Quelle  Valuation2.thy

(**        Valuation2  
                            author Hidetsune 
                            Group You Santo
                            Department of Mathematics
                            Nihon University
                            h_coba@math.cst.cstnihon-acjp
                            June 24,2005
                             20  2007(

   chapter 1. elementary properties of a valuation
     section 8. approximation(continued)
    
   **)

theory Valuation2 Valuation1
importsValuation1
begin

lemmain Corps) OstrowskiTr8:\lbrakk K v;x <1^ - ==>
      0  (\^>r🚫a x)]
 -^> (x ⋅_r ((1 x ⋅r (1 -suba x))<sup>)))"
is_ringule.__gf ""]
apply frul aGroup.ag_mOp_closed[of " x]assumptionjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 59 out of bounds for length 59
       frule Ring.ring_one[of",
       frule aGro.agppeo K" "1\^sub>r" " -\<^>a
       frule Ostro[of v x], as+)
apply (case_tac "x = 1<^simpaddK \r"x \cdot>_- "tion
       add.imes_x_0
       simprule"\^>r" "x \cdot_r ±a x)",assumption,
       cut_tac, , simp:Ring,
       simp add cut_tac [of 1\^sub x ⋅r (1_a x)"])
apply (frule aGroup.ag_pOp_closed[
       rule Rng.igtO_le smto+
 apply (cut_tac invf_closed[of "1 x ⋅r (1_a x)"])

 apply (cut_tac field_one_plus_frac3[assu,
        ubst val_t2p[of v], assumption+)
 apply (rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+,
        rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+, rule Ring.npCl,
        assumption+,
        thin_tac "1_a x ⋅<ubr x ⋅r (1<sub -_\<hyphen> K</sup>
        (1 -_K(Suc) ⋅r (1 x ⋅r (1_a x))<sup>,
        subgoal_tac <subplusminus -_K (uc (Suc 0))<^esup  x) ⋅r (1 -java.lang.NullPointerException
        simp value_of_inv v "1\> ±x \cdot_r ±a x)"], tactic ‹
 thin_tac Ring.ring[of K x "(1🚫r"]
 apply (subst val_tp[of v, ssum+,
 rule aGroup.ag_ass, rule aGroup.ag_mOp_closed, a+)
 subst value_of_inv[of v "1\<^ubrr (1_a x)"], tactic ‹

 apply (rule contrapos_pp, simp+,
java.lang.NullPointerException
java.lang.NullPointerException
 frule aGrou.ag_eq_diffzero[THEN sym, of K "x \cdot\^>r (- 1 Ring.ring_tOp_closed, a+)
 assumption+,assumption+, rul aGroup.ag_mOp_closed, assumption++)
 apply (simp add:aGroup.ag_inv_inv[of K "1_{cut_tac}field_[of x], simp del:npow_suc,
 frule eq_elems_eq_val[of "x \               
java.lang.NullPointerException
 simp add:val_minus_eq value_of_one)
 apply (simp add:val_t2p,
 frule aadd_pos_poss[of "v x" "v (-_.ring_tOp_, assumptule RR.nClos,
 simp,
 subst value_le ule ad[ v x" v (1\^ub>-\^sub>a x)"], assumption+,
 assumption+,+,
 rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+,
 simp add:value_of_one> -_K (Suc (Suc 0))</sup>±r ±a x)",
java.lang.NullPointerException
 simp a:value,
 thin_tac "1<               ing_isri1autin,ipaddigrng_r_one,
 pad:add_0r, ruvlaxo4 assupin+
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
 subst Ring.ring_distrib1,assump, simp add:Ring.ring_r_one,
 subst aGroup.pOp_assocTr43, assumption+,
 rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+,
 simp simp add:aGroup.ag_pOp_commute[of K "1\\^su>"],
 subst Ring.ring_inv1_2, assumption+, simp, assumption+)

 apply simp

  (fru aGroup.ag_eq_diffzero[THEN sym, of K "x ⋅r (-_r)" "-_r"],
 frule Ring.ring_tOp_closed[of K x "(1 +)
 simp dd:aGru. pply (simp add:Goup.ag_inv_nv[ K "1\^>r"],
 frule aGroup.ag_eq_diffzero[THEN sym, f K"x \\>_<^sub>r (₎= -<> ",
 assumption+, rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+)
java.lang.NullPointerException
java.lang.NullPointerException
 thin_tac "x ⋅d
  sm d:a_
 simp aad:l_t2p,
 frule aadd_pos_poss[of "v x" "v (-_simp,
 simp)
 

  (in Corps) OstrowskiTr9:"[rueRn.ig_tOp_ccloe, asumpmption+,
 0 < ( (cut_tac field_is_ring, frule Ring.ring_is_ag[of "K"],
  (subfru aG.gmpclosof "" x"], ssm,
  (cut_tac field_is_ring, frule Ring.ring_is_ag[offrule RRingring_one[of "K"],
 frule aGroup.ag_mOp_clo[of "K" "x"], assumption+,
 frule Ring.ring_one[of "K"],
 frule aGroup.ag_pOp_closed[of "K" "1 " " ( -_a x)"], assumption+,
 subst val_t2p, assumption+,
 cut_tac invf_closed1[of "1_r ± x)" "v(🚫smpd:ig.in ule Ring.in, as)
  simp
 apply (rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+,
java.lang.NullPointerException
 
 apply (rule contrapos_pp, simp+,
java.lang.NullPointerException
  add:aGroup.ag_pOp_commute[of K "1_on,sip supin)
 frule aGroup.ag_eq_diffzero[THEN sym, of
 apply (rule Ring.ring_tOp_clos
 rule aGrouag_mp_clo, aassum+)
 apply (simp add:aGroup.ag_inv_inv)
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
 thin_tac "x ⋅🚫r) = -_,
 simp add:val_minus_eq value_of_one,
 simp add:val_t2p)
java.lang.NullPointerException
 apply (cut_tac aadd_pos_poss[of "apply (frass+, r+,r aGroup.ag_mOp_closed, ass)
 apply (simp add:val_minus_e[THEN sym, of x)
 apply (subst aGroup.ag_pOp_commute, assumption+)
 e q_elo "x \cdot_r" ""-\suba 1 "x \cdot\^sub>r (-_a x ±r) = -_r",
       apply (simp add:aless_imp_le, assumption) *)
 apply (subst[fv" "-^subplusminus1_r)"], assumption+,
        rule aGroup.ag_pOp_closed )
               rule
        simp a add:val_mi value,
        simp add:value_of_one, si simp ad:val_t2)
        subst value_less_eq[THEN sym, of v "1_\<^sub>r (1_apply(simpv x "v (-\^ub>ax \plusminus 1\^>r)])
           assumption+, rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+,
           simp add:value_of_one, subst val_t2p, assumption+,
           subst aadd_commute,
       rule aadd_pos_poss[of "v (1_apply( [of<> x\plusminus\subr""x] simp
       simp, assumption, simp apply (subgoal_tac<sub> x ⋅> (1_>- 0apply add symv x])
       
apply (cut_tac field_is_ring, frule Ring.ring_oneapply ( aGroup+)
       frule Ring.ring_one
       rule simp
              cut_tac invf_closed1 "1₍subst va[of v"1<>plusminus -java.lang.NullPointerException
g_pOp_closedion
               ruleng_tOp_closedsumption+
       frule

applympRingOp_closedK(\ubr<-<sub>ax)"] assumption+) ap (
       frule ad:aGroup.ag_pOp_commusim add:value_of_one, siadd:vl_m,
        subst value_less_eqTH sym, v "<>"x<d><^sub>r (1_suba x)"],
       rulep_closed
       simp add:aGroup.ag_inv_inv,
       frule eq_elems_eq_val[of java.lang.NullPointerException
        thin_tac "x ⋅ -java.lang.NullPointerException
p:us_eqeque_of_one
        frule_tac aGrouplemOp_closedosed umption
        mpl_t2pontrapos_pp
  apply (simp(q_elems_eq_valuletOp_closed (<^ub<plusminus -java.lang.NullPointerException
         cut_tac       rulepOp_closed
         tGroup,
         substfrulef ] assumption
         simp
   
 apply assumption
done

lemma (in Corps) OstrowskiTr10:" (s add::val_minus_eq[THEN sym, of v x])
       ¬ 0 ≤ v x] ==>.ag_pOp_com assumption+)
apply (frule OstrowskiTr6[of "v" "x"], assumption+,
       cut_tac invf_closed1[of "1java.lang.NullPointerException
       erule conjE, simp add:aneg_le, frule val_neg_nonzero[ofv "", 
       (        ruleaGroupag_pOp_closed, assumption+,
apply (cut_tac field_is_ringfrule.ring_is_ag[ "K"],  v "<sub>"<^>a
             rule_df"" x]         aGrouperox<><>r(\^sub 1_r"],
       frule Ring.ring_one[of "K"],
       frule aGroup.ag_pOp_closed[of rule aGrou.ag_mOp_closed, assumption+,
       subst val_t assumption+)
apply (subst val frule eq_eems_eq_v[o " <><sub>r (-_a x ±r)" "-_r" v],
       assumption+, subst aGroupb>r (🚫
       rule rule Rinring_tOp_closed, assumption+
       subst value_less_eq[THEN sym, of v simp add:val_t2p)
                                       <><^>>r (1<^u>r ±a x)" 1^r"], assumption+)
applyfruleRrngo,
       frule one_plus_x_nonzero[of "v" "          aGroupapos_ppppsimpjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 32 out of bounds for length 32
p
       subst val_t2p[ addvalue_of_one, simp:value_of_oneaGroupg_pOp_closedumption+

apply (simp  assumption
       frulee_less_eqf"" -
       simp add:lemmain) OstrowskiTr10valuation K v; x ∈
       simp add:val_minus_eqsimp add:aGroupag_pOp_commute
       frule val_nonzero_z[of"x] as+, erule exEapp (frule Ostro[of "" ""] ssu+,
       simpadd:a_zpz aminus, simp add:an[THEN sym] frule aGag_eq_diffz[ sym of K " <>^r -<subx<lusminus1<sub>r" "<^>a
       assumption)
done

lemmaule,simp:,,al_neg_nonzero""] 
         ==>
 apply (simp:vals_nonequiv_def
        cut_tacerule)+,assumption  cdotsub(-^>a x\plusminus 1_r",
        simp add:valuations_ (cut_
 frule aarou._O_loe[f "x,umption,
        frule_tac a = 0 infruleg_one K,
           ate_tac,
        drule_tac a = "Suc 0" inmption(simp add:aadd_commute[applyt_nv"\subr \ x \cdot\^s>r (1_]
 apply (drule_tac a = "Suc"in foalse,sp
        rotate_tac -1,
        drule_taca = = le Rn.ringOlsd,supto+
  subvaropgO_mut,sst,
java.lang.NullPointerException
        frule_tac v = "vv ddalue_of_one_,impne
         
         erule bexEassumption

        simpadd orps OstrowskiTr10lbrakk K v  <> carrierK; 
        frule_tac 2[f "],assumption+, simp add:aadd)
        nonequiv_ex_Ostrowski_elem, a
        ut_tac i[f "<>< <><> 1r ±
         \> v_equiv(Suc ( 0)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 56 out of bounds for length 56
        thin_tacpg_mOp_closedK""]       frule[of v""x], assumption+,erule,

 frule.ring_one "",
                          lines        assumption
 apply erule
         x = t andnCorps:"vals_nonequiv K ( 0) vv
apply (simp add:less_ant_def, (erule conjE)+,
       frule_tac x = s and v = "vv (Suc 0)" in val_neg_nonzero,
       assumption+, unfold less_ant_def)
apply (rule conjI, assumption+)

 apply (frule_tac s = s and t = t and v = "vv 0" in OstrowskiTr2,
        +,r a, assum+)
 apply (frule_tac s = s and t = t aand v "Sucin OstrowskiTr3Nset_Suc0 ),
         +, rule, assumption
 apply (subgoal_tac -1
        mprowski_elem_def,
        simp only: nset_m_m[of "Suc 0"], blast) 
       (* Here simp add:nset_m_m[of "Suc 0"] wouldn't work *)
 apply(ut_tac, fruleRing[ofK]
        rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+frulelus_x_nonzerozero v-^ba",assumption,
        frule_tac s 1,,
        +, rule ale_neq assumptio+,
        apply (frule_ a = 0 in forall_spec, si,
    apply (cut_tc a = " 0"in simp
    apply assumption     (* in the above two lines, simp wouldn't work *) value_less_eq sym "v"-<,
done

(** subsection on inequality **)

lemma (in Corps,simp:_zpz aminusadd[THEN ,
                                 bexEjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 4 out of bounds for length 4
apply (induct_tac n\thin_tac\not v_equiv vv (Suc)
 rule allI
(** case (Suc n) **)
 apply(lin
       frule_tac n = n and vv = vv in restrict_vals_nonequiv1erule,
       frule_tac vv inrestrict_vals_nonequiv2,simp:valuations_def
frule_tac .\  n} vv 1)" forall_spec,
        assumption,
       rule_taca= co ff a = 0 in forallspec, simp,,
         assumption+ erule bexE)+)
apply (rdr a = "Suc"in forll_spec im
       cut_tac field_iSuca(rul cI sumpio
(**  case * * *  **)
 apply uex =s and y = t n Ring.r_tOp_cose[o "]ssumption
        case_tac "0 ≤
  d = andndt i Ostrskir5 smtton+
 apply blast


 (** case * * * **)
apply (simp
       case_tac " \>(vv bexE
       frule_tac =ucd Suc 0)"and vv =v n
         vals_nonequiv_valuation,
       simp,
       frule_tac v = "vv, assumption,
         assumption
       frule_tac x = "1 bexE,
       frule_tac x = t and y = "(1java.lang.NullPointerException
               ion)
apply (subgoal_tac"strowski_elem Kass, rule ale_neq_le assump+,
                       \<>\lines *)
       blast)
apply (subst apply (cut_tac x = "s v =vvinassumptionn
         mption eveimpldn
       thin_tac "Ostrowski_elem K (Suc fr x = s nd v "
         (compose nfoldess_ant_def
       thin_tac K (Suc n)
         java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
         n_tacK (Suc n) (compose.hle n} vv 2))",
       thin_tac "0 ≤Ostrowski_elemK  n) vv
Suc ( n" vvv = = vv and m = 0 in
                      vals_nonequiv_valuation, simp,
       ule_tac = vv 0"   n
          OstrowskiTr8 assumption   ndals_nonequiv2v2

apply (simp,
       thin_tac a ={hleSuc n  (skip inrall_spec
            0 < (composeassumptionrule 
       addompose_defe_defkip_def
       rule ballI,
       thin_tac0 \> v( 0) 0)),
       thin_tac "Ostrowski_elem K (Suc n)
                    (o {h. h ≤"
       frule_tac " ≤ vv (Suc (Suc 0)) t",
                     vals_nonequiv_valuation,
       simp cut_tac  =splusminusn _losededblast
 (** case * * * **)
 pplyc"j = Suc 0",,
        drule_tac x = "Suc 0"java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 4 out of bounds for length 4
        simp
        simpapply mp 
        rule_tac  =" (uc)) x  in
         , +,
        frule_tac j  jand n = n  nset_Tr51, assumption,
        drule_tac frule_tac n =assumption+,
        )
 (** case * * * **) 
 applyfrule_tac=t  y = "(\^>r ± (1_\<hyphen>K
       rule_tac v = "vv
       ging_tOp_closed_ assumption
       subgoal_tac "rule exE)
       rule_tac v vv j"and  = in
                    OstrowskiTr9 Ring.[of"")
apply (simp add:nset_defblast
       thin_tacvals_nonequiv strowski_elem_def
         compose <levvd=snd  in,mptionjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 76 out of bounds for length 76
       thin_tac
                   (compose simp,
       thin_tac "Ostrowski_elem K (Suc n)
                   (compose hh <(Sun) v (ski 2 "
 apply (subgoal_tac "s ⋅ Suc n} vv (skip 2))",
         "Ostrowski_elem K (Suc (Suc n)) vv
                            (s r n = ""Suc (Suc n)" and =Suc 0  vvvv 
 prefer 2
 apply ( n = "Suc (Suc n)" andfrule_tac=Suc) and vv m=0in 
        als_nonequiv_valuationluation simp
     frule_tac v = "v 0 and x = t in
     rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+,
     frule_tac x = "\^>r ±r ± in
     simp 
yrule njI
apply (thin_tacj∈
       0<compose (subgoal_tacOstrowski_elem n  
       apply (
       thin_tac"vals_nonequivK ( (Surule ballI,
       erule conjE)+,
       thin_tac "∀j∈nset (Suc 0) (Suc n).
            0 < (compose add:nset_def add"Ostrowski_elem K (Su )
       simp add:compose_def skip_def, rule ballI)
(** case *** *** **)
 apply (case_tac "        drule_tacSuc0" in bsp,
     rule_tac v = "vvcompose {h.he
     simp"\<e frule_tac nn i e_r1,smi,
     rule_tac v = "vv  r9
     simp add:vals_nonequiv_valuationrule_tacSucSucn) dvv 0n 
     (erulevals_nonequiv_valuation
     frule_tac v =vvand  tin
     drule_tac , assumption
 apply (simp add:nset_defsimp:Ostrowski_elem_def,erule conjE
done

lemma (in Corps) val_1_nonzero:"[valuation K v; x ∈ carrier K; v x = 1] ==>compose_d ski,
                                ≠
apply (rule contrapos_pp, simp+,
       simp a:value_of_zero,
       rotate_tac 3drues,sm nly:_1[HN sy]
       simp del:ant_1)
done

lemmakvasnoevK(u )v
 
 Ostrowski_elem K (Suc n) vv x]
        ∀m. 2 ≤
apply (cuttac fi, frule Ring.ring_is_agof "K]
       frule Ring.ring_one[of "K"],
       rulejandt_Tr51assumption
       uleluation n""" "0]
       ,
       simp add vv(Suc(Suc" x t OstrowskiTr10,
       frule val_1_nonzero[of "vv 0" "a"], assumption+) apply (
apply (frule vals_nonequiv_valuation[of "Suc n" "vv "]p
       frule val_nonzero_noninf[of "vvvvj"and x=ti
       frule val_unit_cond[of "vv 0" "x"], assumption+,
       frule_tac n = m in Ring.npClose[of "K" "x"], assumption+,
       frule aGroup.ag_mOp_closed (simp add:nset_f euecj),rl stT5 assmto+
       frule aGroup.ag_pOp_closed[of ""K""\<^ubr
apply (subgoal_tac "0  m,
       frule_tac x = "a ⋅_" K (Suc n)
       value_less_eq[of "vv 0"],
       rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+,
       rule Ring.npClose, assumption+, simp add: val_t2p,
       frule value_zero_nonzero[of "vv 0" "x], assumption,
       simp add:val_exp_ringapply ( "s ⋅r ((1 s ⋅r (1 -_\<hyphen>K carrier K",
apply case_tac " 1\\^>r\^bsub>K
       frule_tac n = m in Ring.npZero_sub[of K"], simp
       simp add:value_of_zero) 
apply java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 53 out of bounds for length 53
apply (rotate_tac -1, drule not_sym,
      frule .ag_neq_diffnonzero[ "K"1<r" "x"],
      simp add:Ring.ring_one[of "K"], assumption+, simp,
      simp addva_x_n[HNy]
      cut_tac n1 = m in of_nat_0_less_i d:srwk_lmdf
apply rl oj)
       assumption)
pplyin_tac" m) = (0 < int m)",
      frule val_nonzero_z[of "vv 0" "1  ( " = Suc (Suc 0)" simp 
     xEtz_z
      simp only:ant_1[THENy

