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Datei: exp_approx.pvs Sprache: PVS

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array_ops[T: TYPE]: THEORY
BEGIN

  IMPORTING below_arrays, caret_arrays, concat_arrays

  t: VAR T
  n,m,i,j: VAR nat

  barr(n): TYPE = below_array[n,T]

  fill(n: nat, t: T): below_array[n,T] = (LAMBDA (ii: below(n)): t)

  caret_fill0    : LEMMA FORALL (j: below(n)):
         i <= j IMPLIES fill(n,t)^(i,j) = fill(j-i+1,t)

  caret_fill1    : LEMMA FORALL (j: below(n)):
         i <= j IMPLIES fill(n,t)^(i,j) = fill(j-i+1,t)

  caret_concat_bot : LEMMA FORALL (j: below(n), A_n: barr(n), B_m: barr(m)):
           j < n IMPLIES (A_n o B_m)^(i,j) = A_n^(i,j)

  caret_concat_top : LEMMA FORALL (A_n: barr(n), B_m: barr(m)):
           i >= n AND j >= n AND j < n + m
      IMPLIES (A_n o B_m)^(i,j) = B_m^(i-n, j-n)

  caret_concat_all : LEMMA FORALL (j: below(n), A_n: barr(n), B_m: barr(m)):
   i <= n AND n <= j IMPLIES
    (A_n o B_m)^(i,j) = A_n^(0,i-n) o B_m^(j,n-1)

  array_decomp     : LEMMA FORALL (n: posnat, k: below(n-1), A_n:barr(n)):
                                     (A_n^(0,k)) o (A_n^(k+1,n-1)) = A_n

  caret_bot_all    : LEMMA FORALL (n: posnat, A_n: barr(n), B_m: barr(m)):
                                      (A_n o B_m)^(0,n-1) = A_n

  caret_top_all    : LEMMA FORALL (A_n: barr(n), B_m: barr(m)):
                               n+m > 0 IMPLIES (A_n o B_m)^(n,n+m-1) = B_m

% ===== (below_array,o,1) is a monoid =====================================

  concat_array_bot  : THEOREM (FORALL (i: below(m),
                                         a_m:below_array[m,T],
                                         a_n:below_array[n,T]):
                                           (a_m o a_n)(i) = a_m(i))

  concat_array_top  : THEOREM (FORALL (j: {i: int | i >= m AND i < n+m},
                                        a_m:below_array[m,T],
                                        a_n:below_array[n,T]):
                                           (a_m o a_n)(j) = a_n(j-m))

  concat_array_r    : THEOREM (FORALL (a_n:below_array[n,T]):
                                           a_n o empty_array[T] = a_n)

  concat_array_l    : THEOREM (FORALL (a_n:below_array[n,T]):
                                           empty_array[T] o a_n = a_n)

  concat_array_assoc: THEOREM (FORALL (a_m:below_array[m,T]),
                                       (a_n:below_array[n,T]),
                                       (a_j:below_array[j,T]):
                                           a_m o (a_n o a_j) = (a_m o a_n) o a_j)

END array_ops

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Bemerkung:

Die farbliche Syntaxdarstellung ist noch experimentell.