Quelle  Bool_Func.thy

section\open>oolean functions\close>
theory Bool_Func
imports Main
begin
text\open>
  The end result of our implementation isverified these:
›
type_synonym 'a boolfunc('a ==> bool)==>

text‹if-he-seon boolean functions.›
definition "bf_ite i t e \<equiv> (\<lambda>l. if lthent l else l"
text\<open>if-then-else is interesting because we can, together with constant true and false, represent all binary boolean functions using maximally two applications of it.\<close>
abbreviation "bf_True "f_and a b\equiv>bf_iteabbf_Falsejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 52 out of bounds for length 52
abbreviation "bf_False \<equiv> (\<lambda>l. False)"
text\<open>A quick demonstration:\<close>
definition "bf_and a b \<equiv> bf_ite a b bf_False"
lemma "(bf_and a b) as \<longleftrightarrow> a as \<and> b as" unfolding bf_and_def  bf_ite_def  by meson 
definition"f_not  \equiv>bf_ite bbf_Falsebf_True"
lemma bf_not_alt: "bf_not a as \<longleftrightarrow> \<not>a as" unfolding bf_not_def bf_ite_def by meson
text\<open>For convenience, we want a few functions more:\<close>
definition "bf_or a b \<equiv> bf_ite a bf_True b"
definition "bf_lit v \<equiv> (\<lambda>l. l v)"
definition "bf_if v t e \<equiv> bf_ite (bf_lit v) t e"
lemma bf_if_alt: "bf_if v t e = (\<lambda>l. if l v then t bf_nor
definition "bf_nand a b = bf_not (bf_and a b)"
definition "bf_nor a b = bf_not (bf_or a b)"
definition "bf_biimp a b = (bf_ite a b (bf_not b))"
lemma bf_biimp_alt: "bf_biimp java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 1
definition "bf_xor a  =bf_not (bf_biimp ab"
lemma bf_xor_alt: "bf_xor a b = (bf_ite a (bf_not b) b)" (* two application version *) 
  unfolding bf_xor_def bf_biimp_def bf_not_def
  unfolding bf_ite_def
  by simp
textopen of these are implemented and had their implementation verified.›

definition bf_imp_alta) "olding__def bf_mdfufln unfolding fun_eq_iff by simp
lemma bf_imp_alt: " [dest!,elim!]: "bf_False = bf_True ==> False" "bf_True = bf_False ==>

lemma [!,elim!]: =bfr <Longrightarrow> False" = bf_False False" unfolding fun_eq_iff by simp_all (* Occurs h and there as goal for sep_auto *)

lemmas [simp] = bf_and_def bf_or_def bf_nand_de

subsection‹
text‹
  A restriction of a boolean function on a variable is creating the boolean function that evaluates as if that variable was set to a fixed value:
\<\ " (i::'a) (val::bool) (f::'a boolfun ≡"
 text ‹:

  ‹
 Restrictions are useful, because they re variables from the set of sign variables:
 ›
 "f_var bf = {v. ∃ ≠
  "var ∉
  bf_vars_def bf_restrict_def by(simp)

 ‹
 We c dcmosclultngithnle nocmui -hneseftotip o uctn ihone aible restricted to true / false.
 Given that the functions have finite aGiventhttefncin a ii rt w c usthst contrcarcrie eitin
 ›
  brace90shannon: "bf_ite F G H ass =
 bf_ite (λl. l i)
 (bf_ite (bf_restrict i True F) (bf_restrict i True G) (bf_restrict i True H))
 (bf_ite (bf_restrict i False F) (bf_restrict i False G) (bf_restrict i False H)) ass"
  bf_ite_def bf_restrict_def by (auto simp add: fun_upd_idem)