apply (subst aGroup v = "vv "xt 
       ruleleK"],
       assumption+,
       e_tac-1 d sym i,
        "vva < ± )^<sup><^sub>r x^java.lang.NullPointerException
apply (simp add:val_t2p,(erule conjE,
       frulezero_nonzero vv"x], assumpt,
       simp add:val_exp hin_ta "vals_nonequivSuc (omposeh\> Suc n}  (skip 0) j ),
       simp add:aadd_0_r,
       cut_tac z = m in less_le_trans[of "0" "2"], simp, assumption+)                   (compose {h. h e ( 2))",
done

lemma (in Corps) Approx"<lbrakk>vals_nonequiv "s \<>< s ⋅(\^>r ±&hyphen ca K",
      x <> <>s ⋅r ± -_\<hyphen>K</sup>
        Longrightarrowr ±vv s rowskiTr9
apply ( Ostrowski_elem_not_one "n vv"",suto,
       cut_tac field_is_ring, frule Ring.ring_is_ag[of "K"],
        frlRingigoe[of "K"
       frule aGroup.ag_pOp_closed[of "K" "1<^frule_tac _r ±, simp
apply (simpp addrowski_elem_defi_elem_defjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 33 out of bounds for length 33
       frule_tac j inofnjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 67 out of bounds for length 67
       simp, 
       frule_tacthin_tac(nvv
        val_exp_ringerule)+,

apply (frule_tac v = "vv j" and x = "1_r" and  y = "-_<(com {h. h e} v (skip (Suc 0))j s)"
       value_less_eq, assumption+, simp
 applysimpadd:value_of_oneapply(se_tac j = Suc" simp,
        add:Osnset)
apply(simp add:value_of_one, ro -1, drule sym,
   add:as)
done

lemma ( forall>m 2 ≤r ±a x)^^{m<^esup> \\<p> a \<cdot\m}
\in air ;
     Ostrowski_elem K rul x= " - 0inc+tion
aacdot^>r (^<> mvv j  xjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 95 out of bounds for length 95
apply frule[of x"],
                                          assumption+,

applyfrule_tacrle_tacm=j invals_nnequvv (rl orpp,sp
apply (subst val_t2p[of "vv j"], assumption+,
       rule Ring.npClose, assu+,si ln_
       cut_tac field_is_idom,
       frule_tac v1 = "vv j" and x1 = x and n1 = m in
       val_exp_ringTHEN sym], ssumptin+, imp
done

lemma (in Corps) AppOstr K (Suc n) vin.pC[of K x"]+,
     a \>carrier K; a ≠<  K;
      K ( n  x;  \>  (Suc( n)<> \Longrightarrow>
               \        Ringof"],
apply (frule Ostrowski_elem_nonzero[of "n" "vv"frule v[f Suc n""v""],
      subgoal_tac "∀[of"" 1\^>r" "simp
      simp,
       "\<foralln>r x^\^s>K n\<^>)
refer
apply (rule frul a_oenif[o" "], a+,
         assumption+, simp add:nset_def)frule val_unit_cond[of "  "], ass+,
apply (frule_tac m j i valsof "Sucvv
       simp add:nset_deffruleK""x"], assumption+,
       frule val[of "vv ngsumption:_java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 57 out of bounds for length 57
       simp addOstrowski_elem_def
frule, fold,
       ule_tacssumption(ase_tac " = 1<sub>r\^u>\        rl ng.rintpled, assumpo,
apply (frle Ostrowski_elm_fr e_tcn= m i nnZero_ub[o "K] mp
       frule add)       fruleo_nonzerof 0"" assumption
       frule_tac=za x= in,
       simp add:asprod_amult( "x = 1_" ( -,
done

lemma (in Corps) Approximation1 add:val_[THEN sym],
       ∈ 0; x ∈ carrier K;
      Ostrowski_elem K (Su n) vv x; j ∈ ==>
        ∃m. l < m ⟶_a x)^^{±_K m}
apply (frule vals_nonequiv_valuation[of "Suc(te_tac
       mpt_def
       frule Approximation1_5Tr5simpneK" supto+ im,
               assumption+, erule exE,
       cut_tac field_is_ring, frule Ring.ring_is_ag[of "K"],
       subgoal_tac "∀and< m" in a_b_exchange, simp
java.lang.NullPointerException
 apply (simp add:Approximation1_5Tr3, blast)
 apply (rule allI, rule impI,
        drule_tac erueexEsp,sm dardauaz
        frule_tac x = "(1_a x)^ ^{and y = "a ⋅r (x^" in
           value_less_eq[of "vv j"],
        rule Ring.npClose,assumption
        rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+, simp 0 (a <>\^>r x^\^>K m}r ±a x)^ <sup>= vv 0 (a ⋅r x^")
        simp add:aGrouag_mOp_closed)
 apply (rule Ring.ringtOp_c, assumption+,
        rule Ring.npC, assump+,
        simp add:Approximation1_5Tr3,sim add:aadd_0_r,
        frule sym, assu)
done

lemma (in Corps) Approximation1_5Tr7:"[\lbrakkvals_nonequiv
      x ∈ \Longrightarrow
      vals_nonequiv K (Suc n🚫) = 0"
      (∃l. ∀
                 (1^su> <> -\<^ba(cuta = "0 < m" and b = " intnb_exchange
apply (induct_tac frule<= int,
       rule impI, erule conjE impt_m_mapply( :aGroup,  addnset_def
       frule[of "uc "vv" " 0"], simp,
       frule Approximation1_5Tr6[of "0        simp
applyfrule[of0vv], simp,
       frule val_1_nonzero[of "vv 0" "a"], val_exp_ring sym+) 
       assumption)
(** case n **) mmute] ssumption
apply(rule.losemption+, rule.ring_tOp_closed"],
       frule_tac = in rest[of _ "vv
        restrict_Ostrowski_elemvv
          , simp
       erulejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 17 out of bounds for length 17
       frule_tac :asprod_n_0
        [done
       frule_tac n = "Suc (Suc n)" in vals_nonequiv_valuation[of _ "vv" 
        "0"],simp z  m  less_le_translemma in) Approximation1_5Tr4>  (Suc; 
       rule
       simp add:nset_def)
apply (erule,
       subgoal_tac <> K; Ostrowski_elem Suc n vv>nset (Suc 0) (Suc n)] ⋅  vv(1^> \plusminus -<> x)^java.lang.NullPointerException
         vj1<r<> -_<> \^>plusminus <>_K m
       blast,
      simpnset_Suc
done   

lemma m=als_nonequiv_valuationiv_valuationionSuc",
    n_val K (vv 0) = vv 0] vals_nfrule_tac v1 " j"and "\^ub \plusminus -<a x d1  n
    ∃ val_t2p[  jand "1<>r"  yxn
apply als_nonequiv_valuation n"""""] simp) apply (
       frule (s add:ielfield_isidom,,
       rename_tac a) apply (
       cut_tac n n in Ostrowski) apply (
       simp a:asprod_n_0)
  apply (
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 4 out of bounds for length 4
       frule_tac = aaad x x inAprxmo_5r1o "n ""java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 71 out of bounds for length 71
       assumption
       simp, assumption+)
ximation1_5Tr7[of _ "vv" _ "n"],
       simpj\cdottsubr (x^=aaa (vv j  x)"
       simp, erule exE,
xcobounded1nd[o2],
       cut_tac b = "Suc l" in max.cobounded2[of _ "2"],
       cut_tac n = l in lessI,
       frule_tac x = l and y = "assumption,
         less_le_trans field_is_ring .ring_is_ag])
              "∀^s x^<bs>K n
       drule_tac a = "max 2
       drule_tac"j"x1  in
 
       carrier m = in norpsspproximation1_5Tr5\>vals_nonequiv n)vv 
       blast,
       cut_tac field_is_ring Ringring_is_ag[of,
       rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption,  Ring., assumption+,
       rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+, simp val_nonzero_z[of "vv j" a],assumption exE
       simp:aGroup, rule.ring_tOp_closed+,
       rule.frule, fold,
done

lemma:"k \le> (frOstrowskielemof "" " x]sumption
apply impZset_def)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 26 out of bounds for length 26
done

lemma transpos_eq:"(τ dd:asprod_amult a_z_z a_zp
by (simp add:transpos_def)

lemma(in Crp)rao_l_oeu:[;
      j ≤ carrier K; a \noteq<>; x \incar K;
apply (:vals_nonequiv_def)
 apply (frule conjunct1, fold vals_nonequiv_def)
 apply (simp add:valuations_def, rule conjI)
 apply (rule allI, rule impI)
 apply (case_tac " = 0", imp,
        case_tac "j = 0", simp add:transpos_eq)
 apply (subst transpos_ij_1[of "0" "Suc n" "j"], simp, assumption+,
        rule not_sym, assumption, simp)

 apply (case_tac "ja = j", simp)
 apply (subst transpos_ij_2[of "0"vv jj (1<sub>r <plu> -_" and y = "a ⋅r (<bsup)" in
        simp add:vals_nonequiv_valuation)value_less_eq[of "vvj"],
 apply (as"j = 0,mp
 yt_tac n" j], simp, as,
        rule not_sym, assumption+)
 apply (simp add:vals_nonequiv_valuation,
         allI, rule impI)+, rule impI)
 apply (case_tac "  "simppa:ass,
        simp add:vals_nonequiv_def,
        cut_tac transpos_inj[of "0frule
 apply (frule_tac x = ja and y = l in
                       "{j. j ≤ (Suc n)}"], simp,x \> K\rbrakk Longrightarrow> 
  (cut_tac   in[of"0 " n" "j", si, assumption+,
        simp, assumption,
       cut_tac l = l in tra[of "0" "Sucimp
        simp,(vvr ±a x)^a ⋅r (x^) = 0)))"
 apply (simp add:vals_nonequiv_def,
        mp,smo rent_masmpin)
done

definition
  Ostrowski_base :: "[_, nat ==> 'b ==> 0"], as+)
                             (Ω _{_ _} [90,90,91]90) where
  "Ostrowski_base Knonzeroof " "a",asutn, padntf
                            trowski_elemn (v\circ<><^bsub>>0 \^sub) x)))"

definition
  App_base<>bRightarrow ant, nat] <ightarrow(
  "App_base K vv n = (λ, sim,
                      = 1) ∧k∈ <> \<tau\) k x) = 0))))"
  (* Approximation base. *)

lemma (in[of" "" "] +,
      Ostrowski_baseKvv n) <>  carrier K"
apply (rule Pi_I, rename_tac l,
       simp add:Ostrowski_base_def,
       frule_tac j = l in transpos_vals_nonequiv[of n vv], simp,
        Ostrowski[of n])
applysimp add:nset_def)
       rule someI2_ex, blast, simp)
done

lemma (in Corps) Ostrowski_base_mem:"vals_nonequiv K (Suc n) vvvvr ±a x)^±_K m
         ∀
by (rule allI, java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
       etrowski_base_hom"],
       simp add:funcset_mem del:Pi_I')

lemma (in Corps) Ostrowski_base_mem_1:"[ vals_nonequiv_valuation "Suc n"""0,imp
       j ≤ (Suc n)]
by  Suc

lemma (in Corps) Ostrowski_base_nonzero
       j ≤ (ΩK vv (Suc n)"
apply (simp add:Ostrowski_base_def,
       frule_tac j = j in transpos_vals_nonequiv[of "n" "vv"],
                      +,
       cut_tac Ostrowski[of "n",
       drule_tac a = "vv
        someI2_ex) 
apply (thin_taccut_tac b ="Suc l" in.cobounded2 _"",
       eruleconjE
apply (rule_tac vv = "vv f x = l an y = "Suc=max l)" in

done

lemma (in Corps) Ostrowski_base_pos:"[^r ±suba x)^±_K (max 2 (Suc l)) 
      j ≤ Suc n; ja ≤
apply (simp field_is_ring Ring[of],
       frule_tac in[of " v],
       assumption+,
       cut_tacOstof "n"],
       drule_tac a = "vv τ <sub>in forall_spec, assumption)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 90 out of bounds for length 90
apply (rule omeI2_ex
       thin_tac "∃
       simp add:Ostrowski_ele
apply (case_tac " = 0", simp, cut_tac transpos_eq[oof "j"],
       simp add:nset_def, frule Suc_leI[of "0" "j"],
       frule_tac a = j in forall_spec, simp, simp)
apply (case_tac "j = 0", simp,
       frule_tac x = ja in bspec, simp add:nset_def,
       cut_tac transpos_[of"" " n" "ja )
apply (frule_tac x = j in bspec,uledef
       cut_tac transpos_id[of "0" "Suc n" "ja" "j"], simp+) 
done

lemma (in Corps ttranspos_ij_1 n" j",tion
      ∀j ≤
        \ pos_ij_2 n" "] simp assumption,simp,
apply (rule, rule impI,
       rename_tac k,
       subst App_base_def)
 apply (case_tac "k = 0", simp, simp addcase_tac add) 
        frule[ofvv,
        rule someI2_ex not_sym+)
 apply frule_tac j=kin transpos_vals_nonequivof "n" "vv"],
                 simp add:nset_def,        ruleallI,ruleimpI)+  impI
        frule_tac =vv τ inroximation1_5P
 apply (simp add:cmp_def, subst transpos_ij_1[of "0" "Suc n"], simp+,
        stSuc
 apply (rule someI2_exule_tactranspos
done

lemma (in Corps) Approzimation1_5P2"{j <>(c}], s, simp, assumption+)
           ∀[of "0Sucn""]imp
          ==>intranspos_mem simp
apply (simp add:applymp
applyOstrowski_base_ nat 'b ==><Rightarrow (nat ==>')"
       rule someI2_ex,                             \open\Omega>›
      frule Approximation1_5P[of "n" "vv"], simp , blast,
       simp add:Kronecker_delta_def, rule impI, (erule conjE)+,
       frule_tac x = i in bspec,ip d:ntdef supo)

apply (frule_tac j = j in transpos_vals_nonequiv[of "n" "vv"], simp,
       fruleApprox[of "n" "vv τ],
       simp add:cmp_def, v <><>hcarrier K ∧ τ0 j
       
apply (simp add:cmp_def,
         case_tac "i = 0", simp
         simp add:transpos_ij_1 add,
         rule someI2_ex, blast,
         thin_tac "∃carrier K.
            vv j x = 1 ∧ (\<forallapply l,
        (econjE)+,
         drule_tac x = j frul j = l in transpos_val[of n vv], simp,
         simp add:transpos_ij_2)

apply (simp add:Kronecker_delta_def,
       case_tac "i = j", simp add:transpos_ij_1, rule someI2_ex, blast, simp)

apply (simp, rule someI2_ex, blast,
       thin_tac "∃ ) ==>
                     (∀nset (SucSuc n.vv(\tau ja) x = 0)",
       (erule conjE)+,
       drule_tac x = i in bspec, simp add:nset_def,
       cut_tac transpos_i[o 0 " j] +)
done

(*
lemma (in Corps) Approximation1_5:"\<lbrakk>vals_nonequiv K (Suc n) vv; 
  \<forall>j \<le> (Suc n
  \<exists>x\<in>{h. h \<le> (Suc n)} \<rightarrow> carrier K. leSuc<rbrakk>  \<Longrightarrow> (\<Omega>\<^bsub>K vv Suc\) j \<noteq> \<zero>"
                              ((vv i)  (x j) = \<delta>\<^bsub>i j\<^esub>)" *)

lemma onjE
   (vv τ andin Ostrowski_elem_nonzero"]
  ∃
                              ((vv i) (x j) = δ
apply (frule App_base_ho
 apply (subgoal_tac "(∀ Sucja Suc n; ja ≠ 0 < ((vv )<>java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 135 out of bounds for length 135
                 (subst
        blast) 
 apply
 apply (rule Approzimation1_5P2, assumption+, simp+) 
done

lemma (in Corps) Ostrowski_baseTr0:"[vals_nonequiv K (Suc n) vv; l ≤ (Suc n) ]
   ==> 0 < ((vv l) (1r ± -a (Ostrowski_base K vv (Suc n) l))) ∧
  (∀m∈{h. h ≤ (Suc n)} - {l}. 0 < ((vv m) (Ostrowski_base K vv (Suc n) l)))"
apply (simp add:Ostrowski_base_def,
       frule_tac j = l in transpos_vals_nonequiv[of "n" "vv"], assumption,
       cut_tac Ostrowski[of "n"],
       drule_tac a = "vv ∘ τ l" in forall_spec, assumption) 
apply (erule bexE,
       unfold Ostrowski_elem_def, frule conjunct1,
       fold Ostrowski_elem_def, 
       rule conjI, simp add:Ostrowski_elem_def)
apply (case_tac "l = 0", simp, simp add:transpos_eq,
       rule someI2_ex, blast, simp,
       simp add:transpos_ij_1,
       rule someI2_ex, blast, simp)

apply (simp add:Ostrowski_elem_def,
       case_tac "l = 0", simp, simp add:transpos_eq,
       rule someI2_ex, blast,
       thin_tac "0 < vv 0 (1r ± -a x) ∧
                      (∀j∈nset (Suc 0) (Suc n). 0 < vv j x)",
       rule ballI, simp add:nset_def) 

apply (rule ballI, erule conjE,
       rule someI2_ex, blast,
       thin_tac "∀j∈nset (Suc 0) (Suc n). 0 < vv ((τ l) j) x",
       (erule conjE)+)

apply (case_tac "m = 0", simp,
       drule_tac x = l in bspec, simp add:nset_def,
       pdanspos_ij_2
       drule_tac x = m in bspec, simp add:nset_def,
       simp add:transpos_id)
done  

lemmaCorpsseTr1vals_nonequiv K (Suc n) vv; l ≤
     ==> 0 < ((vv l) (1java.lang.NullPointerException
by (simp add:Ostrowski_baseTr0)

lemma (in CorpspIgCloseapply( dngClose
        l ≤
        0 < ((vv m) (Ostrowski_base K vvut_tac^<supK j</sub>Suc nSuc j<sub>x^"
apply altans)
applysimpmp
done

lemma Nset_have_two:"j ∈
apply (rule contrapos_pp, simp+,
       case_tac "j = Suc n", simp,
       drule_tac a = 0 in forall_spec, simp, arith) 
 apply (drule_tac aSuc nrall_specimp
done(p:f_nat_0_less_iff

