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Datei: Sprache: PVS

Original von: PVS^©

real_sets[T: TYPE FROM real]: THEORY
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%   Adapted by Rick Butler from theory that was
%        developed by Bruno Dutertre
%
%   Fundamental definitions are in bounded_reals.
%
%------------------------------------------------------------------------
BEGIN

  IMPORTING bounded_reals[T]

  S,S1,S2: VAR (nonempty?[T])
  U,U1,U2: VAR sup_set   % { S | (EXISTS a : upper_bound?(<=)(a, S))}
  V,V1,V2: VAR inf_set   % { S | (EXISTS a : lower_bound?(<=)(a, S))}
  W,W1,W2: VAR max_set   % { S | (EXISTS c : S(c) AND upper_bound?(<=)(c, S)}
  X,X1,X2: VAR min_set   % { S | (EXISTS c : S(c) AND lower_bound?(<=)(c, S)}
  a, x: VAR real
  c: VAR T

  sup_lemma            : LEMMA least_upper_bound(<=)(sup(U), U)

    sup_is_bound       : COROLLARY (FORALL (y: (U)) : y <= sup(U))
    sup_is_bound2      : COROLLARY upper_bound(<=)(sup(U), U)
    sup_is_sup         : COROLLARY upper_bound(<=)(x, U) IFF sup(U) <= x

  upper_bound_subset   : LEMMA subset?(S1, S2) AND upper_bound(<=)(a, S2)
                          IMPLIES upper_bound(<=)(a, S1)

    subset_above_bounded : COROLLARY subset?(S, U) IMPLIES above_bounded(S)
    sup_of_subset        : COROLLARY subset?(U1, U2) IMPLIES sup(U1) <= sup(U2)

  adherence_sup        : THEOREM (FORALL (epsilon: posreal):
                                     (EXISTS (y: (U)) : sup(U) - epsilon < y))

  inf_lemma            : LEMMA   greatest_lower_bound(<=)(inf(V), V)

    inf_is_bound       : COROLLARY (FORALL (y: (V)) : inf(V) <= y)
    inf_is_bound2      : COROLLARY lower_bound(<=)(inf(V), V)
    inf_is_inf         : COROLLARY lower_bound(<=)(x, V) IFF x <= inf(V)

  lower_bound_subset   : LEMMA subset?(S1, S2) and lower_bound(<=)(a, S2)
                           IMPLIES lower_bound(<=)(a, S1)

    subset_below_bounded : COROLLARY subset?(S, V) IMPLIES below_bounded(S)
    inf_of_subset        : COROLLARY subset?(V1, V2) IMPLIES inf(V2) <= inf(V1)

  adherence_inf        : THEOREM (FORALL (epsilon: posreal):
                                     (EXISTS (y: (V)) : y < inf(V) + epsilon))

END real_sets

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