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Datei: prelude_sets_aux.pvs Sprache: PVS

Original von: PVS^©

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% Various odds & ends for prelude libraries
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%     Author: David Lester, Manchester University, NIA, Université Perpignan
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%     Version 1.0            9/06/06  Initial Version
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prelude_sets_aux[T:TYPE]: THEORY

BEGIN

  finite_setofsets_is_setofsets:
                          JUDGEMENT finite_set[set[T]] SUBTYPE_OF setofsets[T]

  x:   VAR T
  A:   VAR setofsets[T]
  a,b: VAR set[T]
  F:   VAR finite_set[set[T]]
  P:   VAR [set[T]->bool]

  complement_difference: LEMMA
    complement(difference(a,b)) = union(complement(a),b)

  Intersection_member:
             LEMMA member(x,Intersection(A)) IFF (FORALL (a:(A)): member(x,a))

  Intersection_split: LEMMA nonempty?(A) =>
             (Intersection(A) = intersection(choose(A),Intersection(rest(A))))

  Intersection_finite: LEMMA
        P(fullset[T]) AND is_finite(A) AND (FORALL (a:(A)): P(a)) AND
        (FORALL (a,b:set[T]): P(a) AND P(b) => P(intersection(a,b)))
                                => P(Intersection(A))

  Union_member: LEMMA member(x,Union(A)) IFF (EXISTS (a:(A)): member(x,a))

  Union_split: LEMMA nonempty?(A) =>
                     (Union(A) = union(choose(A),Union(rest(A))))

  Union_finite: LEMMA
        P(emptyset[T]) AND is_finite(A) AND (FORALL (a:(A)): P(a)) AND
        (FORALL (a,b:set[T]): P(a) AND P(b) => P(union(a,b))) => P(Union(A))

  finite_Complement: LEMMA is_finite(Complement(F))

END prelude_sets_aux

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