Quelle ascending_chains.pvs Sprache: PVS

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% Ascending chains, a helper for the theory of limits of sequences of
% countable length.
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% FIXME: Should we use the NASA orders/monotone_functions theory instead?
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% Author: Jerry James <loganjerry@gmail.com>
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% This file and its accompanying proof file are distributed under the CC0 1.0
% Universal license: http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/.
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% Version history:
%   2007 Feb 14: PVS 4.0 version
%   2011 May  6: PVS 5.0 version
%   2013 Jan 14: PVS 6.0 version
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ascending_chains[T: TYPE, <=: (partial_order?[T])]: THEORY
BEGIN

  t, u: VAR T
  n, m: VAR nat

  ascending_chain?(f: [nat -> T]): bool = FORALL n: f(n) <= f(n + 1)

  ascending_chain: TYPE = (ascending_chain?)

  chain: VAR ascending_chain

  ascending_chain?_def: THEOREM
    FORALL chain, n, m: n <= m IMPLIES chain(n) <= chain(m)

  upperbound?(chain)(t): bool = FORALL n: chain(n) <= t

  least_upperbound?(chain)(t): bool =
      upperbound?(chain)(t) AND
       (FORALL u: upperbound?(chain)(u) IMPLIES t <= u)

  least_upperbound_inj: THEOREM
    FORALL chain, t, u:
      least_upperbound?(chain)(t) AND least_upperbound?(chain)(u) IMPLIES
       t = u

  bounded_above?(chain): bool = EXISTS t: upperbound?(chain)(t)

END ascending_chains

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