lemma (in Corps) Ostrowski_base_npow_not_oned and in
       vals_nonequiv K (Suc n) vv]
                              1K jSuc n</sub>Suc j
applysimp add:Ring.npClose,impTHEN
       rule mp
       frule Ostrowski_base_mem_1[of "0"imp
       frule Ring.npClose[of "K" "(Ω\apply
       frule Ring.ring_one[of "K"],
       frule aGroup.ag_mOp_closed[of K "(Ω"<"and b = "int 0 < int j" in a_b_exchange
       frule aGroup.ag_pOp_closed[of "K" "1_a ((ΩK vv (Suc n)K N
       assumption+)
apply (frule aGroup.ag_pOp_add_r[of "K" "1java.lang.NullPointerException
           java.lang.NullPointerException
        simp add:aGroup.ag_inc_zero, assumption+,
        thin_tac "1_a ((<Omega\K vv (Suc n)) j^) =zero
 apply (simp add:aGroup.ag_pOp_assoc[of "K" "1_r ±a (aa^)^∈
 apply (simp add:aGroup.ag_l_inv1, simp add:aGroup.ag_r_zero aGrule RignpCls,asmto+,
  apply (subgoal_tac "∀m ≤edtionmption
                                 0 < (vv m ((Ωjava.lang.NullPointerException
 apply (cut_tac Nset_have_two[of "j" "n"],
        erule bexE, drule_tac a = m in forall_spec, simp,
       thin_tac (<><^bsub>K vv (Suc)<esub<bsup^esup ±\^a ((Ω _{j^ ∈
       frule_tac f = "vv m" in eq_elems_eq_val[of "1r ±a ((1 -K NK N}</sup> carrier K"
       thin_tacapply (cut_taculeag
 apply (frule_tac m = m in vals_nonequiv_valuation[of "Suc n" "vv"],
        sumption+, 
        frule_tac v1 = "vv m" and n1 = N in val_exp_ring
         of  _ "(Ω\<lbrakkvaluation carrier K; aa ≠
        simp add:Ostrowski_base_nonzero, simp, simp add:value_of_one)
  (cutied_i_ig rlRn.igi_go K]
        frule_tac x = "vv="
        assumption, simp add:less_ant_def, simp, simp,
        rule allI, rule impI, rule impI,
        rule Ostrowski_baseTr2, assumption+)
done

abbreviation
  CHOOSE :: "[nat, nat] ==>
  java.lang.NullPointerException

lemma painof_ssum1x <> cari<>
                (1_r ± x)^ ⁿ = nsum R (λi. >i ×RR i
apply (cut_tac ring_one, frule npeSum2[of "1 n.  ) <>carrier l ≤ 
       simp add:npOne, subgoal_tac "∀(j::nat). (x^ ^j({h. h ≤ p>-_a (b j)))) ∧
apply (simp add:ring_l_one, rule allI, simp ax \<><
done

lemma (in Ring) tail_of_expansion:"x ∈ carrieris_ringng_is_ag
             (nsum R (λ i. (java.lang.NullPointerException
apply (cut_tac ring_is_ag)
apply (frule expansion_of_sum1[of "x" "Suc si dap._Opcsd m add:i.rg_ne
       simp del:nsum_suc binomial_Suc_Suc npow_suc,
       thin_tac "(1 x)^^{= Σ₍Suc n)i_x^\R i}
apply (subst aGrouproupOp_commutessumption
              substsoc
applycut_tac
       simp ption
done

lemma (in Ring) tail_of_expansion1:"x ∈ carrier R ==>
=x\><^sub>r (nsum R (λ i. (_{^bsub>(Suc i)}RR i\^)) n) ±r
apply (frule tail_of_expansion[of "x" "n"],
       simp del:nsum_suc binomial_Suc_Suc npow_suc,
       subgoal_tac "∀e K g n ∈rier
       cut_tac ring_one, cut_tac g_is_ag
prefer 2  apply(simp:nsClose
apply (rule aGroupg_pOp_add_r[ R" 1\<>"
       rule aGroup.nsum_mem, assumption+, rule allI, rule impI,
       rule nsClose, rule npClose, assumption)
apply (rule ring_tOp_closed, assumption+,
       rule aGroup.nsum_mem, assumption+, blast, simp add:ring_one)
apply (subst naappcut_taa x(u) \cdot>_r ±a (b (Suc n))) ±a (x (Suc n))" 
apply (rule aGroup.nsum_eq, assumptionulele
       leallI
       ruleg_tOp_closed
       assumption) 
apply (rule allI, rule impI)
apply (subst nsMulDistrL, assumption, simp add:npClose, 
       frule_tac n = j in npClose[of x], simp add:ring_tOp_commuteondgng_one
done 

lemma (in Corps) nsum_in_VrTr:"valuationK vLo
       (∀
       0 ≤
apply (induct_tac n)
 apply (rule impI, erule conjE, simp add:val_pos_mem_Vr)
apply (rule impI, erule conjE)
apply (frule Vr_ring[of v], frule Ring.rin+,
       frule_tac x = "f (Suc n)" and y = "nsum K f n" in
         aGroup._ldof"]java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 43 out of bounds for length 43
       substassumption+
       rule ,
apply (simp, subst Vr_pOp_f_pOpjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 36 out of bounds for length 36
       substrule._sedmptiong_one
       simp+)
apply (subst.ag_pOp_commute,assumption+, simp add:val_pos_mem_Vr
       assumption
done

lemma (in Corps) nsum_in_Vr:"[
       ∀j ≤ n. 0 ≤a (x l)"], assumption+,
apply (simp add:nsum_in_VrTr)
done

lemma(norps_em_in_Vrlbrakk>valuation K v; 
       ∀.ag_mOp_closed+, simp
         (nsum ) <n> carrier (Vr K v)"
by (rule nsum_in_Vr)

lemma (in Corps) val_nscal_ge_selfTr:"[, simp
       ==>  v x ≤  v (n ×, assumption,
apply (cut_tac field_is_ring, induct_tac n, simp)  
apply (simp add:value_of_zero,
       simp,
       frule_tac y = java.lang.NullPointerException
       rule Ring.nsClose, assmpton
apply-sb>a(x l)", simp
       frule Ring.ring_is_ag__r _ -<sub>a(l),assumption+,
       frule_tac =  in.nsClose K x] +,
       simp:aGroup)
done

lemma (in allI impI,
             v  \>(v (1 -_r ±<bsup>K (Suc n)
apply(ut_tacgng_is_ag",
       case_tac "x = 0",
       simp, frule Ring.ring_one[of "K"], simp add:aGroup.ag_r_zero,
       simp add:Ring.npOne, simp add:Ring.ring_l_one,simp add:aGroup.ag_r_inv1,
       subst Ring.tail_of_expansion1[of "K" "x"], assumption+,
       frule Ring.ring_one[of "K"])
apply (subgoal_tac "(nsum K (λi.  _nC _i × x^ ⁱ) n)∈carrier (Vr K v)",
       frule Vr_mem_f_mem[of "v" "(nsum K (λi.  _nC _i × x^ ⁱ) n)"],
       assumption+,
       frule_tac x = x and y = "nsum K (λi.  _nC _i × x^ ⁱ) n" in
       Ring.ring_tOp_closed[of "K"], assumption+,
       subst aGroup.ag_pOp_commute[of "K" _ "1_r"], assumption+,
       subst aGroup.ag_p_inv[of "K" "1_r"], assumption+,
       subst aGroup.ag_pOp_assoc[THEN sym], assumption+,
       simp add:aGroup.ag_mOp_closed, rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+,
       simp del:binomial_Suc_Suc add:aGroup.ag_r_inv1, subst aGroup.ag_l_zero,
       assumption+,
       rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+, simp add:val_minus_eq)

apply (subst val_t2p[of v], assumption+) apply (
       simp add:val_pos_mem_Vr[THEN sym, of v
                  "nsum K (λi.(C + C _i) × x^ ⁱ) n"],
       frule aadd_le_mono[of "0" "v (nsum K (λi.(C + C _i) × x^ ⁱ) n)"
         "v x"], simp add:aadd_0_l, simp add:aadd_commute[of "v x"])

apply (rule nsum_mem_in_Vr[of v n "λi. _nC _i × x^ ⁱ"], assumption,
       rule allI, rule impI) apply (rule Ring.nsClose, assumption+) apply (simp add:Ring.npClose)

apply (rule allI, rule impI)
apply (cut_tac i = 0 and j = "v (x^ ^j)" and k = "v ( _nC _j × x^ ^j)"
       in ale_trans)
 apply (case_tac "j = 0", simp add:value_of_one)
 apply (simp add: val_exp_ring[THEN sym],
        frule val_nonzero_z[of v x], assumption+,
        erule exE,
        cut_tac m1 = 0 and n1 = j in of_nat_less_iff[THEN sym],
        frule_tac a = "0 < j" and b = "int 0 < int j" in a_b_exchange,
        assumption, thin_tac "0 < j", thin_tac "(0 < j) = (int 0 < int j)")
apply (simp del: of_nat_0_less_iff)

apply (frule_tac w1 = "int j" and x1 = 0 and y1 = "ant z" in
         asprod_pos_mono[THEN sym],
        simp only:asprod_n_0)

 apply(rule_tac x = "x^ ^j" and n = " _nC _j" in
       val_nscal_ge_selfTr[of v], assumption+,
       simp add:Ring.npClose, simp add:val_exp_ring[THEN sym],
       frule val_nonzero_z[of "v" "x"], assumption+, erule exE, simp)
 apply (case_tac "j = 0", simp)
 apply (subst asprod_amult, simp, simp add:a_z_z)
apply(
        simp only:ant_0[THEN sym], simp only:ale_zle,
        cut_tac m1 = 0 and n1 = j in of_nat_less_iff[THEN sym])
apply ( frule_tac a = "0 < j" and b = "int 0 < int j" in a_b_exchange,
        assumption+, thin_tac "0 < j", thin_tac "(0 < j) = (int 0 < int j)",
        frule_tac z = "int 0" and z' = "int j" in zless_imp_zle,
        frule_tac i = "int 0" and j = "int j" and k = z in int_mult_le,
         assumption+, simp add:mult.commute )
 apply assumption
done

lemma (in Corps) ApproximationTr0:"aa ∈ carrier K ==>
            (1_r ± -_a (aa^ ^N))^ ^N ∈ carrier K"
apply (cut_tac field_is_ring, frule Ring.ring_is_ag[of "K"],
       rule Ring.npClose, assumption+,
       rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+, simp add:Ring.ring_one,
       rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+, rule Ring.npClose, assumption+)
done

lemma (in Corps) ApproximationTr1:"aa ∈ carrier K ==>
            1_r ± -_a ((1_r ± -_a (aa^ ^N))^ ^N) ∈ carrier K"
apply (cut_tac field_is_ring, frule Ring.ring_is_ag[of "K"],
       frule ApproximationTr0[of aa N],
       frule Ring.ring_one[of "K"], rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+,
       rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+)
done

lemma (in Corps) ApproximationTr2:"[valuation K v; aa ∈ carrier K; aa ≠ 0; 
     0 ≤ (v aa)] ==> (int N) *_a(v aa) ≤ (v (1_r ± -_a ((1_r ± -_a (aa^ ^N))^ ^N)))"
apply (cut_tac field_is_ring, frule Ring.ring_is_ag[of "K"],
       case_tac "N = 0",
       frule val_nonzero_z[of v "aa"], assumption+, erule exE, simp)
 apply(frule Ring.ring_one[of "K"], simp add:aGroup.ag_r_inv1,
       simp add:value_of_zero)

apply (frule_tac n = N in Ring.npClose[of "K" "aa"], assumption+,
       frule ApproximationTr[of v "-_a (aa^ ^N)" "N - Suc 0"],
       rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+, simp add:val_minus_eq,
       subst val_exp_ring[THEN sym, of v], assumption+,
       simp add:asprod_pos_pos)
apply (simp add:val_minus_eq, simp add:val_exp_ring[THEN sym])
done

lemma (in Corps) eSum_tr:"
( ∀j ≤ n. (x j) ∈ carrier K) ∧ 
 ( ∀j ≤ n. (b j) ∈ carrier K) ∧ l ≤ n ∧ 
 ( ∀j∈({h. h ≤ n} -{l}). (g j = (x j) ⋅_r (1_r ± -_a (b j)))) ∧ 
  g l = (x l) ⋅_r (-_a (b l))
⟶ (nsum K (λj ∈ {h. h ≤ n}. (x j) ⋅_r (1_r ± -_a (b j))) n) ± (-_a (x l)) = 
                       nsum K g n"
apply (cut_tac field_is_ring, frule Ring.ring_is_ag[of "K"])
apply (induct_tac n)
 apply (simp, rule impI, (erule conjE)+,
       simp, frule Ring.ring_one[of "K"], subst Ring.ring_distrib1,
       assumption+,
       simp add:aGroup.ag_mOp_closed, simp add:Ring.ring_r_one,
       frule aGroup.ag_mOp_closed[of K "b 0"], assumption+,
       frule Ring.ring_tOp_closed[of "K" "x 0" "-_a (b 0)"], assumption+,
       subst aGroup.ag_pOp_commute[of "K" "x 0" _], assumption+,
       subst aGroup.ag_pOp_assoc, assumption+,
       frule aGroup.ag_mOp_closed[of "K"],
       assumption+)
 apply (simp add:aGroup.ag_r_inv1, subst aGroup.ag_r_zero, assumption+, simp)
apply (rule impI, (erule conjE)+)
 apply (subgoal_tac "∀j ≤ (Suc n).  ((x j) ⋅_r (1_r ± -_a (b j))) ∈ carrier K")
apply (case_tac "l = Suc n", simp)
 apply (subgoal_tac "Σ_e K g n ∈ carrier K",
        subgoal_tac "{h. h ≤ (Suc n)} - {Suc n} = {h. h ≤ n}", simp,
        subgoal_tac "∀j. j ≤ n ⟶ j ≤ (Suc n)",
        frule_tac f = "λu. if u ≤ Suc n then (x u) ⋅_r (1_r ± -_a (b u)) else 
        undefined" and n = n in aGroup.nsum_eq[of "K" _ _ "g"])
 apply (rule allI, rule impI, simp,
        rule allI, simp, rule allI, rule impI, simp, simp)

 apply (cut_tac a = "x (Suc n) ⋅_r (1_r ± -_a (b (Suc n))) ± -_a (x (Suc n))" and
       b = "x (Suc n) ⋅_r (-_a (b (Suc n)))" and
       c = "Σ_e K g n" in aGroup.ag_pOp_add_l[of K], assumption)
 apply (rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+,
        rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+, simp,
        rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+, simp add:Ring.ring_one,
        rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption, simp,
        rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption, simp,
        rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+, simp,
        rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+, simp, assumption)

 apply (subst Ring.ring_distrib1, assumption+, simp, simp add:Ring.ring_one,
        simp add:aGroup.ag_mOp_closed,
        simp add:Ring.ring_r_one) apply (
        frule_tac x = "x (Suc n)" and y = "x (Suc n) ⋅_r (-_a (b (Suc n)))" in
        aGroup.ag_pOp_commute [of "K"], simp,
        simp add:Ring.ring_tOp_closed aGroup.ag_mOp_closed,
        simp) apply (
        subst aGroup.ag_pOp_assoc[of "K"], assumption+,
        rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+, simp,
        (simp add:aGroup.ag_mOp_closed)+,
        subst aGroup.ag_r_inv1, assumption+, simp,
        subst aGroup.ag_r_zero, assumption+,
        simp add:Ring.ring_tOp_closed aGroup.ag_mOp_closed, simp,
        rotate_tac -1, drule sym, simp) apply (
        thin_tac "Σ_e K g n ± x (Suc n) ⋅_r (- ->a Omega\^> vv n)<) j^<sup>^carrier K",
java.lang.NullPointerException
   apply (subst aGroup.ag_pOp_assoc[THEN sym], assumption+,
          rule Rinring_tOp_closed, assumption+, simp,
          rule aGroup.ag_, assumption+, simp add:Ring.ring_one,
           aGroup.ag_mOp_clos, assumption+, simp,
          rule aGroup.ag_mOp_closed apply (r (rule Ostrowski_bae_npow_no) apply si apply assumption+
          simp, rule equalityI, rule subsetI, simp, rule subsetI, simp)
  apply (rule aGroup.nsum_mem, assumption+,
         rule allI, rule impI, simp)
defer
  (eal uemI
  apply (cap addOstosi_ae alysmpio
         egrgtplsd smti i,
         rule aGroap (ia "0  j (\^ubplusminus-_a ((Ω _{j))")
         rule aGroupapp (cut_tac b = "vvr ± -🚫vv(\^>r <> K vv ( n\^>) j)\bsup>K N}
         rule Ring.simp
         rule.ag_pOp_closed+, simp:Ring,
         rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption, simp, simp) (* end defer *)

 apply aGroup, assumption+
        rule aGroup.nsum_mem, assumption+,
        rule allI, simp, rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+, simp,
        rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+, simp add:Ring.ring_one,
        rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption (frule_tac    in[ofn "vv,spo+
        roupgmp_od supo,p,
        subste 1 ru_c = frl_pc plasmin
        rule Ring.ring_tOp_closed, assumption, simp,apply fueta npc im)
        rule aGroup.ag_pOp_clos apply (rul (rule ales) aply bst
 apply (rueaGou.g_Op_lsd,asmto,sm,
        rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+, simp,
        subst aGroup.ag_pOp_assoc[THEN sym], assumption+,
        rule aGroup.nsum_mem, assumption+,
        rule allI, rule impI, simp,
        rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption, simp,
        rule Ring.ring_tOp_closed, assumption, simp,
         rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+, simp add:Ring.ring_one,
         rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption, simp)app (h_a" j (x janoteq - ∞
   (subgoal_tac "Σ_e K (λa. if a ≤ (Suc n) then x a ⋅_r(1🚫
         else undefined) n ±a (x )=
         Σz = " j (xja  add_le_mono
         -^>a (x ),simp
         rule aGroup     (_a (1 -_\<^bsubSuc) ja)^^" and z = "vv j (x ja)"
         rule aGroup.nsum_mem, assumption+,
         rule llI, rule impI si,
         rule aGroup.nsum_mem, assumption+,
         rule allI, rule impI, simp,
         rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption, simp,
         rule aGroup.nsum_eq, assumption+,
         rule allI, rule impI, simp, rule allI, rule impI)
   apply sim
   apply (rule allI, rule impI, simp)
done

lemma (in Corps) eSum_minus_x:"[∀ in
       ∀ n. (b j) ∈ ;
       ∀j∈
       gl=x l 🚫
       (nsum K (λj∈rule.ag_mOp_closed, rule.ring_one)
                        nsum K g n"
by (cut_tac eSum_tr[of "n" "x" "b" "l" "g"], simp)

lemma (in Ring) one_m_x_times:"x ∈ <sub>ja,
 (1java.lang.NullPointerException
apply (cut_tac ring_one, cut_tac ring_is_ag,
       app_lbnat 'b ==> 'b, nat] ==>
       frule aGroup.ag_pOp_closed[of "R" "1ax"ion

