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Datei: continuity_of_max_min.pvs Sprache: PVS

Original von: PVS^©

continuity_of_max_min[T:TYPE+,d:[T,T->nnreal]]: THEORY
%------------------------------------------------------------------------------
% In This Theory, We Prove That For Continuous Real-Valued Functions
% f And g On A Metric Space, The Functions max(f,g) And min(f,g)
% Are Also Continuous
%
%     Authors: Anthony Narkawicz,  NASA Langley
%
%     Version 1.0         9/16/2009  Initial Version
%------------------------------------------------------------------------------
BEGIN

   ASSUMING IMPORTING metric_spaces_def[T,d]
       fullset_metric_space: ASSUMPTION metric_space?[T,d](fullset[T])
   ENDASSUMING

   S: VAR set[T]

   % A continuous function on a compact set realizes a maximum and a minimum

   IMPORTING real_metric_space, continuity_ms_def[T,d,real,real_dist], reals@abs_lems,
             compactness[T,d]

   f,g: VAR [T -> real]
   x: VAR T

   max_fun(f,g)(x): real = max(f(x),g(x))
   min_fun(f,g)(x): real = min(f(x),g(x))

   max_min_fun_convert: LEMMA max_fun(-f,-g) = -min_fun(f,g) AND min_fun(-f,-g) = -max_fun(f,g)
            AND min_fun(f,g) = -max_fun(-f,-g) AND max_fun(f,g) = -min_fun(-f,-g)

   max_fun_continuous: LEMMA continuous?(f,S) AND continuous?(g,S) IMPLIES
                  continuous?(max_fun(f,g),S)

   min_fun_continuous: LEMMA continuous?(f,S) AND continuous?(g,S) IMPLIES
                  continuous?(min_fun(f,g),S)

END continuity_of_max_min

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