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Datei: cross_3D.pvs Sprache: PVS

Original von: PVS^©

cross_3D: THEORY
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%
%  3D cross-product and mixed product (e.g. a*cross(b,c)) and
%  linear independence of two vectors
%
%  cross(a,b) =  a x b =  | i     j      k  |
%                         | a_x   a_y   a_z |
%                         | b_x   b_y   b_z |
%
%  Author: Rick Butler   NASA Langley Research Center
%                        2-7-2008
%
%------------------------------------------------------------------------------
BEGIN

  IMPORTING vectors_3D

  u,v,w,z : VAR Vect3
  k,k1,k2 : VAR real
  nzu,nzv : VAR Nz_vect3

% ------------- vector cross product ------------

  cross(u,v): Vector = (u`y*v`z - v`y*u`z,
                        u`z*v`x - v`z*u`x,
                        u`x*v`y - v`x*u`y)

  cross_zero_left  : LEMMA cross(zero,v) = zero

  cross_zero_right : LEMMA cross(v,zero) = zero

  cross_anticomm   : LEMMA cross(u,v) = -cross(v,u)

  cross_scal_left  : LEMMA cross(k*u,v) = k*cross(u,v)

  cross_scal_right : LEMMA cross(u,k*v) = k*cross(u,v)

  cross_dist       : LEMMA cross(u,v+w) = cross(u,v) + cross(u,w)

  Lagrange_Identity: LEMMA cross(u,v)*cross(w,z) = (u*w)*(v*z)-(u*z)*(v*w)

  cross_cross      : LEMMA cross(cross(u,v),w) = (u*w)*v - (v*w)*u

%  ------------ linear dependence ------------

   linearly_dependent?(u,v): bool =
       (EXISTS (k1,k2: real): (k1 /= 0 OR k2 /= 0) AND
                               k1*u + k2*v = zero)

   linearly_independent?(a,b: Vect3): bool =
     NOT linearly_dependent?(a,b)

   lin_indep_cross: LEMMA
     linearly_dependent?(nzu,nzv) IFF cross(nzu,nzv) = zero

  % ------------ mixed product ------------
  % ------------ aka triple product, aka determinant of vectors a, b, c

  ;[||](u,v,w): real = u*cross(v,w)

  mixed_prod(u,v,w): MACRO real = [|u,v,w|]

  mixed_prod_perm     : LEMMA [|u,v,w|] = [|v,w,u|]

  mixed_prod_perm2    : LEMMA [|u,v,w|] = [|w,u,v|]

  mixed_prod_perm_neg : LEMMA [|u,v,w|] = -[|v,u,w|]

  mixed_prod_scal1    : LEMMA [|k*u,v,w|] = k*[|u,v,w|]
  mixed_prod_scal2    : LEMMA [|u,k*v,w|] = k*[|u,v,w|]
  mixed_prod_scal3    : LEMMA [|u,v,k*w|] = k*[|u,v,w|]

  mixed_prod_dist     : LEMMA [|u+z,v,w|] = [|u,v,w|] + [|z,v,w|]

  cross_cross_mixed   : LEMMA cross(cross(u,v),cross(w,z)) =
                              [|u,v,z|]*w - [|u,v,w|]*z
END cross_3D

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