apply (induct_tac
 apply (simp add:ring_r_one ring_l_one)
 apply (simp del
        frule_tac n = "Suc n" in npClose[of "x"],
        subst ring_distrib1, assumption+)
 apply (rule aGroup.nsum_mem, assumptionle,e impI
        simp add:npClose(** Approximation lower bound **)
        simp del:npow_suc,
        thin_tac "(1r ± -a x) ⋅r Σ) app_"[vals_nonequiv K (Suc n) vv
 applysubst ring_distrib2assumption
        simp del:npow_suc add:ring_l_one,
        subst aGroup.pOp_assocTr43[of,assumption
        rule_tac x = "x^ (Suc n)>j∈h. h ≤ n)}. (x j) ⋅r (1 -r ±
        rule ring_tOp_closed, rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+)
 apply (subst aGroup.ag_l_inv1, assumption+, simp del:npow_suc
        add:aGroup.ag_r_zero,
        frule_tac x = "-a x" and y =apply (frule ApproximationTr3[ " vv"" j "]
        assumption+)
  (sim d:nsu add:app_l) apply ( allI)
        rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+,
        rule npClose, assumption+,
        subst ring_inv1_1[THEN sym, of x], assumption,
        rule npClose, assumption,
        simp,
        subst ring_tOp_commute[of x], assumption+, simp)
done

lemma (in Corps) x_pow_fSum_in_Vr:"[valuation K v; x ∈ carrier (Vr K v)] ==>
   (nsum K (npow K x) n) ∈ carrier (Vr K v)"
apply (frule Vr_ring[of v])
apply (induct_tac n)
 apply simp
 apply (frule Ring.ring_one[of "Vr K v"])
 apply (simp add:Vr_1_f_1)
apply (simp del:npow_suc)
 apply (frule Ring.ring_is_ag[of "Vr K v"])

 apply (subst Vr_pOp_f_pOp[THEN sym, of v], assumption+)
 apply (subst Vr_exp_f_exp[THEN sym, of v], assumption+)
 apply (rule Ring.npClose[of "Vr K v"], assumption+)
 apply (rule aGroup.ag_pOp_closed[of "Vr K v"], assumption+)
 apply (subst Vr_exp_f_exp[THEN sym, of v], assumption+)
 apply (rule Ring.npClose[of "Vr K v"], assumption+)
done

lemma (in Corps) val_1mx_pos:"[valuation j (Σe K (λj∈h h≤<sub <> -<sub(1r ±
         0 < (v (1 >  v x = 0"
apply (cut_tac field_is_ring, frule Ring.ring_one[of "K"],
       frule Ring.ring_is_ag[of "K"])
 apply (frule aGroup.ag_mOp_closed[of "K" "x"], assumption+)
 apply (frule aGroup.ag_pOp_closed[of "K" "1r" "-a   (🚫{h.  <le}.  x jcdotr ± -\^1🚫 ±  
 apply (frule aGroup.ag_mOp_closed[of "K" java.lang.NullPointerException
 apply (cut_tac x = x and y = "1java.lang.NullPointerException
        eq_elems_eq_val
apply ( aGroupag_p_inv+,
       subst, assumption,
       ruleGroup_osed,assumption
       subst aGroup.ag_inv_inv, assumption+,
       subst aGroup.ag_r_inv1, assumption+,
       subst aGroup.ag_l_zero, assumption+,
       (paddupg_inv_inv
       frule  value_less_eq[of v  "1r" "-\<       y)"and   le_less_trans, 
        assumption+)
 apply (simp add:val_minus_eq value_of_one,
        simp add:value_of_one)
done 

lemma (in Corps) val_1mx_pow:"[j≤ n).. (x ) \incarrie K]
        < (v (1> x))] ==> 0 < (v (1 ± -K (Suc n)</sub>
apply (cut_tac field_is_ring, frule Ring.ring_is_ag[of "K"])
apply (sRing.one[THEN sym, of K x n], a+)
 apply (frule Ring.ring_one[of "K"],
        frule x_pow_fSum_in_Vr[of v x n],
        subst val_pos_mem_Vr[THEN sym], assumption+,
        frule val_1mx_pos[of "v" "x"], assumption+,
        simp)

 apply (subst val_t2p, assumption+,
        rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+,
        simp add:aGroup.ag_mOp_closed, simp add:Vr_mem_f_mem,
        frule val_pos_mem_Vr[THEN sym, of v "-<^>a (\><^bsub>K vv (Suc n)) j)^ (Suc M))^ (Suc^>) (Suc n)) ±a (x j)))")
        simp add:Vr_mem_f_mem, simp)
 apply(frule aadd_le_mono[of "0" "v (nsum K (npow K x) n)" "v (1^> ± -java.lang.NullPointerException
       simp add:aadd_0_l, simpmmute
done

lemma (in Corps) ApproximationTr3:"[vals_nonequiv K (Suc n) vv;
      ∀l ≤ (Suc n). x l ∈ carrier K; j ≤ (Suc n)] Goup.sum_mo K" "uc n"] assumption
     ∃N. L < N ⟶an< (sub>e K (λk∈<> (Suc).java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 131 out of bounds for length 131
        ( ) <> (1 -_r ± -_\^bsub  (Suc n)<^sub> kk))^)) 
        (Suc n)) ± -_a (x j))))"
apply (cut_tac field_is_ring, frule Ring.ring_is_ag[of "K"])
 apply (frule_tac vals_nonequiv_valuation[of "Suc n" "vv" j], assumption+)
apply (subgoal_tac "∀N. Σ_apply(rule ApplicationTr4 n vv]assumption
 -java.lang.NullPointerException
 Σjava.lang.NullPointerException
 ((Ωjava.lang.NullPointerException
        -_a ((Ω :: "[_, nat, nat ==> ant) set] ==> bool"where
 apply (simp del"distinct_pds K ⟷j≤ n. P j ∈ Pds<^bsub>K\^sub> <and>
apply (thin_tac "∀N. Σ_l≤m≤ m ⟶ P  \noteq P m)"
 -_a (Ω _{vv (Suc n)}
prefer 2 apply (rule allI)
 apply (rule eSum_mi, assumption+)
 apply (rule allI, rule impI) apply (rule ApproximationTr0)
 apply (simp add:Ostrowski_base_mem) apply assumption
 apply (rule ballI, simp)
 apply simp
 apply (frule Ring.ring_one[of "K"])
 apply (cut_tac aa = "(Ω _vv (Suc n) K nP==>
                                               Ring K {xcarrier K ∧\forallj<le  ((ν<bsub ( j<^>)
 apply (simp add:Ostrowski_base_mem (simpstinct_pds_defpds_def
 apply (subst aGroup.ag_pOp_assoc, assumption+)
 apply (rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+)+
 apply (subst aGroup.ag_pOp_commute[of "K" _ java.lang.NullPointerException
 apply (rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+)+

 apply (subst aGroup.ag_pOp_assoc[THEN sym], assumption+)
 apply (rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+)+
 apply (simp add:aGroup.ag_r_inv1)
 apply (subst aGroup.ag_l_zero, assumption+) apply (simp add:aGroup.ag_mOp_closed)
 apply simp (* subgoal 2 done **)

oal_tac<>L. <foral>N.L < N \longrightarrow>
  (∀ja ≤

(*
 apply (subsubgoal_t "∃N. L < N ⟶an<le Amin (Suc n) (vv j ∘inNset (Suc n). if l≠_K +_K -^sub>K (1 \^>K -<sub (Omega<^bsub>K vv (Suc n)) l)^N)^ java.lang.NullPointerException
 else (x j) ⋅_x = y aGroup.ag_mOp_closedofK", assum+)
+_a y" in aGroup.ag_pOp_closed[of "K"], 
 apply (erule exE)
 apply (subgoal_tac "∀
  ((an m) ≤
(1_K +_{l_spec}, assumpton
java.lang.NullPointerException
apply blast
*)

apply (erule exE)
apply (rename_tac M)
 apply (subgoal_tac "∀) 🚫
   (an m) ≤ (vv j (Σfrule_tacx  = "\nu><^>K (P j)\^>) x"and ="\nuu₎ y" in amin_ge1[of ""])
   (x l) ⋅_r  (1_\<^bsub>K (P j)<^sub x) ((ν <sub>y)" and k = "(ν (x ±a y)" in ale_trans[of "0"], assumption+)
   else (x j) ⋅
   ± -a 1Ile impI,
 apply
 apply (rule allI, rule impI)
apply (drule_tac a = N in forall_spec, assumption)
 apply (rule value_ge_add[of "vv j" "Suc n" _ "an m"], assumption+)
 
apply (rule allI, rule impI)
 apply (frule Ring.ring_one[of "K"])
 apply (case_tac "janCorpsvaluation<>j
 apply (rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+, simp)
 apply (rule.ag_pOp_closed+)+
 apply (rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption P  "j in r)
 apply (rule Ring.npClose,pds_def)
 apply (rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+)
 apply (rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption)
 apply (rule Ring.npClose, assumption
 apply (simp add:Ostrowski_base_mem)
 apply (rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+)

apply simp
 apply (rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+, simp)
 apply (rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+)+
 apply (rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+)
  (rule ing.npCse, ssuumpon)
 apply (rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+)
 apply (rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption)
 apply(inCorpdistsic_p_vauin:"<brakkj ≤ n; distinct_pds K n P] ==> 
 apply (simp add:Ostrowski_base_mem) 

apply assumption

 apply (subgoal_tac "∀valuation \nu<^bsu>K Pj\^>"
 (applytac  0"
 apply (subgoal_tac "∀N. (1java.lang.NullPointerException
                         ±in {0::nat}",
 apply (simp add:val_t2p)
 apply (cut_tac multi_inequalityTr0[of "Suc""v <circ x" "m"])
 apply (subgoal_tac "∀ja ≤ (Suc n). (vv j ∘ x) jasimp
 apply (erule exE)
 apply (subgoal_tac "∀N. L < N ⟶ (∀ja ≤ (Suc n). (ja ≠ j ⟶
java.lang.NullPointerException
 ∧('b, 'm Ring, nat ==>Rightar> ant) set,
java.lang.NullPointerException
 apply blast
 apply (rule allI, rule impI)+

apply (case_tac "ja = j"O= Sr K {x. x ∈
 apply (thin_tac "∀^sub ± -a (<r ± -K vv (Suc n)K N</sub>K N -_<sub 
        carrier K")
 apply (thin_tac "<><leSuc carrier K")
 apply (drule_tac x = N in spec)
 apply (drule_tac a = j in forall_spec, assumption,
        n_tac_tac ∀a≤<>r ± -_r ± -_<>K vv (Suc n)j^N)^
         (simpd:ring_n_ddef mp add:ring_ndistictprimeiisors
apply (cut_tac N = N in ApproximationTr0 [of "(Ω
 apply (simp add:Ostrowski_base_mem)
 apply (frule Ring.ring_one[ K" frulearu._Op_leo "java.lang.NullPointerException
         assumption) apply (
        frule_tac x = "(1java.lang.NullPointerException
        aGroup.ag_mOp_closed[of "K"], assumption+)
 apply (simp only:aGroup.ag_pOp_assoc) 
 applyimp.ag_pOp_commute" _ "-<^suba 1_"
 apply (simp only:aGroup.ag_pOp_assoc[THEN <> carrier (O_{]  ==> P n y = x ± y"
 apply (simp add:aGroup.ag_r_inv1)
 apply (simp add:aGroup.ag_l_zero) apply (simp only:val_minus_eq)
  apply (thin_tac "(1inct_pds; <>ier<^subK P n}
        hin_taca (1 -_\<^bsubc n)<esub) j^^∈ carrier K")
 apply (subst val_exp_ring[THEN sym, of "vv j"], assumption+)
  apply (rule aGroup.ag_pOp_closed[of "K"], assumption+)
  apply (rule aGroup.ag_mOp_closed[of "K"], assumption)
  apply (rule Ring.npClose, assumption+) apply (simp add:Ostrowski_base_mem)
 apply (rule Ostrowski_base_npow_not_one) apply simp apply assumption+
 apply (drule_tac a = N in forall_spec, assumption)
 apply (drule_tac a = j in forall_spec, assumption)
 1o n" ""] umption
 apply (Groupion
 apply (simp add:Ostrowski_base_mem) apply assumption
 apply (thin_tac "vv j (x j) ≠j ≤ carrier (O_{] nsum (O f m nsm K f m"}
 apply (thin_tac "0 < vv j (1_r ±
 apply (cut_tac b = "vv j (1_r ±distinct_pds K n P; ideal (O <sub>I; 
        asprod_geapply
 apply (cut_tac x = "an N" and y = java.lang.NullPointerException
 apply (simp add:aadd_commute)

apply simp
apply (frule_tac aa = "(Ωjava.lang.NullPointerException
       ApproximationTr2[of "vv j"])
   apply (simp add:Ostrowski_base_mem)
   apply (rule Ostrowski_base_nonzero, assumption+) 
trowski_baseTr0
       erule conjE) 
 apply (rotate_tac -1, frule_tac inforall_specplyssumptionption
 apply (frule_tac x = j in bspec, simp)
 apply (rule aless_imp_le) apply t
 apply (rotate_tac -5, 
        rule_tacll_specec
 apply (rotate_tac -2, 
        drule_tac a = ja in forall_spec, assumption
        drule_tac a = ja inmp_def
 apply (frule_tac l = ja in Ostrowski_baseTr0[of  "n" "vv"], assumption+)
 apply (erule inorpse_in_ring_n_pd_one_K
        frule_tac a = j in forall_spec, assumption+)
  apply (thin_tac "vv j (x ja) ≠
 apply (cut_tac b = "vv j ((Ωjava.lang.NullPointerException
 applyplyp
 apply (frule_tac x = "an N" andN^> vv j ((Ω ja)" and
        z = "vv j (x ja)" in aadd_le_mono)
 apply (frule_tac x = "int N *a vv
     (1r ±distinct_pds K n P; x ∈K P n
      in aadd_le_mono)
 apply (frule_tac i = "an N + vv j (x ja)" and 
       j = java.lang.NullPointerException
       k v <>r\>-r ±a ((ΩK vv (Suc n)</sub>K N) +
          vv j (x ja)" in ale_trans, assumption+)
 apply (subst aadd_commute)
 apply (frule_tac x = "an m" and y = "vv j (x ja) + an N" in aless_imp_le)
 apply (rule_tac j = "vv j (x ja) + an N" in ale_trans[of "an m"],
                  mption
 apply (simp add:aadd_commute)
 apply (ruleapplyule_tacO<sub>"assumption+pto+
 apply (frule_tac a = ja in forall_spec, assumption)
 apply
 apply sm add:aug_)

apply (rule aa(sbt pimeiel_def)
  apply (rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+) apply blast
 ly uaru.pclsed,supinrl igrn_n,asmtin

apply ((rule allI)+, rule impI)
apply (rule_tac aa = "(Ω<^ ply)</sub>K P n
       simp add:Ostrowski_base_mem
done
 
definitionringadd
  app_lb :: "[_ , nat, nat ==> 'b ==> ant, nat ==>ate_ofp_autin
            (nat ==> nat)"   (‹
 "Ψant_0)
 (an m) ≤ (vv j (Σ
 (1_{ime_n_pd_def} ecconjE)
 (** Approximation lower bound **)

lemma (in Corps app_LBvals_nonequiv K (Suc n) vv;
      applypadd_ r_def
        ∀N. (Ψ<sub><^bsub>P jesub and x = a and y = "-a b" in 
  (apply_tactive_of_pd_valuation
  -java.lang.NullPointerException
apply (frule ApproximationTr3[of "n" "vv" "x" "j" "m"], 
                               assumption+)
apply (simp del:nsum_suc(e llI
applyamin_gt
apply (rule impI) apply blast
done

lemma (in ( plusminus -java.lang.NullPointerException
 ∀j∈{h. h ≤
 ∃l. ∀N. l < N (tacrnd=xnRingO\^K P n
  (vv j (Σe K (λj∈
  -a ((\addt_pds_def
apply (oal_tac<> <Psi\K (Suc n) vv x m</sub> ⟶ 
  (∀f(enjE
  (vv j (Σ_e K (λj∈K (P j)) r)")
java.lang.NullPointerException
apply blast
 apply (rule allI, rule impI)+
apply (frule_tac j = j in app_LB[of "n" "vv" "x" _ "m"],
       simp, assumption,
       subgoal_tac "(Ψ _{(Suc n) vv x m}) j < N", blast)
apply (frule_tac l = j and n = "Suc n" and f = "Ψ _{(Suc n) vv x m}" in m_max_gt,
       frule_tac x = "(Ψ _{(Suc n) vv x m}) j" and
       y = "m_max (Suc n) (Ψ _{(Suc n) vv x m})" and z = N in le_less_trans,
       assumption+)
done

theorem (in Corps) Approximation_thm:"[vals_nonequiv K (Suc n) vv; 
∀j≤ (Suc n). (x j) ∈ carrier K]  ==>
∃y∈carrier K. ∀j≤ (Suc n). (an m) ≤ (vv j (y ± -_a (x j)))"
apply (cut_tac field_is_ring, frule Ring.ring_is_ag[of "K"])
apply (subgoal_tac "∃l. (∀N. l < N ⟶ (∀j ≤ (Suc n). (an m) ≤ ((vv j) ((nsum K (λj∈{h. h ≤ (Suc n)}. (x j) ⋅_r (1_r ± -_a (1_r ± -_a ((Ω _vv (Suc n)) j)^ N)^ N)) (Suc n)) ± -_a (x j)))))")
 apply (erule exE)
 apply (rename_tac M)
 apply (subgoal_tac "∀j≤ (Suc n). (an m) ≤
 (vv j ( (Σ_e K (λj∈{h. h ≤ (Suc n)}. (x j) ⋅_r (1_r ± -_a (1_r ± 
  -_a ((Ω _vv (Suc n)) j)^ (Suc M))^ (Suc M))) (Suc n)) ± -_a (x j)))")
 apply (subgoal_tac "Σ_e K (λj∈{h. h ≤ (Suc n)}. (x j) ⋅_r (1_r ± 
 -_a (1_r ± -_a ((Ω _vv (Suc n)) j)^ (Suc M))^ (Suc M))) (Suc n) ∈ carrier K")
 apply blast
 apply (rule aGroup.nsum_mem[of "K" "Suc n"], assumption+)
 apply (rule allI, rule impI, simp del:nsum_suc npow_suc)
 apply (rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+, simp,
        rule ApproximationTr1, simp add:Ostrowski_base_mem)

 apply (subgoal_tac "M < Suc M") apply blast
 apply simp
 apply (rule ApplicationTr4[of n vv x], assumption+)
 apply simp
done

definition
  distinct_pds :: "[_, nat, nat ==> ('b ==> ant) set] ==> bool" where
  "distinct_pds K n P ⟷ (∀j≤ n. P j ∈ Pds_K) ∧ 
          (∀l≤ n. ∀m≤ n. l ≠ m ⟶ P l ≠ P m)"

