Quelle  chap1_mj.html   Sprache: HTML

<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>

<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN"
         "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd">

<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="en">
<head>
<script type="text/javascript"
  src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@2/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML">
</script>
<title>GAP (XModAlg) - Chapter 1: Introduction</title>
<meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<meta name="generator" content="GAPDoc2HTML" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="manual.css" />
<script src="manual.js" type="text/javascript"></script>
<script type="text/javascript">overwriteStyle();</script>
</head>
<body class="chap1"  onload="jscontent()">


<div class="chlinktop"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0_mj.html">Top</a>  <a href="chap1_mj.html">1</a>  <a href="chap2_mj.html">2</a>  <a href="chap3_mj.html">3</a>  <a href="chap4_mj.html">4</a>  <a href="chap5_mj.html">5</a>  <a href="chapBib_mj.html">Bib</a>  <a href="chapInd_mj.html">Ind</a>  </div>

<div class="chlinkprevnexttop"> <a href="chap0_mj.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0_mj.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap0_mj.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap2_mj.html">[Next Chapter]</a>   </div>

<p id="mathjaxlink" class="pcenter"><a href="chap1.html">[MathJax off]</a></p>
<p><a id="X7DFB63A97E67C0A1" name="X7DFB63A97E67C0A1"></a></p>
<div class="ChapSects"><a href="chap1_mj.html#X7DFB63A97E67C0A1">1 <span class="Heading">Introduction</span></a>
</div>

<h3>1 <span class="Heading">Introduction</span></h3>

<p>In 1950 S. MacLane and J.H.C. Whitehead, <a href="chapBib_mj.html#biBwhitehead">[Whi49]</a> suggested that crossed modules modeled homotopy <span class="SimpleMath">\(2\)</span>-types. Later crossed modules have been considered as <span class="SimpleMath">\(2\)</span><em>-dimensional groups</em>, <a href="chapBib_mj.html#biBbrown1">[Bro82]</a>, <a href="chapBib_mj.html#biBbrown2">[Bro87]</a>. The commutative algebra version of this construction has been adapted by T. Porter, <a href="chapBib_mj.html#biBarvasi2">[AP96]</a>, <a href="chapBib_mj.html#biBporter1">[Por87]</a>. This algebraic version is called <em>combinatorial algebra theory</em>, which contains potentially important new ideas (see <a href="chapBib_mj.html#biBshammu1">[Sha92]</a>, <a href="chapBib_mj.html#biBarvasi2">[AP96]</a>, <a href="chapBib_mj.html#biBarvasi3">[AP98]</a>, <a href="chapBib_mj.html#biBarvasi4">[AE03]</a>).</p>

<p>A share package <strong class="pkg">XMod</strong>, <a href="chapBib_mj.html#biBalp3">[AOUW17]</a>, <a href="chapBib_mj.html#biBalp2">[AW00]</a>, was prepared by M. Alp and C.D. Wensley for the <strong class="pkg">GAP</strong> computational group theory language, initially for <strong class="pkg">GAP</strong>3 then revised for <strong class="pkg">GAP</strong>4. The <span class="SimpleMath">\(2\)</span>-dimensional part of this programme contains functions for computing crossed modules and cat<span class="SimpleMath">\(^{1}\)</span>-groups and their morphisms <a href="chapBib_mj.html#biBalp3">[AOUW17]</a>.</p>

<p>This package includes functions for computing crossed modules of algebras, cat<span class="SimpleMath">\(^{1}\)</span>-algebras and their morphisms by analogy with <em>computational group theory</em>. We will concentrate on group rings over of abelian groups over finite fields because these algebras are conveniently implemented in <strong class="pkg">GAP</strong>. The tools needed are the group algebras in which the group algebra functor <span class="SimpleMath">\(\mathcal{K}(.):Gr\rightarrow Alg\)</span> is left adjoint to the unit group functor <span class="SimpleMath">\(\mathcal{U}(.):Alg\rightarrow Gr\)</span>.</p>

<p>The categories <code class="code">XModAlg</code> (crossed modules of algebras) and <code class="code">Cat1Alg</code> (cat<span class="SimpleMath">\(^{1}\)</span>-algebras) are equivalent, and we include functions to convert objects and morphisms between them. The algorithms implemented in this package are analyzed in A. Odabas's Ph.D. thesis, <a href="chapBib_mj.html#biBaodabas1">[Oda09]</a> and described in detail in the paper <a href="chapBib_mj.html#biBarvasi_odabas">[AO16]</a>.</p>

<p>There are aspects of commutative algebras for which no <strong class="pkg">GAP</strong> functions yet exist, for example semidirect products. We have included here functions for all homomorphisms of algebras.</p>


<div class="chlinkprevnextbot"> <a href="chap0_mj.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0_mj.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap0_mj.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap2_mj.html">[Next Chapter]</a>   </div>


<div class="chlinkbot"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0_mj.html">Top</a>  <a href="chap1_mj.html">1</a>  <a href="chap2_mj.html">2</a>  <a href="chap3_mj.html">3</a>  <a href="chap4_mj.html">4</a>  <a href="chap5_mj.html">5</a>  <a href="chapBib_mj.html">Bib</a>  <a href="chapInd_mj.html">Ind</a>  </div>

<hr />
<p class="foot">generated by <a href="https://www.math.rwth-aachen.de/~Frank.Luebeck/GAPDoc">GAPDoc2HTML</a></p>
</body>
</html>