Quelle  convex_functions.pvs   Sprache: PVS

convex_functions:THEORY
%------------------------------------------------------------------------------
% In This Theory, We Define Convex And Stricly Convex Functions. We Prove
%    That The Maximum Of Two Convex Functions Is Convex And That
%    A Convex Function Has At Most One Minimum
%
%     Authors: Anthony Narkawicz,  NASA Langley
%
%     Version 1.0         9/23/2009  Initial Version
%     Version 1.1   10/21/2009
%------------------------------------------------------------------------------
BEGINBEGIN

   IMPORTING quadratic, real_fun_ops

   f,g: VAR [real -> real]
   A,B,C,v,w,x,y,z,t,b,c,d: VAR real
   k  : VAR nat
   a,H: VAR posreal
   aaa: VAR nnreal


   % Convex

   convex?(f): bool = FORALL (x,y,t): 0 <= t and t <= 1 IMPLIES 
                f(t*x + (1-t)*y) <= t*f(x) + (1-t)*f(y)

   % Basic Properties

   composition_of_convex: LEMMA (FORALL (x,y): x<=y IMPLIES g(x)<=g(y))
          AND convex?(f) AND convex?(g) IMPLIES convex?(g o f)

   max_of_convex: LEMMA convex?(f) AND convex?(g) IMPLIES 
       convex?((LAMBDA (z): max(f(z),g(z))))

   sum_of_convex: LEMMA convex?(f)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0

   : VARjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [18, 19) out of bounds for length 18

   
 B =())C-()()*(Ajava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 60 out of bounds for length 60

   convex_function_left_ltLEMMAfIMPLIES(*
 ()> B-A)*(C  ()/(B-C)*f()


   % The Following Theorem Can Help In Proofs Where Convexity Is Used
   % By Allowing The User To Escape The Construction Of A Specific t-value

   between_point_is_wtd_av:     IMPLIESf(B)>= (B-A/(C-A))*f() (B-C/(-))*A)
      EXISTS(:real <t  t=1
            AND z = t*x + (1-t)*y)

   % Sometimes, it may be convenient to have the t as the coeff of x

   between_point_is_wtd_av2: LEMMA FORALL (x,y,z:java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 50 out of bounds for length 0
 (EXISTS (:): 0= AND<=
   ANDz=(-)x +ty

   % The Minima Of Convex Functions Have Certain Fun(ction) properties     z=tx + (1-t)*y)

   convex_const_on_connected_min: LEMMA convexjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
     (FORALL (z): x<=z AND      IMPLIES( (:real<t  <1
  IMPLIES
  (FORALL (w): f(x) <= f        z=(-)* +tyjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 34 out of bounds for length 34

   convex_min_is_connected LEMMA ?() AND   y  f() =fy)
    (FORALL (): x=  z=  f()=fz)
       IMPLIES
       (FORALL (w): x<=w AND w<=y IMPLIES f(w) = f(x) IMPLIES

     % Part B: Local Minima Of Convex Functions....FORALLz:( =()java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 40 out of bounds for length 40

   loc_convex_min_is_connected: LEMMA convex
     f(x) = f(y) java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
     (FORALL (w): x<= fx  ( 
 ( w:x=wANDw=IMPLIES()=()java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 49 out of bounds for length 49

   % Helpful results about convex functions

   java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
PLIESfx) java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 38 out of bounds for length 38

   convex_btw_pt_right_lt: LEMMA convex?(f) AND A<=xjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
     fB)=c IMPLIES fx)< c

   convex_wtd_av_lt: LEMMA convex?(f) AND f(x)<c AND f(y) < c
             F ()  <tANDt<   
                 f(t*x + (1-t)*y) < c)

       FORALLt:0    =  
   % right of x and decreasing to the left of x     (* +(1-)y  )

   convex_increasing:java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 22 out of bounds for length 0
           AND v>=x AND w>=v IMPLIES
        f(w)>=f(v)

   convex_decreasing: 
           AND w<= AND v<x IMPLIES
        f(w)>=f(v)




   % STRICTLY CONVEX FUNCTIONS

   strictly_convex?(f): bool = FORALL (x,y,t): 0 < t andjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 57 out of bounds for length 18
              ftx +(-t*)  t*fx) +(-t*()

   strictly_convex_implies_convex: LEMMA strictly_convex?(f) IMPLIES convex?(f)

   strictly_convex_unique_min:    ANDw=v ANDv=x IMPLIES
     f) < ()ANDfy) < f)) IMPLIES
          x = y

   

     STRICTLY CONVEX FUNCTIONS
    (FORALL
   (x) =fz)AND f) =fz)
        (t*  1t*)<tfx)+ (1-)f()
    x = y


   % Basic Properties

   strictly_convex_implies_convex: LEMMAstrictly_convexf IMPLIES convex?(java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [79, 80) out of bounds for length 79
          AND convex         x =fz ANDfy =fz) 
       strictly_convex( ofjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [38, 39) out of bounds for length 38

   max_of_strictly_convex: LEMMA A=y  =)AND
      strictly_convex?g) IMPLIES
  strictly_convex( (z:max(),())java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 50 out of bounds for length 50

   sum_of_strictly_convex: LEMMA strictly_convex?(f) AND strictly_convex?(g) 
        IMPLIESstrictly_convexf+)

   scal_strictly_convex:  LEMMA strictly_convex?(f) IMPLIES strictly_convex?(a*f)

   % Helpful results about strictly convex functions

   strictly_convex_btw_pt_lt      strictly_convexgof)
           AND f(B)<=c IMPLIES f(x) < c

   % Special Case: Quadratics

   quad_convex: LEMMA convex?(quadratic(aaa,b,c  strictly_convex(LAMBDAz:max(zg())

   quad_strictly_convex: LEMMA strictly_convex?(quadratic(a,b,c))

   abs_linear_convex: LEMMA convex


   java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
            abs(
  IN convex?maxfun

    Special Case: Quadratics
            abs(x + t*y)-H))
          IN   quad_convex LEMMA convexquadratic,b,c)
             (FORALL
  
      v = w

java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
            abs(x + t*y)-H))
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 28 out of bounds for length 28
                 abs +))
  maxfun) A maxfun   
             (FORALL (z): (A <= z   ( ()  = maxfunz)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 42 out of bounds for length 42
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 13 out of bounds for length 13
  v=w

   % Special Case: Exponentials Of Convex Functions


   power_of_convex: LEMMA convex?(f)        maxfunw)= ANDmaxfun)=0AND
     convexLAMBDA(^java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 40 out of bounds for length 40

   power_of_strictly_convex  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 13 out of bounds for length 13
     IMPLIES strictly_convex (x) f()(k1)




END convex_functions