 (** pds --- prime divisors **)
lemma (in Corps) distinct_pds_restriction:"[distinct_pds K (Suc n) P] ==> 
       distinct_pds K n P"
apply (simp add:distinct_pds_def)
done

lemma (in Corps) ring_n_distinct_prime_divisors:"distinct_pds K n P ==>
       Ring (Sr K {x. x∈carrier K ∧ (∀j≤ n. 0 ≤ ((ν_K (P j)) x))})"
apply (simp add:distinct_pds_def) apply (erule conjE)
apply (cut_tac field_is_ring)
apply (rule Ring.Sr_ring, assumption+)
apply (subst sr_def)
 apply (rule conjI)
 apply (rule subsetI) apply simp
 apply (rule conjI)
 apply (simp add:Ring.ring_one)
apply (rule allI, rule impI)
 apply (cut_tac P = "P j" in representative_of_pd_valuation, simp,
        simp add:value_of_one)
apply (rule ballI)+
 apply simp
 apply (frule Ring.ring_is_ag[of "K"]) apply (erule conjE)+
 apply (frule_tac x = y in aGroup.ag_mOp_closed[of "K"], assumption+)
 apply (frule_tac x = x and y = "-_a y" in aGroup.ag_pOp_closed[of "K"],
        assumption+)
 apply simp
 apply (rule conjI)
 apply (rule allI, rule impI)
 apply (rotate_tac -4, frule_tac a = j in forall_spec, assumption,
        rotate_tac -3,
        drule_tac a = j in forall_spec, assumption)
 apply (cut_tac P = "P j" in representative_of_pd_valuation, simp)
 apply (frule_tac v = "ν _(P j)" and x = x and y = "-_a y" in amin_le_plus,
        assumption+)
 apply (simp add:val_minus_eq)
 apply (frule_tac x = "(ν _(P j)) x" and y = "(ν _(P j)) y" in amin_ge1[of "0"])
        apply simp
 apply (rule_tac j = "amin ((ν _(P j)) x) ((ν _(P j)) y)" and k = "(ν _(P j)) (x ± -_a y)" in ale_trans[of "0"], assumption+)
 apply (simp add:Ring.ring_tOp_closed)
 
apply (rule allI, rule impI,
       cut_tac P = "P j" in representative_of_pd_valuation, simp,
       subst val_t2p [where v="ν _P j
       rule aadd_two_pos, simp+)
done

lemmainct_pds_valuationj ≤
       distinct_pds K (Suc n) P]
 apply (rule_tac P = "P j" in representative_of_pd_valuation) 
 apply (simp add:distinct_pds_def)
done

lemma (in Corps) distinct_pds_valuation1:"[0 < n; j ≤ n; distinct_pds K n P]
 ==> valuation K (ν _{(P j)})"
apply (rule distinct_pds_valuation[of "j" "n - Suc 0" "P"]) 
apply simp+
done

lemma (in Corps) distinct_pds_valuation2:"[j ≤ n; distinct_pds K n P] ==>
          valuation K (ν _{(P j)})"
apply (case_tac "n = 0",
       simp add:distinct_pds_def,
       subgoal_tac "0 ∈ {0::nat}",
       simp add:representative_of_pd_valuation[of "P 0"],
       simp)
 
 apply (simp add:distinct_pds_valuation1[of "n"])
done

definition
  ring_n_pd :: "[('b, 'm) Ring_scheme, nat ==> ('b ==> ant) set,
                             nat ] ==> ('b, 'm) Ring_scheme"
                 (‹(3O _{_ _})› [98,98,99]98) where
  "O _{P n} = Sr K {x. x ∈ carrier K ∧
           (∀j ≤ n. 0 ≤ ((ν _{(P j)}) x))}" 
  (** ring defined by n prime divisors **)

lemma (in Corps) ring_n_pd:"distinct_pds K n P ==> Ring (O _{P n})"
by (simp add:ring_n_pd_def, simp add:ring_n_distinct_prime_divisors)

lemma (in Corps) ring_n_pd_Suc:"distinct_pds K (Suc n) P ==>
          carrier (O_{K P (Suc n)}) ⊆ carrier (O _{P n})"
apply (rule subsetI)
 apply (simp add:ring_n_pd_def Sr_def)
done

lemma (in Corps) ring_n_pd_pOp_K_pOp:"[distinct_pds K n P; x∈carrier (O _{P n});
 y ∈ carrier (O _{P n})] ==> x ±_{O P n)} y = x ± y" 
apply (simp add:ring_n_pd_def Sr_def)
done

lemma (in Corps) ring_n_pd_tOp_K_tOp:"[distinct_pds K n P; x ∈carrier (O _{P n});
      y ∈ carrier (O _{P n})] ==> x ⋅_{rO P n)} y = x ⋅_r y" 
apply (simp add:ring_n_pd_def Sr_def)
done

lemma (in Corps) ring_n_eSum_K_eSumTr:"distinct_pds K n P ==>
  (∀j≤m. f j ∈ carrier (O _{P n})) ⟶ nsum (O _{P n}) f m = nsum K f m"
apply (induct_tac m)
 apply (rule impI, simp)

 apply (rule impI, simp,
        subst ring_n_pd_pOp_K_pOp, assumption+,
        frule_tac n = n in ring_n_pd[of _ "P"],
        frule_tac Ring.ring_is_ag, drule sym, simp)
 apply (rule aGroup.nsum_mem, assumption+, simp+)
done

lemma (in Corps) ring_n_eSum_K_eSum:"[distinct_pds K n P;
      ∀j ≤ m. f j ∈ carrier (O _{P n})] ==> nsum (O _{P n}) f m = nsum K f m"
apply (simp add:ring_n_eSum_K_eSumTr)
done

lemma (in Corps) ideal_eSum_closed:"[distinct_pds K n P; ideal (O _{P n}) I;
      ∀j ≤ m. f j ∈ I] ==> nsum K f m ∈ I"
apply (frule ring_n_pd[of "n" "P"]) thm Ring.ideal_nsum_closed
 apply (frule_tac n = m in 
       Ring.ideal_nsum_closed[of "(O _{P n})" "I" _ "f"], assumption+)
 apply (subst ring_n_eSum_K_eSum [THEN sym, of n P m f], assumption+,
        rule allI, simp add:Ring.ideal_subset)
 apply assumption
done

definition
  prime_n_pd :: "[_, nat ==> ('b ==> ant) set,
                             nat, nat] ==> 'b set"
                 (‹(4P _{_ _} _)› [98,98,98,99]98) where
  "P _{P n} j = {x. x ∈ (carrier (O _{P n})) ∧ 0 < ((ν _{(P j)}) x)}"

lemma (in Corps) zero_in_ring_n_pd_zero_K:"distinct_pds K n P ==>
                               0_{O P n)} = 0"
apply (simp add:ring_n_pd_def Sr_def)
done

lemma (in Corps) one_in_ring_n_pd_one_K:"distinct_pds K n P ==>
                                      1_{rO P n)} = 1_r"
apply (simp add:ring_n_pd_def Sr_def)
done

lemma (in Corps) mem_ring_n_pd_mem_K:"[distinct_pds K n P; x ∈carrier (O _{P n})]
 ==> x ∈ carrier K" 
apply (simp add:ring_n_pd_def Sr_def)
done

lemma (in Corps) ring_n_tOp_K_tOp:"[distinct_pds K n P; x ∈ carrier (O _{P n});
      y ∈ carrier (O _{P n})] ==> x ⋅_{rO P n)} y = x ⋅_r y"
apply (simp add:ring_n_pd_def Sr_def)
done

lemma (in Corps) ring_n_exp_K_exp:"[distinct_pds K n P; x ∈ carrier (O _{P n})]
        ==> x^ m = x^O _{P n}) m" 
apply (frule ring_n_pd[of "n" "P"])
apply (induct_tac m) apply simp
 apply (simp add:one_in_ring_n_pd_one_K)

apply simp
 apply (frule_tac n = na in Ring.npClose[of "O _{P n}" "x"], assumption+)
 apply (simp add:ring_n_tOp_K_tOp)
done   

lemma (in Corps) prime_n_pd_prime:"[distinct_pds K n P; j ≤ n] ==>
              prime_ideal (O _{P n}) (P _{P n} j)"
apply (subst prime_ideal_def)
 apply (rule conjI)
 apply (simp add:ideal_def)
 apply (rule conjI)
 apply (rule aGroup.asubg_test)
 apply (frule ring_n_pd[of "n" "P"], simp add:Ring.ring_is_ag)
 apply (rule subsetI, simp add:prime_n_pd_def)
 apply (subgoal_tac "0_{O P n)} ∈ P _{P n} j")
 apply blast
 
 apply (simp add:zero_in_ring_n_pd_zero_K)
 apply (simp add:prime_n_pd_def)
 apply (simp add: ring_n_pd_def Sr_def) 
 apply (cut_tac field_is_ring, simp add:Ring.ring_zero)
 apply (rule conjI) apply (rule allI, rule impI)
 apply (cut_tac P = "P ja" in representative_of_pd_valuation,
        simp add:distinct_pds_def, simp add:value_of_zero)
 apply (cut_tac P = "P j" in representative_of_pd_valuation,
        simp add:distinct_pds_def, simp add:value_of_zero)
 apply (simp add:ant_0[THEN sym]) 

 apply (rule ballI)+  
 apply (simp add:prime_n_pd_def) apply (erule conjE)+ 
 apply (frule ring_n_pd [of "n" "P"], frule Ring.ring_is_ag[of "O _{P n}"])
 apply (frule_tac x = b in aGroup.ag_mOp_closed[of "O _{P n}"], assumption+)
 apply (simp add:aGroup.ag_pOp_closed)
  apply (thin_tac "Ring (O _{P n})") apply (thin_tac "aGroup (O _{P n})")
 apply (simp add:ring_n_pd_def Sr_def)
 apply (erule conjE)+
 apply (cut_tac v = "ν _{(P j)}" and x = a and y = "-_a b" in 
        amin_le_plus) 
 apply (rule_tac P = "P j" in representative_of_pd_valuation, 
        simp add:distinct_pds_def)
 apply assumption+
 apply (cut_tac P = "P j" in representative_of_pd_valuation) 
 apply (simp add:distinct_pds_def)
 apply (frule_tac x = "(ν _{(P j)}) a" and y = "(ν _{(P j)}) (-_a b)" in 
         amin_gt[of "0"])
 apply (simp add:val_minus_eq)

apply (frule_tac y = "amin ((ν _{(P j)}) a) ((ν _{(P j)}) (-_a b))" and
 z = "(ν _{(P j)}) ( a ± -_a b)" in aless_le_trans[of "0"], assumption+)

apply (rule ballI)+
 apply (frule ring_n_pd [of "n" "P"])
 apply (frule_tac x = r and y = x in Ring.ring_tOp_closed[of "O _{P n}"], 
        assumption+)
 apply (simp add:prime_n_pd_def)
 apply (cut_tac P = "P j" in representative_of_pd_valuation,
        simp add:distinct_pds_def)
 apply (thin_tac "Ring (O _{P n})") 
 apply (simp add:prime_n_pd_def ring_n_pd_def Sr_def, (erule conjE)+,
        simp add:val_t2p)
 apply (subgoal_tac "0 ≤ ((ν _{(P j)}) r)")
 apply (simp add:aadd_pos_poss, simp) 

 apply (rule conjI,
        rule contrapos_pp, simp+,
        simp add:prime_n_pd_def,
        (erule conjE)+, simp add: one_in_ring_n_pd_one_K,
        simp add:distinct_pds_def, (erule conjE)+,
        cut_tac representative_of_pd_valuation[of "P j"],
        simp add:value_of_one, simp) 

apply ((rule ballI)+, rule impI)
 apply (rule contrapos_pp, simp+, erule conjE,
        simp add:prime_n_pd_def, (erule conjE)+,
        simp add:ring_n_pd_def Sr_def, (erule conjE)+, 
        simp add:aneg_less,
        frule_tac x = "(ν _{(P j)}) x" in ale_antisym[of _ "0"], simp,
        frule_tac x = "(ν _{(P j)}) y" in ale_antisym[of _ "0"], simp)

 apply (simp add:distinct_pds_def, (erule conjE)+,
        cut_tac representative_of_pd_valuation[of "P j"],
        simp add:val_t2p aadd_0_l,
        simp)
done 

lemma (in Corps) n_eq_val_eq_idealTr:
"[distinct_pds K n P; x ∈ carrier (O _{P n}); y ∈ carrier (O _{P n});
\<forall>j ≤ n. ((ν _{(P j)}) x) ≤ ((ν _{(P j)}) y)] ==> Rxa (O _{P n}) y ⊆ Rxa (O _{P n}) x"
apply (subgoal_tac "∀j ≤ n. valuation K (ν _{(P j)})")
 apply (case_tac "x = 0_{O P n)}",
        simp add:zero_in_ring_n_pd_zero_K)
 apply (simp add:value_of_zero)
 apply (subgoal_tac "y = 0", simp,
        drule_tac a = n in forall_spec, simp,
        drule_tac a=n in forall_spec, simp)
 apply (cut_tac inf_ge_any[of "(ν _{(P n)}) y"],
        frule ale_antisym[of "(\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>) y" "\<infinity>"], assumption+)
 apply (rule value_inf_zero, assumption+)
 apply (simp add:mem_ring_n_pd_mem_K, assumption)
       
apply (frule ring_n_pd[of n P])
 apply (subgoal_tac "\<forall>j\<le>n. 0 \<le> ((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (y \<cdot>\<^sub>r (x\<^bsup>\<hyphen>K\<^esup>)))")
 apply (subgoal_tac "(y \<cdot>\<^sub>r (x\<^bsup>\<hyphen>K\<^esup>)) \<in> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>)")
 apply (cut_tac field_frac_mul[of "y" "x"],
        frule Ring.rxa_in_Rxa[of "O\<^bsub>K P n\<^esub>" "x" "y \<cdot>\<^sub>r (x\<^bsup>\<hyphen>K\<^esup>)"], assumption+, 
        simp add:ring_n_pd_tOp_K_tOp[THEN sym],
        frule Ring.principal_ideal[of "O\<^bsub>K P n\<^esub>" "x"], assumption+) 
 
 apply (cut_tac Ring.ideal_cont_Rxa[of "O\<^bsub>K P n\<^esub>" "(O\<^bsub>K P n\<^esub>) \<diamondsuit>\<^sub>p x" "y"],
        assumption+,
        simp add:mem_ring_n_pd_mem_K,
        simp add:mem_ring_n_pd_mem_K,
        simp add:zero_in_ring_n_pd_zero_K) 
 apply (frule Ring.rxa_in_Rxa[of "O\<^bsub>K P n\<^esub>" "x" "y \<cdot>\<^sub>r (x\<^bsup>\<hyphen>K\<^esup>)"], assumption+,
        simp add:ring_n_pd_def Sr_def,
        (erule conjE)+,
        cut_tac field_is_ring, rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+,
        cut_tac invf_closed1[of x], simp, simp,
        simp add:ring_n_pd_def Sr_def)
 apply (cut_tac Ring.ring_tOp_closed, assumption+,
        cut_tac field_is_ring, assumption+, simp+,
        cut_tac invf_closed1[of x], simp, simp)

 apply (rule allI, rule impI, drule_tac a = j in forall_spec, assumption+,
        cut_tac invf_closed1[of x], simp, erule conjE)
 apply (subst val_t2p [where v="\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>"], simp,
        rule mem_ring_n_pd_mem_K[of "n" "P" "y"], assumption+,
        frule_tac x = j in spec, simp,
        simp add:zero_in_ring_n_pd_zero_K)
 apply (subst value_of_inv [where v="\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>"], simp,
        simp add: applysimp
 apply (frule_tac x = "(\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) x" and y = "(\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) y" in ale_diff_pos,
        simp add:diff_ant_def,
        simp add:mem_ring_n_pd_mem_K[of "n" "P" "x"] zero_in_ring_n_pd_zero_K)

apply (rule allI, rule impI,
       simp add:distinct_pds_def, (erule conjE)+,
       rule_tac P = "P j" in representative_of_pd_valuation, simp)
done
 
lemma (in Corps) n_eq_val_eq_ideal:"\<lbrakk>distinct_pds K n P; x \<in> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>);
      y \<in> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); \<forall>j \<le> n.((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) x) = ((java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 111 out of bounds for length 111
                 Rxa (O\<^bsub>K P n\<^esub>) x = Rxa (O\<^bsub>K P n\<^esub>) y"
apply (rule equalityI)
 apply (subgoal_tac "\<forall>j\<le> n. (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) y \<le> ((\<nu>\<^bsub>K (P
 apply (rule n_eq_val_eq_idealTr, assumption+)
 apply (rule allI, rule impI, simp)

 apply (subgoal_tac "\<forall>j\<le> n. (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) x \<le> ((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) y)")
 apply (rule n_eq_val_eq_idealTr, assumption+)
 apply  
 apply simp
done  
 
definition
  mI_gen :: "[_ , nat \<Rightarrow> ('r \<Rightarrow> ant) set, nat, 'r set] \<Rightarrow> 'r" where
  "mI_gen K P n I = (SOME x. x \<in> I \<and> 
                             (\<forall>j \<le> n. (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) x = LI K (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) I))"

definition
  mL :: "[_, nat \<Rightarrow> ('r \<Rightarrow> ant) set, 'r set, nat] \<Rightarrow> int" where
  "mL K P I j = \               \<forallj<>( )   \<in carrier   \<ero})<>Longrightarrow 

lemma (in Corps) mI_vals_nonempty:"\<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; j\<le>n\<rbrakk>
    \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) ` I \<noteq> {}"
apply( ring_n_pdof"""")
apply (frule Ring.ideal_zero [of "O\<^bsub>K P n\<^esub>" "I"], assumption+)

apply (simp add:image_def)
apply blast
done

lemma (in Corps) mI_vals_LB:"\<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; j \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow>
       ((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<one
apply (rule subsetI)
apply (java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
 apply (frule ring_n_pd[of "n" "P"])
 apply (frule_tac h = xa in Ring.ideal_subset[of "O\<^bsub>K P n\<^esub>" "I"], assumption+)
 apply (thin_tac "ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I")
 apply (thin_tac "Ring (O\<^bsub>K P n\<^esub>)")
 apply (simp add: ring_n_pd_def Sr_def) apply (erule conjE)+ 
 apply (drule_tac a = j in forall_spec, simp)
 
apply (simp add:LBset_def ant_0)
done

lemma (in Corps) mL_hom:"\<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; 
      I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>(O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> 
      \<forall>j \<le> n. mL K P I j \<in> Zset" 
apply (rule allI, rule impI)
 apply (simp add:mL_def LI_def)
 apply (simp add:Zset_def)
done

