig zusammengestellt. Es wird jedoch weder Vollständigkeit, noch Richtigkeit, noch Qualität der bereit gestellten Informationen zugesichert.0.27Bemerkung:  (vorverarbeitet)  ¤

*Bot Zugriff




Wurzel

Suchen

Beweissystem der NASA

Beweissystem Isabelle

NIST Cobol Testsuite

Cephes Mathematical Library

Wiener Entwicklungsmethode

Haftungshinweis

Die Informationen auf dieser Webseite wurden nach bestem Wissen sorgfältig zusammengestellt. Es wird jedoch weder Vollständigkeit, noch Richtigkeit, noch Qualität der bereit gestellten Informationen zugesichert.

Bemerkung:

Die farbliche Syntaxdarstellung ist noch experimentell.