lemma (in Corps) ex_Zleast_in_mI:"\<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; j \<le> n\<rbrakk>
      \<Longrightarrow> \<exists>x\<in>I. (\<nu>\<^bsub>K       erule conjE  addmprod_Suc
apply (frule_tac j = j in mI_vals_nonempty[of "n" "P" "I"], assumption+)
 apply (frule_tac j = j in mI_vals_LB[of "n" "P" "I"], assumption+)
 apply (frule_tac A = "(\<nu>\<^ apply rule Ringring_tOp_closed[of K] assumption+,
 apply (simp add:LI_def)
 apply (thin_tac "(\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) ` I \<subseteq> LBset (ant 0)")
 apply (simp add:image_def, erule bexE)
 apply (drule sym)
 apply blast
done 

lemma (in Corps) val_LI_pos:"\<lbrakk>distinct_pds K n 
       I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>(O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<^esub>}; j \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> 0 \<le> LI K (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) I"
apply (frule_tac j = j in mI_vals_nonempty[of n P I], assumption+)
 apply (frule_tac j = j in mI_vals_LB[of n P I], assumption+)
j\^>  "and z  inAMin_mem, +)
 apply (simp add:LI_def)
apply (frule subsetD[of "(\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) ` I" "LBset (ant 0)" "AMin ((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) ` I)"], assumption+)
apply (simp add:LBset_def ant_0)
done

lemma (in Corps) val_LI_noninf:"\<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; 
       I \<noteq> {\<lemma (in Corps Kbase_Kroneckerdistinct_pdsK  P\<Longrightarrow 
apply j [ "n" "P" "I"], assumption+)
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 67 out of bounds for length 67
 apply (frule_tac A = "(\<nu>\<^bsub>K (P jjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
 apply (thin_tac "(\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) ` I \<subseteq> LBset (ant 0)", 
        thin_tac "(\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub> ) ` I \<noteq> {}")
 apply (frule ring_n_pd[of "n" "P"])
 apply (frule Ring.ideal_zero[of "O\<^ apply subgoal_tac (<u><bsubK ( j<>)(Kb<bsub>K n P\<^esub>) j=<delta<bsubjj\^
 apply (erule conjE, simp add:LI_def)
 apply (frule singleton_sub[of "\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>" "I"])
 apply (frule sets_not_eq[of "I" "{\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}"],
        assumption+, erule bexE)
 apply (simp add:zero_in_ring_n_pd_zero_K)
 apply (subgoal_tac "\<exists>x\<in>I. AMin ((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) ` I) = (\ apply(imp :value_of_zero  onlyant_1THENsym,
        erule bexE) apply simp
 apply (drule_tac x = a in bspec, assumption)
 apply (thin_tac "AMin ((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) ` I) = (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) x")

 apply (frule_tac h = a in Ring.ideal_subset[of "O\<^bsub>K P n\<^esub>" "I"], assumption+)
 apply (frule_tac x = a in mem_ring_n_pd_mem_K[of n P], assumption+)
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
 apply (cut_tac representative_of_pd_valuation[of "P j"])
 defer apply simp apply blast
 apply (frule_tac x = a in val_nonzero_z[of "\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>"], assumption+,
        erule exE, simp)
 apply (thin_tac "\<forall>l \<le> n. \<forall>m \<le> n. l \<noteq> m \<longrightarrow> P l \<noteq> P m",
        thin_tac "(\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) a = ant z")

 apply (rule contrapos_pp, simp+)
 apply (cut_tac x = "ant z" in inf_ge_any) 
 apply (frule_tac x = "ant z" in ale_antisym[of _ "\<infinity>"], assumption+)
 applysimp 
done 

lemma (in Corpslemma( Corps) :\lbrakkdistinct_pds KnP ideal(\^> P n\^> ;j \<>n<rbrakk>
 <>(Zl_mIK P I j \<in>)\and (<nu\^>K ( )<esub)( KP  j)=LIK (<><bsub>K Pj<esub>) I
apply (simp add:mL_def)
apply (apply( "<xists>.( <>I <and (<>^> P j<^> x=  K(nu><bsub> (P j)\<^sub) )"
       erule bexE, frule sym, thin_tac "(\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) x = LI K (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) I")
apply (subgoal_tac "LI K (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 48 out of bounds for length 36
apply (thin_tac "LI K (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) I = (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) x")

 apply (frule ring_n_pd[of "n" "P"])
 apply (frule_tac h = x in Ring.ideal_subset[of "O\<^bsub>K P n\<^esub>" "I"], assumption+)
 apply (thin_tac "ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I")
 apply (thin_tac "Ring (O\<^bsub>K P n\<^esub>)")
 apply (simp add: ring_n_pd_def Sr_def) apply (erule conjE)
 apply (drule_tac a = j in forall_spec, assumption)
 apply (simp add:apos_tna_pos)
apply (apply subgoal_tac"\^> P\^>=VrK(nu>^> P)^>)
done 

lemma (in Corps) Zleast_mL_I:" apply ( add:g_defZl_mI_def)
   I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>(O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<^esub>}; x \<in> I\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (mL K P I j) \<le> ((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) x)"
apply (frule val_LI_pos[of "n" "P" "I" "j"], assumption+)
apply frule[ LIK(<>^> Pj)^>I]java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 71 out of bounds for length 71
apply (frule val_LI_noninf[of "n" "P" "I" "j"], assumption+)
apply (simp add:mL_def LI_def)
apply (simp add:ant_tna)
apply (frule Zleast_in_mI_pos[of "n" "P" "I" "j"], assumption+)

apply (frule mI_vals_nonempty[of "n" "P" "I" "j"], assumption+)
apply (frule mI_vals_LB[of "n" "P" "I" "j"], assumption+)
apply (frule AMin[of "(\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) `I" "0"], assumption+)
 apply (erule conjE)
apply( Zleast_in_mI_posof "n P I "",+
 apply (simp add:mL_def LI_def)
done 

lemma (in Corps) Zleast_LI:"\<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; j \<le> n;
   I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>(O  ( :em_ring_n_pd_mem_K)applyjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 54 out of bounds for length 54
apply (frule mI_vals_nonempty[of "n" "P" "I" "j"], assumption+)
apply (frule mI_vals_LB[of "n" "P" "I" "j"], assumption+)
apply (frule AMin[of "(\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) `I" "0"], assumption+)
 apply (erule conjE)
apply (simp add:LI_def)
done

lemma (in Corps) mpdiv_vals_nonequiv:"distinct_pds K n P \<Longrightarrow> 
             vals_nonequiv K n (\<lambda>j. \<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) "  
applyfrulevalue_Zl_mI n""P ""l" +
 apply (rule conjI)
 apply (simp add:valuations_def)
allI  impI)
 apply (rule representative_of_pd_valuation, 
        simp add:distinct_pds_def) 
apply  ((rule allI, rule impI)+, rule impI)
 apply (simp add:distinct_pds_def, erule conjE)
 apply (rotate_tac 4) apply (
        drule_tac a = j in forall_spec, assumption)
 apply (rotate_tac
drule_taca=lin forall_specassumption, simp)
 apply (simp add:distinct_p_divisors)
done   mprod_expR_memTr"<orallj<len.  j \in>carrier )  <ongrightarrow>  

definition
  KbaseP :: "[_, nat \<Rightarrow> ('r \<Rightarrow> ant) set, nat] \<Rightarrow> 
                                          (nat \<Rightarrow> 'r) \<Rightarrow> bool"  where
  "KbaseP K P n f \<longleftrightarrow> (\<forall>j \<le> n. f j \<in> carrier K) \<and> 
     (\<forall>j \<le> n. \<forall>l \<le> n. (\<nu  (cut_tac.npCloseof K f ""0

definition
  Kbase :: "[_, nat, nat \<Rightarrow> ('r \<Rightarrow> ant) set] 
               \<Rightarrow> (nat \<Rightarrow> 'r)" (\<open>(3Kb\<^bsub>_ _ _\<^esub>)\<close> [95,95,96]95) where
  "Kb\<^bsub>K n P \<^esub> = (SOME f. KbaseP K P n f)"

lemma (in Corps) KbaseTr:"distinct_pds K n P \<Longrightarrow>  \<exists>f. KbaseP K P n f"
apply (simp add: KbaseP_def)
 apply (frule mpdiv_vals_nonequiv[of "n" "P"])
 apply (case_tac "n = 0")
  apply (simp add:vals_nonequiv_def valuations_def)
  apply (simp add:distinct_pds_def) 
  apply (frule n_val_n_val1[of "P 0"])
  apply (frule n_val_surj[of "\<nu>\<^bsub>K (P 0)\<^esub>"])
  apply (erule bexE)
  apply (subgoal_tac "pply (ubgoal_tac" <> j  <> n <> "simp)
         (\<nu>\<^bsub>K (P 0)\<^esub>) ((\<lambda>j\<in>{0::nat}. x) (0::nat)) = (\<delta>\<^bsub>0 0\<^esub>)") 
   java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 13 out of bounds for length 13
  apply (rule conjI)
 apply simp apply (simp add:Kronecker_delta_def)
 apply (cut_tac Approximation1_5[of "n - Suc 0" "\<lambda>j. \<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>"])
 apply simp 
 apply simp+
 apply (rule allI, rule impI)
 apply lemma(in Corps mprod_memTr:"
 apply (simp add:distinct_pds_def)
done

lemma (in Corps) KbaseTr1:"distinct_pds K n P \<Longrightarrow>  KbaseP K P n (Kb\<^bsub>K n P \<^esub>)"
apply (subst Kbase_def)
apply (frule KbaseTr[of n P])
apply (erule exE)
apply (simp add:someI)
done 

lemma (in Corps) Kbase_hom:"distinct_pds K n P \<Longrightarrow> 
                       \<forall>j \<le> n. (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) j \<in> 
apply (frule KbaseTr1[of "n" "P"])
apply (simp add:KbaseP_def)
done

lemma (in Corps) Kbase_Kronecker:"distinct_pds K n P \<Longrightarrow> 
      \<forall>j \<le> n. \<forall>l java.lang.NullPointerException
apply (frule KbaseTr1[of n P])
apply simpadd:)
done   

lemma (in Corps) Kbase_nonzero:"distinct_pds K n P \<Longrightarrow> 
\forallj <>. Kb^> Pesub)j \>\zero>java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 89 out of bounds for length 89
apply (rule allI, rule impI)
 apply (frule Kbase_Kronecker[of n P])
 apply (subgoal_tac "(\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) ((Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) j) = \<delta>\<^bsub>j j\<^esub>")
 apply (thin_tac "\<forall>j\<le>n. (\<forall>l\<le>n. ((\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) ((Kb\<^bsub>K n P\<applyruleallI  impI  addnpowf_mem
ronecker_delta_def
 apply (rule contrapos_pp, simp+)
 apply (cut_tac P = "P j" in representative_of_pd_valuation)  
 apply (simp add:distinct_pds_def)
 apply (simp only:value_of_zero, simp only:ant_1[THEN sym],
        frule sym, thin_tac " \<infinity> = ant 1", simp del:ant_1)
apply simp
done

lemma (in Corps) Kbase_hom1:"distinct_pds K n P \<Longrightarrow> 
                    \<forall>j \<le> n. (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) j \<in> carrier K - {\<zero>}"
by(simp add:Kbase_nonzero Kbase_hom)

definition
  Zl_mI :: "[_, nat \<Rightarrow> ('b \pply (frule ring_n_pd[of nP])
                         \<Rightarrow> nat \<Rightarrow> 'b" where
  "Zl_mI K P I j = (SOME x. (x \<in> I \< apply( impI, eruleconjE),

lemma (in Corps) value_Zl_mI:"\<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; j \<le> n\<rbrakk>
 \<Longrightarrow>  (java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
apply (subgoal_tac "\<exists>x. (x \<in> I \<and> ((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) x = LI K (\<nu>\<^bsub         allI ruleimpI
apply (subst Zl_mI_def)+
apply (rule someI2_ex, assumption+) 
apply (frule ex_Zleast_in_mI[of "n" "P" "I" "j"], assumption+)
ulebexE blast 
done

lemma (in Corps) Zl_mI_nonzero:"\<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; 
      I \<noteq> {\apply substring_n_tOp_K_tOp,assumption,
apply (case_tac "n = 0")
apply (simp add:distinct_pds_def) 
 apply ruleRingmprod_expR_mem,simp:,
 apply (subgoal_tac         ,
 apply (subgoal_tac "Zl_mI K P I 0 = Ig K (\<nu>\<^bsub>K         simpjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 13 out of bounds for length 13
 apply simp apply (simp add:Ig_nonzero)
 apply (simp add:Ig_def Zl_mI_def)
 apply (simp add:ring_n_pd_def Vr_def)

 apply (simp)
 ( value_Zl_mI[of n PIj] assumption)
 apply (erule conjE)
 apply (rule contrapos_pp\Longrightarrowmprod_expK  = O<bsub  n\^>)( oe f"
 apply (frule distinct_pds_valuation1[of n j P], assumption+)
 apply (simp add:value_of_zero)
 apply (simp add:zero_in_ring_n_pd_zero_K)
 apply (frule singleton_sub[of "\<zero>" "I"], 
         sets_not_eqofI" "<>},,
        erule bexE, simp)
 apply (frule_tac x = a in Zleast_mL_I[of "n" "P" "I" "j"], assumption+)
 apply (frule_tac x = a in val_nonzero_z[of "\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>"])
 apply (frule ring_n_pd[of "n" "P"])
 apply (frule_tac h = a in Ring.ideal_subset[of "O\<^bsub>K P n\<^esub>" "I"], assumption+)
 apply (simp add:mem_ring_n_pd_mem_K) apply assumption

apply (simp add:zero_in_ring_n_pd_zero_K) apply assumption
apply ( ruleallI rule,)
 apply (simp add:zero_in_ring_n_pd_zero_K) apply assumption
 apply simp
done
 
  simp :, :field_potent_nonzero1
       \<Longrightarrow> (Zl_mI K P I l) \<in> carrier K"
apply (frule value_Zl_mI[of "n" "P" "I" "l"], assumption+)
apply (erule conjE) 
 apply (frule ring_n_pd[of "n" "P"])
  frule.[ O<bsub> P<esub> I Zl_mI    l],+
applysimpadd:mem_ring_n_pd_mem_K n" PZl_mIKP ")
done

definition
  mprod_exp :: "[_, nat \<Rightarrow> int, nat \<Rightarrow> 'b, nat] 
              \<Rightarrow> 'b" where
  "mprod_exp K e f n = nprod K (\<lambda>j. ((f j)\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(e j)\<^esup>)) n"

lemma (in Corps) mprod_expR_memTr:"(\<forall>j\<le>n. f j \<in> carrier K)  \<longrightarrow>  
             K efn <>carrier K"
apply cut_tacfield_is_ring)
apply (induct_tac n)
 apply (rule impI, simp) 
 apply (simp add:mprod_expR_def)
 apply (cut_tac Ring.npClose[of K "f 0" "e 0"], assumption+)

apply (rule impI) 
 apply simp
 apply (substjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 13 out of bounds for length 0
 apply (simp)
 apply (simp)
 apply (rule Ring.ring_tOp_closed[of K], assumption+)
  ruleRing., assumption+)
 apply simp 
done

lemma( ) mprod_expR_mem"<> \le .f \in carrierK\Longrightarrow>java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 91 out of bounds for length 91
           mprod_expR K e f n \<in> carrier K"
apply (cut_tac field_is_ring) 
apply (cut_tac Ring applysimp
apply simp
apply (subgoal_tac "f \<in> {j. j \<le> n} \<rightarrow rotate_tac-,drulenot_sym) 
done 

lemma (in Corps) mprod_Suc:"\<lbrakk> \<forall>
                \<forall>j apply frule val_LI_noninfof" ""P "" "", +)
 mprod_exp K e f (Suc n) = (mprod_exp K e f n) \<cdot>\<^sub>r ((f (Suc n))\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(e (Suc n))\<^esup>)"
apply (simp add:mprod_exp_def)
done

lemma(inCorps mprod_memTr"
 (\<forall>j \<le> n. e j \<in> Zset) \<and> (\<forall>j \<le> n. f j \<in> ((carrier K) - {\<zero>})) \<longrightarrow> 
       (mprod_exp K e f n) \<in> ((carrier K) - {\<zero>})" 
apply (induct_tac n)
 apply (simp, rule impI, (erule conjE)+,
        simp add:mprod_exp_def, simp add:npowf_mem,
        simp add:field_potent_nonzero1) 
apply (rule impI, simp, erule conjE,
       cut_tac, ,
       erule conjE, simp add:mprod_Suc)
 apply (rule conjI)
 apply (rule Ring.ring_tOp_closed[of "K"], assumption+,
        simp add:npowf_mem)
 apply (rule Idomain.idom_tOp_nonzeros, assumption+,
        simp add:npowf_mem, assumption,
        simp add:field_potent_nonzero1) 
done

lemma (in Corps) mprod_mem:"\<lbrakk>\<forall>j \<le> n. e j         :delta_in_Zinf
apply (cut_tac mprod_memTr[ allIrule,
done

lemma (in Corps) mprod_mprodR:"\<lbrakk>\<forall>j \<le> n. e j \<in> Zset; \<forall>j \<le> n. 0 \<le> (e j); 
 \<forall>j \<le> n. f j \<in> ((carrier K) - {\<zero>}java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
              mprod_exp K e f n = mprod_expR K (nat o e) f n"
apply (cut_tac field_is_ring)
pplysimp :mprod_exp_defmprod_expR_def)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 46 out of bounds for length 46
apply (rule Ring.nprod_eq, assumption+)
 apply (rule allI, rule impI, simp add:npowf_mem)
 apply (rule allI, rule impI, rule Ring.npClose, assumption+, simp)
apply (rule allI, rule impI)
 apply(add:)
done

subsection "Representation of an ideal I as a product of prime ideals"

lemma (in Corps) ring_n_mprod_mprodRTr:"distinct_pds K n P \<Longrightarrow> 
       (\<forall>j \<le> m. e j \<in> Zset) \<and> (\<forall>j \<le> m. 0 \<le> (e j)) \<and> 
       (\<forall>j \<le> m. f j \<in> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>)-{\<zero>\<^bsub>(O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<^esub>}) \<longrightarrow> 
        mprod_exp K e f m = mprod_expR (O\<^bsub>K P n\<^esub>) (nat o e) f m"
apply (frule ring_n_pd[of n P])
apply (induct_tac m) 
 apply (rule impI, (erule conjE)+,
        simp add:mprod_exp_def mprod_expR_def)
 apply (erule conjE, simp add:npowf_def, simp add:ring_n_exp_K_exp) 

apply (rule impI, (erule conjE)+, simp)  
 apply (subst mprod_Suc, assumption+,
        rule allI, rule impI,
        simp add:mem_ring_n_pd_mem_K,
        simp add:zero_in_ring_n_pd_zero_K)
  apply (subst Ring.mprodR_Suc, assumption+,
         simp add:cmp_def,
         simp)
  apply (simp add:ring_n_pd, simp add:npowf_def, 
         simp add:ring_n_exp_K_exp) 
 apply (subst ring_n_tOp_K_tOp, assumption+,
        rule Ring.mprod_expR_mem, simp add:ring_n_pd,
        simp,
        simp)
 apply (rule Ring.npClose, simp add:ring_n_pd, simp, simp)
done

lemma (in Corps) ring_n_mprod_mprodR:"\<lbrakk>distinct_pds K n P; \<forall>j \<le> m. e j \<in> Zset;
 \<forall>j \<le> m. 0 \<le> (e j); \<forall>j \<le> m. f j \<in> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>)-{\<zero>\<^bsub>(O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<^esub>}\<rbrakk> 
 \<Longrightarrow>  mprod_exp K e f m = mprod_expR (O\<^bsub>K P n\<^esub>) (nat o e) f m"
apply (simp add:ring_n_mprod_mprodRTr)
done

lemma (in Corps) value_mprod_expTr:"valuation K v  \<Longrightarrow> 
 (\<forall>j \<le> n. e j \<in> Zset) \<and> (\<forall>j \<le> n. f j \<in> (carrier K - {\<zero>})) \<longrightarrow>
 v (mprod_exp K e f n) =  ASum  (\<lambda>j. (e j) *\<^sub>a (v (f j))) n"  
apply (induct_tac n)
 apply simp
 apply (rule impI, erule conjE)
 apply(simp add:mprod_exp_def val_exp) 

apply (rule impI, erule conjE)
 apply simp
 apply (subst mprod_Suc, assumption+)
 apply (rule allI, rule impI, simp)
 apply (subst val_t2p[of v], assumption+)
 apply (cut_tac n = "n" in mprod_mem[of _ e f],
        (rule allI, rule impI, simp)+, simp)
 apply (simp add:npowf_mem, simp add:field_potent_nonzero1)
 apply (simp add:val_exp[THEN sym, of "v"]) 
done 

lemma (in Corps) value_mprod_exp:"\<lbrakk>valuation K v; \<forall>j \<le> n. e j \<in> Zset; 
       \<forall>j \<le> n. f j \<in> (carrier K - {\<zero>})\<rbrakk> \<Longrightarrow> 
     v (mprod_exp K e f n) = ASum (\<lambda>j. (e j) *\<^sub>a (v (f j))) n"  
apply (simp add:value_mprod_expTr)
done

lemma (in Corps) mgenerator0_1:"\<lbrakk>distinct_pds K (Suc n) P; 
 ideal (O\<^bsub>K P (Suc n)\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>(O\<^bsub>K P (Suc n)\<^esub>)\<^esub>}; 
 I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P (Suc n)\<^esub>); j \<le> (Suc n)\<rbrakk> \<Longrightarrow>
((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (mprod_exp K (mL K P I) (Kb\<^bsub>K (Suc n) P\<^esub>) (Suc n))) = 
                   ((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (Zl_mI K P I j))" 
apply (frule distinct_pds_valuation[of j n P], assumption+)
 apply (frule mL_hom[of "Suc n" "P" "I"], assumption+)
 apply (frule Kbase_hom1[of "Suc n" "P"]) 
 apply (frule value_mprod_exp[of "\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>" "Suc n" "mL K P I" 
           "Kb\<^bsub>K (Suc n) P\<^esub>"], assumption+)

 apply (simp del:ASum_Suc)
 apply (thin_tac "(\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (mprod_exp K (mL K P I) (Kb\<^bsub>K (Suc n) P\<^esub>) (Suc n)) =
     ASum (\<lambda>ja. (mL K P I ja) *\<^sub>a (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) ((Kb\<^bsub>K (Suc n) P\<^esub>) ja)) (Suc n)")
apply (subgoal_tac "ASum (\<lambda>ja. (mL K P I ja) *\<^sub>a 
      ((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) ((Kb\<^bsub>K (Suc n) P\<^esub>) ja))) (Suc n) = 
                ASum (\<lambda>ja. (mL K P I ja) *\<^sub>a (\<delta>\<^bsub>j ja\<^esub>)) (Suc n)")
apply (simp del:ASum_Suc)
apply (subgoal_tac "\<forall>h \<le> (Suc n). (\<lambda>ja. (mL K P I ja) *\<^sub>a (\<delta>\<^bsub>j ja\<^esub>)) h \<in> Z\<^sub>\<infinity>")
apply (cut_tac eSum_single[of "Suc n" "\<lambda>ja. (mL K P I ja) *\<^sub>a (\<delta>\<^bsub>j ja\<^esub>)" "j"])
 apply simp
 apply (simp add:Kronecker_delta_def asprod_n_0)
 apply (rotate_tac -1, drule not_sym) 
apply (simp add:mL_def[of "K" "P" "I" "j"])

apply (frule val_LI_noninf[of "Suc n" "P" "I" "j"], assumption+)
 apply (rule not_sym, simp, simp)
apply (frule val_LI_pos[of "Suc n" "P" "I" "j"], assumption+,
       rotate_tac -2, frule not_sym, simp, simp)

apply (frule apos_neq_minf[of "LI K (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) I"])
apply (simp add:ant_tna) 
apply (simp add:value_Zl_mI[of "Suc n" "P" "I" "j"])
apply (rule allI, rule impI)
 apply (simp add:Kdelta_in_Zinf, simp)
 apply (rule ballI, simp)
 apply (simp add:Kronecker_delta_def, erule conjE)
 apply (simp add:asprod_n_0)

apply (rule allI, rule impI) 
 apply (simp add:Kdelta_in_Zinf)

apply (frule  Kbase_Kronecker[of "Suc n" "P"])
 apply (rule ASum_eq,
        rule allI, rule impI,
        simp add:Kdelta_in_Zinf,
        rule allI, rule impI,
        simp add:Kdelta_in_Zinf)
apply (rule allI, rule cut_tac[of"""",+
done

lemma (in Corps) mgenerator0_2:"\<lbrakk> 0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; 
 I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>(O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n\<rbrakk>  \<Longrightarrow>
((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (mprod_exp K (mL K P I) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n)) =  ((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (Zl_mI K P I j))"
apply (cut_tac mgenerator0_1[of  "n - Suc 0" "P" "I" "j"])
 apply simp+
done

lemma (in Corps) mgenerator1:"\<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; 
 I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>(O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow>
((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (mprod_exp K (mL K P I) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n)) = ((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (Zl_mI K P I j))"
apply (case_tac "n = 0",
       frule value_Zl_mI[of "n" "P" "I" "j"], assumption+,
       frule val_LI_noninf[of "n" "P" "I" "j"], assumption+,
       frule val_LI_pos[of  "n" "P" "I" "j"], assumption+,
       frule apos_neq_minf[of "LI K (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) I"],
       simp add:distinct_pds_def, erule conjE)  
 apply (cut_tac representative_of_pd_valuation[of "P j"], simp+,
        simp add:mprod_exp_def,
        subst val_exp[THEN sym, of "\<nu>\<^bsub>K (P 0)\<^esub>" "(Kb\<^bsub>K 0 P\<^esub>) 0"], assumption+,
        cut_tac Kbase_hom[of "0" "P"], simp,
        simp add:distinct_pds_def,
        cut_tac Kbase_nonzero[of "0" "P"], simp+,
        simp add:distinct_pds_def) 
 apply (cut_tac Kbase_nonzero[of "0" "P"], simp add:distinct_pds_def) 
apply(cut_tacKbase_Kronecker[of 0 P] simpadd:distinct_pds_defjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 72 out of bounds for length 72
 apply (simp add:Kronecker_delta_def, simp add:mL_def, simp add:ant_tna)
 apply (simp add:distinct_pds_def)+
apply (cut_tac mgenerator0_2[of "n" "P" "I" "j"], simp+)
 apply (simp add:distinct_pds_def) apply simp+
done
    
lemma (in Corps) mgenerator2Tr1:"\<lbrakk>0 < n; j \<le> n; k \<le> n; distinct_pds K n P\<rbrakk> \<Longrightarrow>
      (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (mprod_exp K (\<lambda>l. \<gamma>\<^bsub (\<gamma>\<^bsub>k j\<^esub>) *\<^sub>a (\<delta>\<^bsub>j j\<^esub>)"
apply (frule distinct_pds_valuation1[of "n" "j" "P"], assumption+)
apply (frule K_gamma_hom[of k n]) 
apply (subgoal_tac "\<forall>j \<le> n. (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) j \<in> carrier K - {\<zero>}")
apply (simp add:value_mprod_exp[of "\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>" n "K_gamma k" "(Kb\<^bsub>K n P\<^esub>)"])
apply (subgoal_tac "ASum (\<lambda>ja. (\<gamma>\<^bsub>k ja\<^esub>) *\<^sub>a (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) ((Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) ja)) n
       = ASum (\<lambda>ja. (((\<gamma>\<^bsub>k ja\<^esub>) *\<^sub>a (\<delta>\<^bsub>j ja\<^esub>)))) n")
 apply simp
 apply (subgoal_tac "\<forall>j \<le> n. (\<lambda>ja. (\<gamma>\<^bsub>k ja\<^esub>) *\<^sub>a (\<delta>\<^bsub>j ja\<^esub>)) j \<in> Z\<^sub>\<infinity>")
 apply (cut_tac eSum_single[of n "\<lambda>ja. ((\<gamma>\<^bsub>k ja\<^esub>) *\<^sub>a (\<delta>\<^bsub>j ja\<^esub>))"  "j"], simp)
 apply (rule allI, rule impI, simp add:Kronecker_delta_def, 
        rule impI, simp add:asprod_n_0 Zero_in_aug_inf, assumption+)
 apply (rule ballI, simp)
  apply (simp add:K_gamma_def, rule impI, simp add:Kronecker_delta_def) 
  apply (rule allI, rule impI)
  apply (simp add:Kronecker_delta_def, simp add:K_gamma_def)
 apply (simp add:ant_0 Zero_in_aug_inf)
applycut_tacz_in_aug_infof1add:ant_1) 

 apply (rule ASum_eq)
apply( allI  impI)
  apply (simp add:K_gamma_def, simp add
  apply (rule impI, rule value_in_aug_inf, assumption+, simp)
  apply (simp add:K_gamma_def Zero_in_aug_inf Kdelta_in_Zinf1)
  apply (rule allI, rule impI)
  apply (simp add:Kbase_Kronecker[of "n" "P"])
  apply (rule Kbase_hom1, assumption+( = inRingideal_subsetof"\^> P n<esub I] +)
done

lemma (in Corps) mgenerator2Tr2:"\<lbrakk>0 < n; j \<le> n; k \<le> n; distinct_pds I<^esub>",assumption+)
     (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) ((mprod_exp K (\<lambda>l. \<gamma>\<^bsub>k l\<^esub> ) (Kb\<^bsub>K n Pjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 4 out of bounds for length 4

apply (frule K_gamma_hom[of k n])
apply (frule Kbase_hom1[of "n" "P"])
apply (frule mprod_mem[of n "K_gamma k" "Kb\<^bsub>K n P\<^esub>"], assumption+)
apply (frule distinct_pds_valuation1[of "n" "j" "P"], assumption+)
apply (simp, erule conjE)
apply (simp add:val_exp[THEN sym])
apply (simp add:mgenerator2Tr1)
 apply (simp add:K_gamma_def Kronecker_delta_def)
 apply (rule impI)
 apply (simp add:asprod_def a_z_z)
done

lemma (in Corps) mgenerator2Tr3_1:"\<lbrakk>0 < n; j \<le> n; k \<le> n; j = k; 
      distinct_pds K n applyfrule Kbase_Kronecker n P]
          (\<java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 23 out of bounds for length 23
apply (simp add:mgenerator2Tr2) apply (simp add:K_gamma_def)
done

lemma (in Corps) mgenerator2Tr3_2:"\<lbrakk>0 < n; j \<le> n; k \<le> n; j \<noteq> k; 
      distinct_pds K n P\<rbrakk> \<Longrightarrow>
      (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) ((mprod_exp K (\apply (simpaddKronecker_delta_def
apply (simp add:mgenerator2Tr2) apply (simp add:K_gamma_def)
done

 inCorpsmgeneratorTr4"<> < n;distinct_pds   ;ideal (\<^>K Pn<esub)I;
      I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> 
       mprod_exp K (mL K P I) (Kb\<^bsub>K n   (rule_tac   xinRinga_in_principal[ "\^> Pn<^>")
apply (subst ring_n_pd_def)
apply (simp add:Sr_def)
 apply (frule mL_hom[of  "n" "P" "I"], assumption+)
 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
 apply (rule Kbase_hom1, assumption+)

 apply (simp add:mprod_mem)

apply (rule allI, rule impI)
 apply (simp add:mgenerator1)
 apply (simp add:value_Zl_mI)
 apply (simp add:val_LI_pos)
done

definition
  m_zmax_pdsI_hom :: "[_, nat \<Rightarrow> ('b \<Rightarrow> ant) set, 'b set] \<Rightarrow> nat \<Rightarrow> int" where
  "m_zmax_pdsI_hom K P I = (\<lambda>j. tna (AMin ((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) ` I)))"

definition
  m_zmax_pdsI :: "[_, nat, nat \<Rightarrow> ('b \<Rightarrow> ant) set, 'b set] \<Rightarrow> int" where
  "m_zmax_pdsI K n P I = (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I)) + 1"
 
lemma (in Corps) value_Zl_mI_pos:"\<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I;
     I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>(O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; l \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow>
     0 \<le> ((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (Zl_mI K P I l))"
apply (frule         add:npowf_mem assumption,
apply (erule         add:field_potent_nonzero1
 apply (frule ring_n_pd[of "n" "P"])
 apply (frule Ring.ideal_subset[of "O\<^bsub>K P n\<^esub>" "I" "Zl_mI K P I l"], assumption+)
 apply (thin_tac "ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I")
 apply (thin_tac "I <noteq>{<><^>O<^>K  \^esub>\<^esub>}")
 apply (thin_tac "I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>)")
 apply (thin_tac "Ring (O\<^bsub>K P n\<^esub>)")
 apply (simp add:ring_n_pd_def Sr_def) 
done

lemma (in Corps) value_mI_genTr1:"\<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I;
 I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow>
 (mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n)\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax_pdsI K n P I)\<^esup> \<in> carrier K"
apply (frule K_gamma_hom[of "j" "n"])
apply (frule mprod_mem[of n "K_gamma j" "Kb\<^bsub>K n P\<^esub>"])
 apply (rule Kbase_hom1, assumption+)
apply (rule npowf_mem)
 apply simp+
done

lemma (in Corps) value_mI_genTr1_0:"\<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; 
 ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>pply(cut_tac field_is_ring
 \<Longrightarrow> (mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n) \<in> carrier K" 
apply (frule K_gamma_hom[of "j" "n"])
apply (frule mprod_mem[of n "K_gamma j" "Kb\<^bsub>K n P\<^esub>"])
 apply (rule Kbase_hom1, assumption+)
 apply simp
done


lemma (in Corps) value_mI_genTr2:"\<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I;
 I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow>
 (mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n)\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax_pdsI K n P I)\<^esup> \<noteq> \<zero>"
 apply (frule K_gamma_hom[of "j" "n"])
 apply (frule mprod_mem[of n "K_gamma j" "Kb\<^bsub>K n P\<^esub>"])
 apply (rule Kbase_hom1, assumption+) apply simp apply (erule conjE)
 apply (simp add: field_potent_nonzero1)
done

lemma (in Corps) value_mI_genTr3:"\<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I;
 I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow>
 (Zl_mI K P I j) \<cdot>\<^sub>r ((mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n)\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax_pdsI K n P I)\<^esup>)
  \<in> carrier K"
apply (cut_tac field_is_ring)
apply (rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+)
apply (simp add:Zl_mI_mem_K)
apply (simp add:value_mI_genTr1)
done

lemma (in Corps) value_mI_gen:"\<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I;
 I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>(O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow>  
(\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (nsum K (\<lambda>k. ((Zl_mI K P I k) \<cdot>\<^sub>r ((mprod_exp K (\<lambda>l. (\<gamma>\<^bsub>k l\<^esub>)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n)\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax_pdsI K n P I)\<^esup>))) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) I"
apply (cut_tac field_is_ring, frule Ring.ring_is_ag[of "K"])
apply (case_tac "j = n", simp) 
 apply (cut_tac nsum_suc[of K "\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r 
        mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>" "n - Suc 0"], 
        simp,
        thin_tac "\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r
               mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n =
     \<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r
               mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>)
                n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0) \<plusminus>
     Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r
     mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>")
 apply (cut_tac distinct_pds_valuation[of "n" "n - Suc 0" "P"])

prefer 2 apply simp 
 apply (subst value_less_eq1[THEN sym, of "\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>" 
 "(Zl_mI K P I n)\<cdot>\<^sub>r (mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsubapply (simp addant_tna 
 "nsum K (\<lambda>k.(Zl_mI K P I k)\<cdot>\<^sub>r (mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)) (n - Suc 0)"], assumption+) 

 apply (simp add:value_mI_genTr3)
 apply (frule Ring.ring_is_ag[of K])

 apply (  ( add
 apply (simp add:value_mI_genTr3) 

 apply (subst val_t2p[of "\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>"], assumption+)
 apply (simp add:Zl_mI_mem_K)
 apply (simp add:value_mI_genTr1) 

 apply (simp add:mgenerator2Tr3_1[of "n" "n" "n" "P"])
 apply (simp add:aadd_0_r) 
apply (frule value_Zl_mI[of "n" "P" "I" "n"], assumption+, simp)
 apply (erule conjE) 
 apply (frule_tac f =
       (mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)" in 
       value_ge_add[of "\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>"        , impIapplysimp
      "ant (m_zmax_pdsI K n P I)"])
 apply (rule allI, rule impI) 
 apply (rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+)
applysimp addZl_mI_mem_Kjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 29 out of bounds for length 29
 apply (simp add:value_mI_genTr1Inoteq \>bsub(<bsubK n<^>\<esub;I <>carrier(O\^> Pn<esub>)  <e \rbrakk  \Longrightarrow

 apply (rule allI, rule impI) apply (simp add:cmp_def)
 \nu>(j<> mprod_exp mLKPI Kb<bsubKn\^> )   (nu\^> Pj)\<esub (l_mIKP I))
 apply (simp add:Zl_mI_mem_K)
 apply (simp add:value_mI_genTr1) 

 apply (cut_tac e = "K_gamma ja" in mprod_mem[of n  _  "Kb\<^bsub>K n P\<^esub>"])
 apply (simp add:Zset_def) apply (rule Kbase_hom1, assumption+)
 apply (subst val_exp[of "\<nu>\<^bsub>K (P 
 apply simp+ 

 apply (subst mgenerator2Tr1[of "n" "n" _ "P"], assumption+, simp, simp,
        assumption+) 
 apply (simp add:K_gamma_def Kronecker_delta_def)
 apply (frule_tac l = ja in value_Zl_mI_pos[of "n" "P" "I" "n"],
        assumption+, simp, simp)
 apply (simp add:Nset_preTr1)
 apply (frule_tac y = "(\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>) (Zl_mI K P I ja)" in 
  aadd_le_mono[of "0" _ "ant (m_zmax_pdsI K n P I)"]) apply (simp add:aadd_0_l)
 apply (subgoal_tac "LI K (\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>) I < ant (m_zmax_pdsI K n P I)")
 apply simp
 apply (rule aless_le_trans[of "LI K (\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>) I" 
                           "ant (m_zmax_pdsI K n

 apply (simp add:m_zmax_pdsI_def)
 apply (cut_tac aless_zless[of "tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>) I)" 
                   "m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1"])
(of"n """"""] + simp,simp 
apply (frule val_LI_pos[of "n" "P" "I" "n"], assumption+, simp,
       frule apos_neq_minf[of "LI K (\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>) I"], simp add:ant_tna)
 apply (subst m_zmax_pdsI_hom_def)
 apply (subst LI_def)
 apply (cut_tac m_zmax_gt_each[of n "\<lambda>u.(tna (AMin ((\<nu>\<^bsub>K (P u)\<^esub>) ` I)))"])
 apply simp

 apply (rule allI, rule impI)
 apply (simp add:Zset_def, simp) 

 apply (subst val_t2p[of "\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>"], assumption+)
 apply (rule Zl_mI_mem_K, assumption+, simp)
 apply (simp add:value_mI_genTr1)
 apply (simp add:mgenerator2Tr3_1[of "n" "n" "n" "P" "m_zmax_pdsI K n P I"])
 apply (simp add:aadd_0_r)
 apply (simp add:value_Zl_mI[of "n" "P" "I" "n"])

(*** case j = n done ***)
 apply (frule aGroup.addition3[of "K" "n - Suc 0" "\<lambda>k. (Zl_mI K P I k) \<cdot>\<^sub>r
((mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n)\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax_pdsI K n P I)\<^esup>)" "j"])
 
 apply simp
 apply (rule allI, rule impI) 
 apply (simp add:value_mI_genTr3) apply simp+

  thin_tac"\Sigma\^sub>e K  (\lambda>k. Zl_mI K P   <>\^>
     mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n =
     \<Sigma>\<^sub>e K (cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r
            mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>)) n")
 apply (cut_tac nsum_suc[of K "cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r
     mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>)" "n - Suc 0"])
 apply (simp del:nsum_suc) apply (
        thin_tac "\<Sigma>\<^sub>e K (cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r
         mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>)) n =
     \<Sigma>\<^sub>e K (cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r
        mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>))
         (n - Suc 0) \<plusminus>  (cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r
         mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>)) n")
 apply (cut_tac distinct_pds_valuation[of "j" "n - Suc 0" "P"])
 prefer 2 apply simp prefer 2 apply simp
 apply (simp add:cmp_def)

 apply (cut_tac n_in_Nsetn[of "n"])
 apply (simp add:transpos_ij_2)
 apply (subst value_less_eq1[THEN sym, of "\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>"
 "(Zl_mI K P I j) \<cdot>\<^sub>r (mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>)
  n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)" "\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x.(Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) \<cdot>\<^sub>r
 (mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)) (n - Suc 0)"], assumption+)
 apply (simp add:value_mI_genTr3)
 apply (rule aGroup.nsum_mem[of "K" "n - Suc 0"], assumption+)
 apply (rule allI, rule impI) 
 apply (frule_tac l = ja in transpos_mem[of "j" "n" "n"], simp+)
 apply (simp add:value_mI_genTr3) 

 apply (subst val_t2p[of "\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>"], assumption+)
 apply (simp add:Zl_mI_mem_K) 
 apply (simp add:value_mI_genTr1)

 apply (simp add:mgenerator2Tr3_1[of "n" "j" "j" "P"])

 apply (frule value_Zl_mI[of "n" "P" "I" "j"], assumption+)
 apply (erule conjE)
 apply (simp add:aadd_0_r)
 apply (cut_tac f = "\<lambda>x. (Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) \<cdot>\<^sub>r
       (mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)" in 
        value_ge_add[of "\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>"
        "n - Suc 0" _ "ant (m_zmax_pdsI K n P I)"], assumption+)
 apply (rule allI, rule impI) 
 apply (frule_tac l = ja in transpos_mem[of "j" "n" "n"], simp+)
 apply (simp add:value_mI_genTr3)
 apply (rule allI, rule impI) apply (simp add:cmp_def)

 apply (frule_tac l = ja in transpos_mem[of "j" "n" "n"], simp+)

 apply (subst val_t2p [where v="\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>"], assumption+) 
 apply (simp add:Zl_mI_mem_K)
 apply (simp add:value_mI_genTr1)
 apply (cut_tac k = ja in transpos_noteqTr[of "n" _ "j"], simp+) 
 apply (subst mgenerator2Tr3_2[of "n" "j" _ "P"], simp+)
 apply (cut_tac l = "(\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja" in value_Zl_mI_pos[of "n" "P" "I" "j"],
        simp+)
 apply (frule_tac y = "(\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja))" in 
 aadd_le_mono[of "0"  _ "ant (m_zmax_pdsI K n P I)"])
 apply (simp add:aadd_0_l)
apply (subgoal_tac "LI K (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) I < ant (m_zmax_pdsI K n P I)")
 apply (rule aless_le_trans[of "LI K (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) I" 
                           "ant (m_zmax_pdsI K n P I)"], assumption+)

 apply (simp add:m_zmax_pdsI_def)
 apply (cut_tac aless_zless[of "tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) I)" 
                   "m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1"])
apply (frule val_LI_noninf[of  "n" "P" "I" "j"], assumption+,
       frule val_LI_pos[of  "n" "P" "I" "j"], assumption+,
       frule apos_neq_minf[of "LI K (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) I"], simp add:ant_tna)
 apply (subst m_zmax_pdsI_hom_def)
 apply (subst LI_def)
 apply (subgoal_tac "\<forall>h \<le> n. (\<lambda>u. (tna (AMin ((\<nu>\<^bsub>K (P u)\<^esub>) ` I)))) h \<in> Zset")
 apply (frule m_zmax_gt_each[of n "\<lambda>u.(tna (AMin ((\<nu>\<^bsub>K (P u)\<^esub>) ` I)))"])
 apply simp
 apply (rule allI, rule impI)
 apply (simp add:Zset_def)
apply (subst val_t2p[of "\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>"], assumption+)
 apply (rule Zl_mI_mem_K, assumption+)
 apply (simp add:value_mI_genTr1)
  
 apply (simp add:mgenerator2Tr3_1[of  "n" "j" "j" "P" 
                                         "m_zmax_pdsI) 
 apply simpadd:aadd_0_r
 apply (simp add:value_Zl_mI[of "n" "P" "I" "j"])
done

 inCorps :\><;distinct_pdsK  ;ideal(<bsubKP \^> ;
  I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>(O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow>
  (nsum K (\<lambda>k. ((Zl_mI K P I k) \<cdot>\<^sub>r 
  ((mprod_exp K (\<lambda>l. (\<gamma>\<^bsub>k l\<^esub>)) (Kb\<^bsub   ruleallI,  impI
apply (cut_tac field_is_ring, frule ring_n_pd[of n P])
apply (rule ideal_eSum_closed[of n P I n], assumption+)
apply (rule allI, rule impI)
 apply (frule_tac j = j in value_Zl_mI[of  "n" "P" "I"], assumption+) 
 apply (erule conjE)
 apply (thin_tac "(\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) I")
 apply (subgoal_tac "(mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n)\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax_pdsI K n P I)\<^esup>
 \<in> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>)") 
 apply (frule_tac x = "Zl_mI K P I j" and 
   r = "(mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n)\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax_pdsI K n P I)\<^esup>"
   in Ring.ideal_ring_multiple1[of "(O\<^bsub>K P n\<^esub>)" "I"], assumption+) 
 apply (frule_tac h = "Zl_mI K P I j" in 
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 81 out of bounds for length 79
 apply (simp add:ring_n_pd_tOp_K_tOp[of "n" "P"])
 
apply (subst ring_n_pd_def) apply (simp add:Sr_def)
 apply (simp add:value_mI_genTr1)

 apply (rule allI, rule impI)
 apply (case_tac "j = ja") 
 apply (simp add:mgenerator2Tr3_1)

 apply (simp add:mgenerator2Tr3_2)
 apply (simp add:m_zmax_pdsI_def) apply (simp add:m_zmax_pdsI_hom_def)
 apply (simp only:ant_0[THEN sym])
 apply (
 apply (subgoal_tac "\<forall>l \<le> n. (\<lambda>j. tna (AMin ((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) ` I))) l \<in> Zset")
 apply (frule m_zmax_gt_each[of n "\<lambda>j. tna (AMin ((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) ` I))"]) 
 apply (rotate_tac -1, drule_tac a = ja in forall_spec, simp+)
 apply (frule_tac j = ja in val_LI_pos[of  "n" "P" "I"], assumption+) 
 apply (cut_tac j = "tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K (P ja)\<^esub>) I)" in ale_zle[of "0"]) 
apply (frule_tac j = ja in val_LI_noninf[of "n" "P" "I"], assumption+,
       frule_tac j = ja in val_LI_pos[of "n" "P" "I"], assumption+,
       frule_tac a = "LI K (\<nu>\<^bsub>K (P ja)\<^esub>) I"(\<><bsub>K(P )<esub>) (mprod_exp K (lambda.(<><bsubkl<esub) Kb<bsub>K  \^> n)\^>\^><bsupm\^sup)= 0
       simp add:ant_0) apply (unfold LI_def)
 apply (frule_tac y = "tna (AMin (ν _{(P ja)} ` I))" and z = "m_zmax n (λj. tna (AMin (ν <sub>(P j)</sub> ` I)))" in order_trans[of "0"], assumption+)
 apply (rule_tac y = "m_zmax n (λj. tna (AMin (ν _{(P j)} ` I)))" and 
        z = "m_zmax n (λj. tna (AMin (ν <sub>(P j)</sub> ` I))) + 1" in order_trans[of "0"],
        assumption+) apply simp

 apply (rule allI, rule impI) apply (simp add:Zset_def)
done


textWe write the element 
        ‹eΣ K (λk. (Zl_mI K P I k) ⋅_K ((mprod_exp K (K_gamma k) (Kb _{n P})
 n)_K(m_zmax_pdsI K n P I))) n›
      as ‹

 
 mIg :: "[_, nat, nat ==> ('b ==> ant) set,
 'b set] ==> 'b" (‹(4mIg_{_ _ _ _})› [82,82,82,83]82) where
 "mIapply (simp adad:Nse_rT1
 ((mprod_exp K (K_gamma k) (Kb _{n P}) n)m_zmax_pdsI K n P I))) n"

 ‹We can rewrite above two lemmas by using ‹mIg _{G a i n P I}››

  (in Corps) value_mI_gen1:"[0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O _{P n}) I;
 I ≠ {0_{O P n)}}; I ≠ carrier (O _{P n})] ==>
 ∀j ≤ n.(ν _{(P j)}) (mIg _{n P I}) = LI K (ν _{(P j)}) I"
  (rule allI, rule impI)
 apply (simp add:mIg_def value_mI_gen)
 

  (in Corps) mI_gen_in_I1:"[0 < n_{(P n)}
 I ≠ {0_{O P n)}}; I ≠
  (simp add:mIg_def mI_gen_in_I)
 

  (in Corps) mI_principalTr:"[0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O <sub>P apply (simp add:m_zmxpdsdef
 I ≠ {0O P n)}; I ≠ carrier (O^bsub> (P n)) I)"
 ∀j ≤ n. ((ν (P j)) (mIg n P I)) ≤
  (simp add:value_mI_gen1)
 apply (rule allI, rule impI)
 apply (rule Zleast_LI, assumption+)
 

  (in Corps) mI_principal:"[0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O P n) I;
 I ≠ {0\<^apply(
 I = Rxa (O P n) (mIg n P I)"
  (frule ring_n_pd[of "n" "P"])
  (rule equalityI)
 apply (rule subsetI)
 apply (sbst Idef)
 assumption+)
 apply (frule_tac y = x in n_eq_val_eq_idealTr[of "n" "P" "mIg(P u)
 apply (frule mI_gen_in_I1[of "n" "P" "I"], assumption+)
 apply (simp add:Ring.ideal_subset)+
 apply (thin_tac "∀j≤n. (ν (P j)) (mIgK n P I
 apply (frule_tac h = x in Ring.ideal_subset[of "O P n" "I"], assumption+)
java.lang.NullPointerException
 apply (simp add:subsetD)
 apply (rule Ring.ideal_cont_Rxa[of "O P n" "I" "mIg], assumption+)
 apply (rule mI_gen_in_I1[of "n" "P" "I"], assumption+)
 

  ‹‹

  (in Corps) prime_n_pd_principal:"[distinct_pds K n P; j ≤ n] ==>
java.lang.NullPointerException: Cannot invoke "String.equals(Object)" because "brackoff" is null
  (frule ring_n_pd[of "n" "P"])
  (frule prime_n_pd_prime[of "n" "P" "j"], assumption+)
  (simp add:prime_ideal_def, frule conjunct1)
 apply (fold prime_ideal_def)
 apply (thin_tac "prime_ideal (O P n) (P P n j)")
  (rule equalityI)
 apply (rule subsetI)
 apply (frule_tac y = x in n_eq_val_eq_idealTr[of n P "(Kb n P) j"])
 apply (thin_tac "Ring (O P n)", thin_tac "ideal (O P n) (P P n j)")
 apply (simp add:ring_n_pd_def Sr_def)
 apply (frule Kbase_hom[of "n" "P"], simp)
 apply (rule allI, rule impI)
 apply (frule Kbase_Kronecker[of "n" "P"])
 apply (simp add:Kronecker_delta_def, rule impI)
 apply (simp only:ant_0[THEN sym], simp only:ant_1[THEN sym])
 apply (simp del:ant_1)
 apply (simp add:prime_n_pd_def)


 apply (rule allI, rule impI)
 apply (frule Kbase_Kronecker[of "n" "P"])
 apply simp
 apply (thin_tac "∀j≤n. ∀l≤n. (ν (P j)) ((Kb n P) l) = δ l")
 apply (case_tac "ja = j", simp add:Kronecker_delta_def)
 apply (thin_tac "ideal (O P n) (P P n j)")
 apply (simp add:prime_n_pd_def, erule conjE)
 apply (frule_tac x = x in mem_ring_n_pd_mem_K[of "nn" P],
 assumption+)
 apply (case_tac "x = 0 K (cmp (λ K P I k ⋅r
 apply (frule distinct_pds_valuation2[of "j" "n" "P"], assumption+)
 apply (rule gt_a0_ge_1, assumption)+

 apply (simp add:Kronecker_delta_def)
 apply (frule_tac j = ja in distinct_pds_valuation2[of _ "n" "P"],
 assumption+)
 def, erule con)
 apply (thin_tac "ideal (O P n) {x. x ∈ carrier (O(bn P) n K n P I) (τ n)" "n - Suc 0"])
 apply (simp add:ring_n_pd_def Sr_def)
 apply (cut_tac h = x in Ring.ideal_subset[of "O P n" "P P n j"])
 apply (frule_tac a = x in Ring.a_in_principal[of "O P n"])
 apply (simp add:Ring.ideal_subset, assumption+)


  (rule_tac c = x and A = "(O ♢p x" and B = "(O ♢K n P
 in subsetD, assumption+)
  (simp add:Rin.a_in_principal)
 apply (rule Ring.ideal_cont_Rxa[of "O P n" "P P n j" "(Kb(K nK n P I n))
 apply (subst prime_n_pd_def, simp)
 apply (frule Kbase_Kronecker[of "n" "P"])
 apply (simp add:Kronecker_delta_def)
 apply (simp only:ant_1[THEN sym], simp only:ant_0[THEN sym])
 apply (simp del:ant_1 add:aless_zless)
  (subst ring_n_pd_def, simp add:Sr_def)
 apply (frule Kbase_hom[of "n" "P"])
 apply simp
 apply (rule allI)
 apply (simp add:ant_0)
 apply (rule impI)
 apply (simp only:ant_1[THEN sym], simp only:ant_0[THEN sym])
 apply (simp del:ant_1)
 

  (in Corps) ring_n_prod_primesTr:"[0 < n; distinct_pds K n P;
 ideal (O P n) I; I ≠ distinct_pds_valuation[of "j" "n - Suc 0" ""P"])
 ∀j ≤ n.(ν (P j)) (mprod_exp K (mL K P I) (Kb n P) n) =
 (ν (P j)) (mIg n P I)"
  (rule allI, rule impI)
 apply (simp add:mgenerator1)
 apply (simp add:value_mI_gen1)

 apply (simp add:value_Zl_mI)
 

  (in Corps) ring_n_prod_primesTr1:"[0 < n; distinct_pds K n P;
 ideal (O P n) I; I ≠ {0 P n}; I ≠ carrier (O P n)] ==>
 I = (O P n) ♢p (mprod_exp K (mL K P I) (Kb n P) n)"
  (frule ring_n_pd[of "n" "P"])
  (subst n_eq_val_eq_ideal[of "n" "P" "mprod_exp K (mL K P I)
 (Kb n P) n" "mIg n P I"], assumption+)
  (simp add:mgeneratorTr4)
  (frule mI_gen_in_I1[of "n" "P" "I"], assumption+)
  (simp add:Ring.ideal_subset)
  (simp add:ring_n_prod_primesTr)
  (simp add:mI_principal)
 

  (in Corps) ring_n_prod_primes:"[0 < n; distinct_pds K n P;
 ideal (O P n) I; I ≠ {0 P n}; I ≠ carrier (O P n);
 ∀k ≤ n. J k = (P P n k)♢(O P n) (nat ((mL K P I) k))] ==>
 I = iΠO P n),n J"
  (simp add:prime_n_pd_principal[of "n" "P"])
  (subst ring_n_prod_primesTr1[of "n" "P" "I"], assumption+)
  (frule ring_n_pd[of "n" "P"])
  (frule Ring.prod_n_principal_ideal[of "O P n" "nat o (mL K P I)" "n"
 "Kb n P" "J"])
 apply (frule Kbase_hom[of "n" "P"])
 apply (simp add:nat_def)
 apply (subst ring_n_pd_def) apply (simp add:Sr_def)
 apply (rule Pi_I, simp)
 apply (simp add:Kbase_Kronecker[of "n" "P"])
 apply (simp add:Kronecker_delta_def)
 apply (simp only:ant_1[THEN sym], simp only:ant_0[THEN sym])
 apply (simp del:ant_1)
 apply (simp add:Kbase_hom) apply simp

 apply simp
 apply (frule ring_n_mprod_mprodR[of "n" "P" n "mL K P I" "Kb n P"])
 apply (rule allI, rule impI, simp add:Zset_def)
 apply (rule allI, rule impI)
 apply (simp add: Zleast_in_mI_pos)

 apply (rule allI, rule impI)
 apply (subst ring_n_pd_def) apply (simp add:Sr_def)
 apply (frule Kbase_hom1[of "n" "P"], simp)
 apply (simp add:zero_in_ring_n_pd_zero_K)
 apply (frule Kbase_Kronecker[of "n" "P"])
 apply (simp add:Kronecker_delta_def)
 apply (simp only:ant_1[THEN sym], simp only:ant_0[THEN sym])
 apply (simp del:ant_1)
  simp</sub></sup>